吳群妹（無(wú)錫科技職業(yè)學(xué)院 理科教學(xué)部，江蘇 無(wú)錫 214000）

固定邊界條件下最優(yōu)控制必要條件研究

吳群妹
（無(wú)錫科技職業(yè)學(xué)院 理科教學(xué)部，江蘇 無(wú)錫 214000）

根據(jù)變分法的基本原理，對(duì)泛函極值問(wèn)題進(jìn)行了推廣，給出了3類不同系統(tǒng)在固定邊界條件下求得最優(yōu)控制的必要條件，并且給出了證明。

泛函變分；泛函極值；最優(yōu)控制

0 引言

變分法是求解泛函極值的一種經(jīng)典方法［1］，可以確定容許控制開(kāi)集的最優(yōu)控制函數(shù)，也是研究最優(yōu)控制問(wèn)題的一種重要工具。關(guān)于變分法在最優(yōu)控制中的應(yīng)用已做了大量研究［2-3］。文獻(xiàn)［4］用變分法實(shí)現(xiàn)了現(xiàn)代控制系統(tǒng)中的最優(yōu)控制，文獻(xiàn)［5］研究了變分法在最優(yōu)控制問(wèn)題中的一個(gè)應(yīng)用，文獻(xiàn)［6］討論了最大值原理在求解無(wú)限時(shí)域最優(yōu)控制問(wèn)題中的一個(gè)應(yīng)用。本文在已有研究的基礎(chǔ)上提出了變分法在3類不同系統(tǒng)最優(yōu)控制中的應(yīng)用，并且給出了證明。

1 變分法基本定理

則在區(qū)域S內(nèi)有:F（x，y）=0。

該方程為著名的歐拉方程，也稱為歐拉-拉格朗日方程。

2 泛函極值推廣

2.1 一個(gè)自變量的多個(gè)因變量的系統(tǒng)

則由定理1該系統(tǒng)在邊界條件下達(dá)到最優(yōu)的必要條件為

證明 采用拉格朗日法求其泛函微分，有

令ε→0，則

法律中幸福人的預(yù)設(shè)背后是一種面向生活世界的思維，寄涵著法律對(duì)人類理想生活狀況的關(guān)懷，它真摯關(guān)注每個(gè)個(gè)體的幸福，同時(shí)也構(gòu)設(shè)理想的生活方式，以令人滿意的法律方式來(lái)實(shí)現(xiàn)以“人的生活”為終極關(guān)懷，即人之優(yōu)良幸福的生活?！耙磺杏猩蛺?ài)的生物、一切生存著的和希望生存的生物之最基本的和最原始的活動(dòng)就是對(duì)幸福的追求。人也同其他一切有感覺(jué)的生物一樣，他所進(jìn)行的任何一種意志活動(dòng)，他的任何一種追求也都是對(duì)幸福的追求?！保?0］29我們都確然渴望幸福地生活，追求幸福是我們行動(dòng)的動(dòng)力和終極目的。

又固定邊界條件δxi（a）=0，δxi（b）=0，得

當(dāng)變分取得極值時(shí)δJ=0，由引理1得

2.2 高階系統(tǒng)

設(shè)狀態(tài)方程的一般形式為

邊界條件為xi（i）（t0）=x0（k）和 xi（i）（T）=xi（k）（k=0，1，…，n-1和i=0，1，…，n-1）。其中u（t）為控制輸入，x（i）（t）為狀態(tài)變量。最優(yōu)控制表達(dá)式為

則該系統(tǒng)在邊界條件下達(dá)到最優(yōu)的必要條件為

其通解含有2n個(gè)任意常數(shù)，它們由2n個(gè)邊界條件確定。

證明 要使（2）式達(dá)到最優(yōu)控制，則有δJ=0，又

將式（4）右邊積分中第2項(xiàng)分部積分一次，第3項(xiàng)分部積分兩次，第4項(xiàng)分部積分三次有

直到第n項(xiàng)分部積分n次代回δJ得

2.3 分布參數(shù)系統(tǒng)

則由定理1該系統(tǒng)在邊界條件下達(dá)到最優(yōu)的必要條件為

證明 為使（5）式取極值，應(yīng)有

又

因此

應(yīng)用格林公式，將（7）式右邊第2個(gè)積分化為

由固定邊界條件δz=0，（8）式積分為零。于是

又因?yàn)?/p>

由固定邊界條件δz=δzt=δzx=0，應(yīng)用格林公式得

故

綜上，要使δJ=0，有

3 結(jié)語(yǔ)

本文給出了3類不同系統(tǒng)取得極值即最優(yōu)控制［9-10］的必要條件和證明，旨在給今后這3類系統(tǒng)最優(yōu)控制的求解帶來(lái)一點(diǎn)方便。該3類系統(tǒng)的討論都是基于固定邊界條件下的，今后可對(duì)可動(dòng)邊界以及含約束條件的同類系統(tǒng)作進(jìn)一步的探討。

（References）

［1］ 朱肖偉.最優(yōu)控制理論與應(yīng)用中的若干問(wèn)題［M］.北京:科學(xué)出版社，2007:70-83.

［2］ 賈廣全，孔淑蘭.有輸入時(shí)滯的最優(yōu)控制系統(tǒng)［J］.曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，39（1），51-54.

［3］ 周佳妮，朱經(jīng)浩.奇異線性二次最優(yōu)控制的線性迭代計(jì)算方法［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，41（4）:637-640.

［4］ 梁秀娟，嵇海旭.用變分法實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代控制系統(tǒng)中的最優(yōu)控制［J］.裝備制造技術(shù)，2013（2）:73-74.

［5］ 唐旭清，翁昊年.變分法在最優(yōu)控制問(wèn)題中的一個(gè)應(yīng)用［J］.江南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2003，2（5）:521-524.

［6］ 董麗華.最大值原理在求解無(wú)限時(shí)域最優(yōu)控制問(wèn)題中的應(yīng)用［J］.江漢大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，37（1）:24-25.

［7］ 張蓮，胡曉倩，王彬，等.現(xiàn)代控制理論［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2008:314-323.

［8］ 朱肖偉.最優(yōu)控制理論與應(yīng)用中的若干問(wèn)題［M］.北京:科學(xué)出版社，2007:70-83.

［9］ 陳勇，韓波，肖龍，等.多尺度全變分法及其在時(shí)移地震中的應(yīng)用［J］.地球物理學(xué)報(bào)，2010，53（8）:1883-1885.

［10］耿少波，石雪飛，阮欣，等.增設(shè)廣義位移下箱梁剪力滯效應(yīng)的變分法［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，38（9）: 1276-1278.

（責(zé)任編輯:胡燕梅）

Necessary Conditions of Optimal Control Under Fixed Boundary Condition

WU Qunmei
（Wuxi Technology and Professional College，Wuxi 214000，Jiangsu，China）

According to the basic principles of variational method，this paper extends the functional extreme.Also，three different systems to obtain the necessary conditions for optimal control and their proof are given.

functional variation；functional extreme；optimal control

O177.92；O232

A

1673-0143（2015）05-0410-04

10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.05.006

2015-05-20

吳群妹（1981—），女，講師，碩士，研究方向：高等數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、最優(yōu)控制。