許 璐，任秀偉，李碧云（江漢大學 數(shù)學與計算機科學學院，湖北 武漢 430056）

索賠額服從正態(tài)分布的破產(chǎn)概率及漸近估計

許 璐，任秀偉，李碧云
（江漢大學 數(shù)學與計算機科學學院，湖北 武漢 430056）

對于保險問題中個體索賠額服從正態(tài)分布的情況，采用數(shù)學風險論和古典概率論中的相對應的理論與方法，構建出科學合理的數(shù)學模型。最后對保險公司的最終破產(chǎn)概率的顯式表達式進行了推導，同時根據(jù)顯式解得到了相應的漸近估計。

索賠額；正態(tài)分布；破產(chǎn)概率；漸近估計；顯式解

0 引言

文獻［1-2］運用數(shù)值計算方法分析與估計了一些具體分布（如指數(shù)分布）的破產(chǎn)概率；文獻［3-7］描述與探究了一些風險理論問題，不僅討論了有限時間區(qū)間內(nèi)的破產(chǎn)概率問題，也對最終破產(chǎn)概率問題進行了討論，同時得到了任意個體索賠額與任意初始盈余的近似表達式和破產(chǎn)概率的積分方程。與此同時，文獻［7］還針對指數(shù)分布破產(chǎn)概率的顯式解問題進行了討論。進一步地，幾種不同分布模型的破產(chǎn)概率問題在文獻［8-10］中得到了論述。但是，這些文獻均未探討關于個體索賠額服從正態(tài)分布的破產(chǎn)概率的情況。本文主要利用破產(chǎn)理論和古典概率論的相關理論和方法，對保險公司在個體索賠額服從正態(tài)分布時的破產(chǎn)概率情況進行了研究與探討，并得到了它的漸近估計。

1 模型描述

針對某保險公司，它在時刻t（t≥0）時的盈余用xt表示。為了便于表述，記初始盈余為x0=x，不妨認為x≥0且是已知的。因為這個保險公司在未來某一時刻的盈余是不知道的，所以可以得到是一個連續(xù)時間過程并且這個過程是隨機的，同時它滿足:xt=x0+ct-St，其中c是常數(shù)，表示在單位時間內(nèi)該公司收到的保費，那么可以得到在（0，t）內(nèi)該總司收到的總保費金額為ct。把第i次索賠額用Xi（i=0，1，2，…，Nt）表示，其中Nt為直到時間t為止所產(chǎn)生的索賠次數(shù)，同時假定服從Poisson過程，且該Poisson過程的參數(shù)為λ，于是可以得到這個保險公司在區(qū)間（0，t）內(nèi)的索賠總額為St=X1+X2+……+XNt

同時，假定個體索賠額Xi是隨機變量序列，這個隨機變量序列服從期望為 μi，方差為（i=1， 2，…，n）的正態(tài)分布，那么其概率密度函數(shù)可用表示。也就是說個體索賠額服從正態(tài)分布，其期望是，方差是。同時假設和是相互獨立的。所以，可知索賠總額也服從正態(tài)分布。尤其，當Nt=0時得到St=0。按照具體的情形，進一步假定在每一時間區(qū)間內(nèi)，索賠發(fā)生的次數(shù)最多為一次，那么可以用λdt表示恰好發(fā)生一次索賠的概率，于是1-λdt就表示為不發(fā)生索賠的概率。

破產(chǎn)發(fā)生的情況是保險公司或風險理論所要研究和探討的問題（也就是對某個時刻t＞0時，xt＜0這一事件）。一般Z（x）被用來表示這個事件的破產(chǎn)概率。在時刻t以前發(fā)生破產(chǎn)的概率用Z（x，t）來表示。為了更便于描述，用U（x）=1-Z（x）來表示最終生存的概率，用U（x，t）=1-Z（x，t）表示生存至時刻t的概率。

2 主要結果

引理［11］如果函數(shù) f（x，t）及其偏導數(shù) fx（x，t）都在矩形R=［a1，b1］×［c1，d1］上連續(xù)，函數(shù)α（x）與β（x）都在區(qū)間［a1，b1］上可微，且c1≤α（x）≤d1，c1≤β（x）≤d1，（a1≤x≤b1）。則

證明 設首次發(fā)生索賠的時刻為t，首次索賠額為y，由全概率公式可得如下方程:

若令s=x+ct，則有ds=cdt。所以

由引理有，將Z（x）對x求導得

由分部積分法可得

僅考慮真正意義下的索賠額，于是F（0）=0，所以

將（5）式代入（4）式中得:

將（6）式代入（3）式中得:

下面我們來求Z（0）:

于是

將（8）式代入（7）式可得:

從而（1）式得證。

定理2 設個體索賠額服從正態(tài)分布，則索賠總額也服從正態(tài)分布的最終破產(chǎn)概率的漸近估計為:

證明 采用通常的卷積法，利用更新方程的定義有

令

由（1）式知:

從而（9）式得證。

（References）

［1］ SEAL H L.Numberical calculation of probability of ruin in the poisson/exponential case［J］.Mitteilangen der Vereinigung Schmeicerischer Versichrungs Mathematiker，1972，72:77-100.

［2］ RAMSAY C M.On an integral equation for discounted compound annuity distributions［J］.Astin Bulletion，1989，19:192-198.

［3］ GRANDELL.Aspects of risk theory［M］.New York:Springer-Verlag，1991.

［4］ GRANDELL.Simple approximations of ruin probabilities［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2000，26:157-173.

［5］ 成世學.破產(chǎn)論研究綜述［J］.數(shù)學進展，2002，31（5）:403-423.

［6］ 卡爾斯.現(xiàn)代精算風險理論［M］.唐啟鶴，等譯.北京:科學出版社，2005.

［7］ GERBER H U.數(shù)學風險論導引［M］.成世學，嚴穎，譯.北京:世界圖書出版公司，1997.

［8］ 許璐，許紹元.索賠總額服從Gamma分布的破產(chǎn)概率及漸近估計［J］.海南大學學報:自然科學版，2010，27（3）:193-196.

［9］ 許璐，李媛媛.索賠總額服從愛爾朗分布的破產(chǎn)概率及漸進估計［J］.海南大學學報:自然科學版，2013，30（4）:306-310.

［10］XU L，WANG Y.Probability of ruin and approachable estimate inχ2distribution model［C］//2011 International Symposium on Statistics&Management Science.2011:143-146.

［11］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析:下冊［M］.2版.北京:高等教育出版社，2003.

（責任編輯:胡燕梅）

Ruin Probability and Asymptotic Estimate of
a Model with Amount of Claim Obey Normal Distribution

XU Lu，REN Xiuwei，LI Biyun
（School of Mathematics and Computer Science，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China）

In the case of individual sum of claim obey a normal distribution，we use mathematical risk theory and classical probability theory corresponding theories and methods to construct a mathematical model.Finally，the insurance company's ultimate ruin probability explicit expression is derived out，and its asymptotic estimate is obtained based on the explicit solutions.

amount of the claim；normal distribution；ruin probability；asymptotic estimation；explicit expression

O211.67

A

1673-0143（2015）05-0405-05

10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.05.005

2015-06-01

國家自然科學基金資助項目（10961003）；武漢市教育局科研項目（2013091）

許 璐（1969—），男，副教授，碩士，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計。