曹咪雷

摘 要：本文建立了短期模型--指數(shù)增長(zhǎng)模型和長(zhǎng)期模型Logistic人口增長(zhǎng)模型，預(yù)測(cè)了2014年到2040年中國(guó)的總?cè)丝谇闆r。其次，運(yùn)用Leslie模型探討了中國(guó)未來幾十年的人口分組，即人口結(jié)構(gòu)問題，繼而采用老齡化指數(shù)分析了我國(guó)人口老齡化程度及其發(fā)展。在對(duì)全國(guó)人口問題進(jìn)行過探討后，我們又以此為基礎(chǔ)，以青海的實(shí)際情況為例，建立合理的評(píng)價(jià)體系。

關(guān)鍵詞：出生率；死亡率；指數(shù)增長(zhǎng)模型；一元線性回歸分析

1 問題重述

調(diào)整生育政策，被視為緩解“人口老齡化”，保持合理的勞動(dòng)力數(shù)量、結(jié)構(gòu)，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)持續(xù)健康發(fā)展的主要手段。于是，我國(guó)采取“單獨(dú)二胎”政策來調(diào)節(jié)這種現(xiàn)象。但是，單獨(dú)二胎實(shí)施后，我國(guó)未來幾十年的人口結(jié)構(gòu)及老齡化程度又當(dāng)如何變化呢？建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)實(shí)行單獨(dú)二胎后到2040年我國(guó)人口數(shù)及人口結(jié)構(gòu)、以及老齡化程度。并闡明“單獨(dú)二胎”對(duì)青海（人口、經(jīng)濟(jì)、住宅、教育等）的影響。

2 模型假設(shè)

1、把研究對(duì)象看成獨(dú)立封閉的系統(tǒng)，即不考慮遷入遷出的因素對(duì)人口的影響。

2、忽略各種突發(fā)性事件，如車禍、地震等對(duì)人口總數(shù)的影響。

3、忽略經(jīng)濟(jì)，社會(huì)環(huán)境，政治壞境，資源等因素對(duì)人口的影響。

4、假設(shè)一定時(shí)期內(nèi)人口增長(zhǎng)率保持不變。

5、假設(shè)平均生育年齡為24～34歲，且24～34歲獨(dú)生子女人數(shù)占獨(dú)生子女總?cè)藬?shù)的比例與總?cè)丝谥?4～34歲人數(shù)占總?cè)丝诘谋壤嗟取?/p>

3 模型的建立與求解

3.1 用于短期預(yù)測(cè)（2014～2020）的模型

200多年前，英國(guó)人口學(xué)家T.Malthus（1766—1834）調(diào)查了英國(guó)100多年的人口統(tǒng)計(jì)資料，得出了人口增長(zhǎng)率不變的假設(shè)，并建立了著名的人口指數(shù)增長(zhǎng)模型。

另外，指數(shù)增長(zhǎng)模型與19世紀(jì)以前歐洲的一些地區(qū)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有較好地吻合，遷往加拿大的歐洲移民后代人口也大致符合這個(gè)模型，另外用它做近期人口預(yù)測(cè)可以得到較好的效果。

記時(shí)刻t的人口為x（t），當(dāng)考察的地區(qū)范圍足夠大時(shí)，x（t）是一個(gè)很大的整數(shù)，為了利用微積分這一工具，將x（t）視為連續(xù)的可微分的。記初始時(shí)刻（t=0）的人口為x0。假設(shè)人口增長(zhǎng)率為常數(shù)r，即單位時(shí)間內(nèi)x（t）的增量dx/dt等于r乘以x（t），于是得到x（t）滿足微分方程

0xx（0）rx，dx/dt==

由這個(gè)公式很容易解出

ert0xx（t）..=

為了估計(jì)指數(shù)增長(zhǎng)模型中的參數(shù)r和x0，需將（1）式取對(duì)數(shù)，得

0lnxa，lnxy，arty==+=..

以t為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，利用Excel表格，選定數(shù)據(jù)（國(guó)家統(tǒng)計(jì)局），插入圖表，具體選項(xiàng)為“XY散點(diǎn)圖”中的“平滑散點(diǎn)圖”。則得到以下圖表：

由上圖可知，2000～2010年，y與t有很好的線性相關(guān)，2011～2013年，y與t有很好的線性相關(guān)。在此，我們?nèi)?011～2013年的數(shù)據(jù)來估算指數(shù)增長(zhǎng)模型（1）中的參數(shù)r 。

以t為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，利用Excel表格，選定2011、2012、2013年的數(shù)據(jù)，插入圖表，具體選項(xiàng)為“XY散點(diǎn)圖”中的“平滑散點(diǎn)圖”。再在表格中“添加趨勢(shì)線（線性類型）”，并在添加趨勢(shì)線選項(xiàng)中選“顯示公式”和“顯示R平方值”，則在曲線圖中自動(dòng)添加出方程y=rt+a及R2。得到下圖：

由上圖得到方程：

y=0.0049x+11.811

由上式得到：r=0.0049

由第六次人口統(tǒng)計(jì)資料顯示，截止到2012年，我國(guó)獨(dú)生子女家庭突破一億，總?cè)丝谥?5～34歲人數(shù)所占比例為14.87%，由國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)資料顯示，在生育階段的獨(dú)生子女，想要二胎的人群大約占50.1%，預(yù)測(cè)2014年獨(dú)生子女家庭想要二胎的比例為：g*50.1%

因此我們得到：“單獨(dú)二胎”政策實(shí)施后，2014年人口增長(zhǎng)率的增量為：

8810*607250.1%）/1.3*g*10*（1r=Δ

所以Δr=0.00275

所以“單獨(dú)二孩”實(shí)施后的人口指數(shù)方程為：

r）t（r0exx（t）Δ+=

3.2 用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)（2020～2040）的模型

長(zhǎng)期看來，任何地區(qū)的人口都不可能無(wú)限增長(zhǎng)，即指數(shù)模型不能描述、也不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)的人口演變過程。當(dāng)人口到達(dá)一定數(shù)量以后，增長(zhǎng)就會(huì)慢下來，即增長(zhǎng)率變小。因此，我們引入阻滯增長(zhǎng)模型——logistic模型。分析人口增長(zhǎng)到一定程度后增長(zhǎng)率下降的主要原因，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)起著阻滯作用。

阻滯作用體現(xiàn)在對(duì)人口增長(zhǎng)率r的影響上，使得r隨著人口的增長(zhǎng)而下降，所以，若將r表示成x的函數(shù)，r（x）應(yīng)該是一個(gè)減函數(shù)。

dx/dt0x）0（x，x）x（rdt/dx==

于是對(duì)r（x）做一個(gè)最簡(jiǎn)單的假設(shè)：

r（x）=r-sx（r，x>0）

為了確定s的意義，引入自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量mx，當(dāng)人口到達(dá)mx時(shí)人口不再增長(zhǎng)，即增長(zhǎng)率r（mx）=0，帶入r（x）=r-sx，得：

r（x）=r（1-x/mx），

聯(lián)立上面的方程得到：

0mx）0（x），x/x1（rxdt/dx=.=

將上式用變量積分法求解得到：

rt-0mm1）e-xx（1x）t（x+=

則實(shí)施“單獨(dú)二孩”后，改造公式為：

t）rr（0mme）1xx（1x）t（xΔ+..+=

根據(jù)1991年，中國(guó)科學(xué)院自然資源綜合考察委員會(huì)發(fā)表的《中國(guó)土地生產(chǎn)能力及人口承載能力研究》顯示，中國(guó)的人口容量約為16億，所以xm=16億。

以2020年為0年，2021年為第一年，以此類推，求解2021～2040年的人口，整理得下表：

4 模型的檢驗(yàn)

1.對(duì)一元線性回歸檢驗(yàn)

此處檢驗(yàn)了年份與總?cè)丝谥g的相關(guān)性，下面以另外的一組年份與人口的關(guān)系為例說明檢驗(yàn)方法。首先把收集到的1990年到2000年數(shù)據(jù)，畫成“散點(diǎn)圖”；接著，我們可以觀察散點(diǎn)圖上點(diǎn)的分布規(guī)律，擬合一元線性回歸線。

從下圖的擬合程度可知年份與人口呈線性關(guān)系，即可得出結(jié)論：短期內(nèi)人口自然增長(zhǎng)率幾乎不變。

2.對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)模型的檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證指數(shù)增長(zhǎng)模型x（t）=x0ert的準(zhǔn)確性，我們查找了2000年到2005年的人口數(shù)據(jù)，進(jìn)行了以下驗(yàn)證。利用x（t）=x0ert（經(jīng)計(jì)算，r=0.0056）計(jì)算出2000年到2005年的擬合人口數(shù)，得下表：

有圖可以看出，指數(shù)增長(zhǎng)模型所預(yù)測(cè)的擬合人口接近于實(shí)際人口數(shù)，所以，指數(shù)增長(zhǎng)模型所預(yù)測(cè)的人口總數(shù)準(zhǔn)確性很高，其預(yù)測(cè)得出的數(shù)值可以令人相信。

參考文獻(xiàn)

[1] 謝金星，姜啟源，葉俊.數(shù)學(xué)建模（第四版）.高等教育出版社：163—173

[2] 國(guó)家統(tǒng)計(jì)局，網(wǎng)站http：//www.stats.gov.cn/tjsj/pcsj/

[3] 中國(guó)科學(xué)院自然資源綜合考察委員會(huì) .《中國(guó)土地資源生產(chǎn)能力及人口承載力研究》報(bào)告，1991