趙寶強，王曉浩，姚寶恒，連璉

(1.中國艦船研究設(shè)計中心，湖北武漢430064;2.清華大學 精密儀器系，北京100084;3.上海交通大學船舶與海洋工程國家重點實驗室，上海200240)

水下滑翔機通過改變自身重心相對于浮心的位置和凈重力的大小來驅(qū)動滑翔機在水下的運動，它通過調(diào)節(jié)尾舵舵角或改變橫滾姿態(tài)實現(xiàn)轉(zhuǎn)向，現(xiàn)有水下滑翔機能以0.25 m/s的速度航行上千千米，航行時間可達數(shù)月［1-2］，同時其成本低，噪音小等優(yōu)點使得水下滑翔機具有廣闊的應(yīng)用前景［3-4］。Leonard等人對水下滑翔器的穩(wěn)定性進行了相應(yīng)的研究［5-9］，但其主要研究滑翔機的穩(wěn)定性判據(jù)，沒有針對具體滑翔機進行分析，并且沒有分析具體設(shè)計參數(shù)(初穩(wěn)性高)和控制參數(shù)(姿態(tài)調(diào)節(jié)控制量)變化對穩(wěn)定性的影響。武建國［10］分析水下滑翔機的靜穩(wěn)定性。本文將已建立的水下滑翔機一般數(shù)學模型應(yīng)用于具體的實際水下滑翔機上，在此基礎(chǔ)上將模型線性化，結(jié)合李雅普諾夫穩(wěn)定性第一定理和第二定理分析出水下滑翔機穩(wěn)定性隨設(shè)計參數(shù)(初穩(wěn)性高)和控制參數(shù)(姿態(tài)調(diào)節(jié)控制量)變化的規(guī)律。

1 動力學模型

本文涉及的水下滑翔機原理樣機內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖1。

圖1 水下滑翔機原理樣機內(nèi)部結(jié)構(gòu)Fig.1 Underwater glider prototype internal structure

該樣機可以被認為是5個具有獨立自由度質(zhì)量塊的組合，分別為平移質(zhì)量塊、旋轉(zhuǎn)質(zhì)量塊、補償質(zhì)量塊、壓載質(zhì)量塊和均布質(zhì)量。如圖2所示。建立固連于原理樣機的體坐標系，以浮心坐標為原點，e1軸沿滑翔機縱軸指向艏部;e2軸垂直于e1軸指向右側(cè)機翼;e3軸垂直于e1軸和e2軸鉛垂向下。

圖2 水下滑翔機原理樣機模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of underwater glider model

水下滑翔器的總質(zhì)量mv為

式中:mh為固定質(zhì)量，包括耐壓殼體、控制系統(tǒng)等非運動部件質(zhì)量，在體坐標系下其質(zhì)心為rh;mb為壓載質(zhì)量塊，即浮力驅(qū)動系統(tǒng)，忽略其質(zhì)心的變化，在體坐標系下其質(zhì)心為rb;mw為補償質(zhì)量塊;設(shè)計階段調(diào)整該質(zhì)量塊位置使水下滑翔機在初始狀態(tài)下重心在浮心正下方一定距離即初始穩(wěn)性高h0，然后使其固定，在體坐標系下其質(zhì)心為rw;mm為平移質(zhì)量塊;用于調(diào)節(jié)俯仰角，在體坐標系下其質(zhì)心，rm2=0。rm0為平移質(zhì)量塊初始位置，xm為平移質(zhì)量塊移動距離;mv為旋轉(zhuǎn)質(zhì)量塊;mr用于調(diào)節(jié)翻滾角，實現(xiàn)轉(zhuǎn)彎功能，在體坐標系下其質(zhì)心，式中rr2=rsin δ，rr3-rcos δ，r為偏心距，δ為旋轉(zhuǎn)質(zhì)量塊向右側(cè)偏轉(zhuǎn)角度。

在體坐標系下，水下滑翔器的質(zhì)心rv為

可移動質(zhì)量塊為平移質(zhì)量塊和旋轉(zhuǎn)質(zhì)量塊，其質(zhì)心rp由平移質(zhì)量塊質(zhì)心rm和旋轉(zhuǎn)質(zhì)量塊質(zhì)心rr決定:

2 穩(wěn)定性分析

水下機器人的運動穩(wěn)定性是指受到小干擾后，受擾的運動參數(shù)能否自行回到初始運動狀態(tài)的能力。水下滑翔機一般要求在開環(huán)控制下具有穩(wěn)定性。

2.1 穩(wěn)性高

船舶的穩(wěn)定性與穩(wěn)性高有很大關(guān)系，對于水下滑翔機，受到擾動后穩(wěn)性高影響滑翔機恢復(fù)力矩的大小，從而影響定常運動的穩(wěn)定性。定義水下滑翔機重心與浮心在重力方向上的距離為穩(wěn)性高:

式中，R是由歐拉角描述的坐標轉(zhuǎn)換矩陣［11］。其中俯仰角θ，翻滾角φ滿足:

圖3 穩(wěn)性高與初穩(wěn)性高的關(guān)系Fig.3 The relationship between initial metacentric height and metacentric height

圖4 穩(wěn)性高與姿態(tài)調(diào)節(jié)兩個控制參數(shù)之間的關(guān)系Fig.4 The relationship between attitude adjustment parameters and metacentric height

可以看出，穩(wěn)性高是由設(shè)計參數(shù)初始穩(wěn)性高和姿態(tài)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的2個控制參數(shù)(平移質(zhì)量塊移動距離rrm和旋轉(zhuǎn)質(zhì)量塊旋轉(zhuǎn)角度δ)決定的。它們之間的關(guān)系如圖3、4所示。

分別變化這3個參數(shù)，得到不同的線性方程利用李雅普諾夫穩(wěn)定性第一定理(A矩陣特征方程所有根均具有負實部)和第二定理(滿足李雅普諾夫方程的正定實對稱矩陣P各階主子行列式為正)［12］判斷滑翔機的穩(wěn)定性。在仿真過程中，發(fā)現(xiàn)二維運動的穩(wěn)定性并不能保證三維運動的穩(wěn)定性。三維定常運動的穩(wěn)定性受控制參數(shù)和設(shè)計參數(shù)的影響，只有在一定范圍內(nèi)才具有穩(wěn)定性。所以下節(jié)分別對水下滑翔機的兩種定常運動［15］(直線定常運動和螺旋定常運動)分析。

2.2 初始穩(wěn)性高對穩(wěn)定性的影響

2.2.1 直線定常運動

設(shè)置滑翔機的控制參數(shù)xm=41.36 mm，δ=0°，初始穩(wěn)性高在0～11 mm變化，利用Lyapunov第一定理得到的線性方程各特征值實部隨穩(wěn)性高的變化如圖5所示，從圖中可以看出在直線定常運動中當穩(wěn)性高小于-3.6 mm時系統(tǒng)開始不穩(wěn)定，所以對照圖4(a)，為保證直線定常運動的穩(wěn)定性，在設(shè)計時初穩(wěn)性高最小為0.85 mm。

圖5 初穩(wěn)性高變化時直線運動穩(wěn)定性隨穩(wěn)性高變化關(guān)系Fig.5 Relationship between stability of linear steady motion and metacentric height when initial metacentric varies

2.2.2 螺旋定常運動

設(shè)置δ=30°，初穩(wěn)性高h0在0～11 mm變化，同理得到的結(jié)果如圖6所示。

圖6 初穩(wěn)性高變化時螺旋運動穩(wěn)定性隨穩(wěn)性高變化關(guān)系Fig.6 Relationship between stability of spiral steady motion and metacentric height when initial metacentric varies

從圖中可以看出在螺旋定常運動中當穩(wěn)性高小于-3.8 mm時有特征值實部大于0，系統(tǒng)開始不穩(wěn)定，這一結(jié)論與Bhatta［9］得到的結(jié)果基本吻合。所以對照圖3，為保證螺旋定常運動的穩(wěn)定性，在設(shè)計時初穩(wěn)性高最小為 0.5 mm。

圖7 平移質(zhì)量塊移動時直線定常運動穩(wěn)定性隨穩(wěn)性高變化關(guān)系Fig.7 Relationship between stability of linear steady motion and metacentric height when the moving mass moves

2.3 平移塊移動距離對穩(wěn)定性的影響

2.3.1 直線定常運動

設(shè)置滑翔機的控制參數(shù)h0=5，平移塊移動距離xm在控制范圍20～100 mm之間變化。利用李雅普諾夫第一方法得到的線性方程各特征值實部隨穩(wěn)性高的變化如圖8所示。

圖8 平移質(zhì)量塊移動時螺旋定常運動穩(wěn)定性隨穩(wěn)性高變化關(guān)系Fig.8 Relationship between stability of spiral steady motion and metacentric height when moving mass moves

從圖中可以看出小于-4.8 mm時系統(tǒng)開始不穩(wěn)定，所以為保證穩(wěn)定，在直線運動中需要控制平移塊移動距離xm在89 mm范圍內(nèi)。

2.3.2 螺旋定常運動

設(shè)置滑翔機的控制參數(shù)δ=30°，平移塊移動距離xm在控制范圍30～80 mm之間變化。利用李雅普諾夫第一方法得到的線性方程各特征值實部隨穩(wěn)性高的變化和利用李雅普諾夫第二方法得到的P矩陣的各階主子行列式隨穩(wěn)性高的變化如圖7所示，從圖中可以看出線性方程各特征值實部均小于零，P矩陣正定，所以xm在控制范圍30～80 mm內(nèi)系統(tǒng)保持穩(wěn)定。

2.4 旋轉(zhuǎn)塊旋轉(zhuǎn)角度對穩(wěn)定性的影響

設(shè)置滑翔機的控制參數(shù)xm=41.36 mm，mc=0.222 3 kg，h0=5。旋轉(zhuǎn)塊旋轉(zhuǎn)角度δ在控制范圍之間變化。利用李雅普諾夫第一方法得到的線性方程各特征值實部隨穩(wěn)性高的變化和利用李雅普諾夫第二方法得到的P矩陣的各階主子行列式隨穩(wěn)性高的變化如圖9所示，從圖中可以看出線性方程各特征值實部均小于零，P矩陣正定，所以在控制范圍內(nèi)系統(tǒng)保持穩(wěn)定。

圖9 旋轉(zhuǎn)質(zhì)量塊轉(zhuǎn)動時螺旋定常運動穩(wěn)定性隨穩(wěn)性高變化關(guān)系Fig.9 Relationship between stability of spiral steady motion and metacentric height when rotating mass rotates

4 結(jié)束語

本文將已建立的水下滑翔機一般數(shù)學模型應(yīng)用于具體的實際水下滑翔機上，在此基礎(chǔ)上將模型線性化，結(jié)合李雅普諾夫穩(wěn)定性第一定理和第二定理分析出水下滑翔機直線定常運動和螺旋定常運動穩(wěn)定性隨設(shè)計參數(shù)(初穩(wěn)性高)和控制參數(shù)(姿態(tài)調(diào)節(jié)控制量)變化而變化的規(guī)律。得到了為保持系統(tǒng)動態(tài)穩(wěn)定，得到在特定條件下，為保持水下滑翔機穩(wěn)定的條件是初穩(wěn)性高大于0.85 mm，平移塊移動距離在89 mm范圍內(nèi)，旋轉(zhuǎn)質(zhì)量塊對穩(wěn)定性影響很小。在控制范圍內(nèi)穩(wěn)定性良好。

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