何 萍，湯俊肖（紅河學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 蒙自 661199）

幾類函數(shù)的留數(shù)定理

何 萍，湯俊肖
（紅河學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 蒙自 661199）

留數(shù)；對數(shù)留數(shù)；共軛

1 引言及結(jié)論

留數(shù)在復(fù)變函數(shù)論及實際應(yīng)用中都是十分重要的，其和計算積分的問題有密切關(guān)系，可以把計算實積分或周線積分轉(zhuǎn)化為計算留數(shù)。

在實際應(yīng)用中，會發(fā)現(xiàn)定理A和定理B對計算積分的范圍不廣，為了便于計算，本文給出了定理1和定理2，分別對定理A和定理B進行了改進。

2 相關(guān)引理

引理2［4］設(shè) P（z）=a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an，Q（z）=b0zm+b1zm-1+…+bm-1z+bm，其中ai∈R，bj∈R，i=0，1，2…，n，j=0，1，2…，m，且Q（z）≠0，則有

3 定理的證明

3.1 定理1的證明

證明 （Ⅰ）因為a為 f（z）的m階零點，則在點a的鄰域內(nèi)有 f（z）=（z-a）mg（z）成立。其中g(shù)（z）在點a的領(lǐng)域內(nèi)解析，且g（a）≠0，由于

則

所以

同理可證明定理1（Ⅱ）。

3.2 定理2的證明

所以

根據(jù)引理1有

而

所以（2）式可寫為

則

同理，

根據(jù)引理2，結(jié)合引理3有

證畢。

（References）

［1］ 張忠誠，王成.對數(shù)留數(shù)定理的推廣及應(yīng)用［J］.洛陽大學(xué)學(xué)報，2006，21（2）:20-22.

［2］ 李明泉.實系數(shù)有理分式函數(shù)的共軛復(fù)極點的留數(shù)［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2007，13（4）:96-98.

［3］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京:高等教育出版社，2004:108.

［4］ 同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2002:100-101.

［5］ 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］.北京:高等教育出版社，2004.

（責(zé)任編輯:胡燕梅）

Theorem of Residue of Several Functions

HE Ping，TANG Junxiao
（Department of Mathematics，Honghe University，Mengzi 661199，Yunnan，China）

residue；logarithmic residue；conjugate

O174.52

A

1673-0143（2015）05-0401-04

10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.05.004

2015-05-15

國家自然科學(xué)基金資助項目（11301160）；云南省自然科學(xué)基金資助項目（2013FZ116）；紅河學(xué)院后備人才項目（2014HB0204）；紅河學(xué)院博士科研項目（14bs18）；紅河學(xué)院專業(yè)帶頭人科研項目（ZYDT1308）；紅河學(xué)院科研基金資助項目（XJ14Y05）；紅河學(xué)院雙語課程項目（SYKC1404）

何 萍（1981—），女，副教授，碩士，研究方向：復(fù)分析。