孟聞遠,郭潁奎

(華北水利水電大學土木與交通學院,河南 鄭州 450011)

冰體力學本構模型的構建

孟聞遠,郭潁奎

(華北水利水電大學土木與交通學院,河南 鄭州 450011)

為建立不同條件(溫度、加載速率、圍壓)下冰的力學本構模型,采用理論分析和試驗研究相結合的方法,通過比較冰的單軸壓縮試驗和比例加載條件下三軸壓縮試驗的應力-應變曲線特征,確定選用冪強化力學本構模型來描述冰體受力時的應力-應變關系;根據(jù)三軸壓縮試驗數(shù)據(jù),采用最小二乘法曲線擬合,建立了兩種試驗條件下冰的力學本構模型;誤差分析結果表明,所建立的冰體力學本構模型是比較準確的。

冰;力學本構模型;模型構建;三軸壓縮試驗;最小二乘法;曲線擬合

目前,國內(nèi)外開展的冰體力學試驗研究較少,我國近幾年一些單位相繼建立了冰力學試驗室,還裝備了大比例模型試驗的冰容器和冰池[1-2],但在冰體力學性能、計算理論以及防凌減災技術措施等方面仍無太多成熟的成果。冰體爆破三向受力的狀態(tài)是客觀的,而目前研究仍在單向受力試驗的狀態(tài)下進行[3-6],不能真實反映冰體受力狀態(tài)與物理性能,冰的三軸力學試驗國內(nèi)目前還是空白。隨著全球氣候變化異常和沿河兩岸經(jīng)濟建設發(fā)展,黃河、黑龍江等流域受凌汛危害影響越來越嚴重[7],為有效解決冰凌災害的影響,開展有關冰的三軸壓縮力學試驗、構建冰的力學本構模型尤為重要。本文在冰體單軸壓縮試驗和比例加載條件下三軸壓縮試驗的基礎上,建立了圍壓1.5 MPa、加載速率0.1 mm/min,溫度分別為-5℃和-10℃兩種試驗條件下冰的力學本構模型,可為冰凌災害防治研究提供一定的理論依據(jù)。

1 冰的力學試驗

為建立冰的力學本構模型,本研究前期開展了冰的單軸壓縮力學試驗和三軸壓縮力學試驗。

1.1 冰的單軸壓縮力學試驗

參照有關材料力學性能試驗標準[8],冰的單軸壓縮力學試驗采用人工制作的50 mm×100 mm圓柱體試件,所用設備和工具主要有低溫冰柜、不銹鋼管、塑料桶、切割機和鋼鋸等,需經(jīng)過冷凍、取樣、切割和加工等多道程序,試驗所用儀器為微機控制電液伺服萬能試驗機,主要測試抗壓特征,試驗得到的典型應力-應變曲線如圖1所示。

1.2 冰的三軸壓縮力學試驗

冰的三軸壓縮力學試驗采用50 mm×100 mm圓柱體冰試件,試驗儀器為微機伺服高低溫三軸試驗機。為了獲取三軸加載下的應力-應變曲線,通過比例加載,得到較為典型的冰的應力-應變曲線如圖2所示。

圖1 單軸壓縮試驗冰的應力-應變曲線

圖2 比例加載條件下三軸壓縮試驗冰的應力-應變曲線

通過三軸壓縮試驗,得到-5℃和-10℃兩種試驗條件下、不同時刻冰的應力σ和應變ε數(shù)據(jù),具體可參見表1和表2。

2 冰體力學本構模型的構建

2.1 冰體力學本構模型的選擇

對于不同的材料和不同的應用領域,可以采用不同的變形體模型。力學本構模型的選擇必須符合材料的實際情況,以反映結構或構件中的真實應力及應變狀態(tài)。此外,選擇的力學本構模型數(shù)學表達式應足夠簡單,以方便具體問題的數(shù)學求解。常用的簡化力學本構模型有理想彈塑性力學模型、線性強化彈塑性力學模型、冪強化力學模型和理想剛塑性力學模型[9-10]。

圖1和圖2試驗結果表明,冰的單軸壓縮力學試驗應力-應變曲線(圖1)和比例加載條件下三軸壓縮應力-應變曲線(圖2)均符合冪強化力學模型特征(圖3),且三軸壓縮試驗與單軸壓縮試驗的應力-應變曲線有較好的形態(tài)擬合性,這也證實了“單一曲線假設”的正確性,由此推定冰材料采用冪強化力學模型具有合理性。

圖3 冪強化力學模型應力-應變曲線

由于冰體強度較小,從受力到破壞一直應是主動加載、主動變形的過程,沒有卸載的過程,同時,冰體的脆性、低強度特點,決定了整個破壞過程也是在小變形范圍,因此冰材料本構模型采用冪強化力學模型是理想的,可方便計算。

冪強化力學模型可以避免解析式在ε=εs(達到屈服應變)處的變化,本文根據(jù)三軸壓縮試驗結果進行擬合,即取

(1)

其中

式中:s1、s2、s3為應力偏量分量;e1、e2、e3為應變偏量分量;m為冪強化系數(shù)(見圖3),介于0與1之間,曲線在ε=0處與σ軸相切,且有

(2)

m=1代表理想彈性模型,若將式中的A用彈性模量E代替,則為胡克定律的表達式;m=0時,若將A用σs代替,則為理想塑性(或稱剛塑性)力學模型。由式(2)可知,這兩條線在ε=1處相交。式(1)中冪強化系數(shù)m可以在較大范圍內(nèi)變化,解析式比較簡單,所以式(1)常被采用。

2.2 最小二乘法曲線擬合

冰體力學本構模型采用最小二乘法擬合,令擬合直線方程為

Y=a0+a1X

(3)

式中a0、a1是任意實數(shù)。應用最小二乘法原理,將實測值Yi與計算值的離差的平方和最小作為優(yōu)化判據(jù),通過求導,得到的兩個以a0、a1為未知數(shù)的方程:

(4)

(5)

將式(4)(5)代入式(3), 即得到回歸線性方程[11-12],也就是本文的數(shù)學模型。

2.3 冰體力學本構模型的建立及誤差分析

2.3.1 力學本構模型的建立

為便于擬合,對式(1)兩邊取對數(shù)將該函數(shù)線性化,即

lgσ=lgA+mlgε

(6)

令lgσ=Yi、a0=lgA、a1=m、Xi=lgε,則有

Yi=a0+a1Xi

(7)

對于a0和a1,采用最小二乘法計算。

根據(jù)三軸壓縮試驗測得的數(shù)據(jù)(σ和ε),由lgσ=Yi、Xi=lgε,可得到-5℃和-10℃兩種試驗條件下的相關數(shù)據(jù)如表1和表2所示。

表1 -5℃試驗條件下三軸壓縮試驗數(shù)據(jù)

表2 -10℃試驗條件下三軸壓縮試驗數(shù)據(jù)

根據(jù)表1和表2,由式(4)和式(5)可求出a0和a1,再根據(jù)a0=lgA、a1=m可得到A和m,對于-5℃試驗條件下的三軸壓縮試驗,可計算得a0=5.225,a1=0.609,A=185.9,m=0.609;對于-10℃試驗條件下的三軸壓縮試驗,可計算得a0=5.262,a1=0.528,A=192.8,m=0.528,即兩種試驗條件下冰的應力-應變關系分別為

σ=185.9ε0.609

(8)

σ=192.8ε0.528

(9)

利用MATLAB軟件,可將式(8)(9)擬合成曲線如圖4所示。

圖4 三軸壓縮試驗冰的力學模型曲線

2.3.2 誤差分析

擬合優(yōu)度[12-13]是指回歸直線對觀測值的擬合程度,顯然若觀測點離回歸直線近,則擬合程度好;反之則擬合程度差。度量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量是可決系數(shù)(亦稱確定系數(shù)R2):

(10)

由式(10)可知,R2的取值范圍是[0,1],R2的值越接近1,說明回歸直線對觀測值的擬合程度越好;反之,R2的值越接近0,說明回歸直線對觀測值的擬合程度越差。 由式(10)可計算得本試驗兩種條件下,式(8)和式(9)的擬合優(yōu)度分別為0.900 2和0.955 4, 可見兩種試驗條件下冰體力學本構模型擬合都非常理想。

3 結 論

a. 相對于單軸壓縮試驗,本文三軸壓縮試驗測得的冰體力學參數(shù)更接近實際,更加準確。

b. 冰體力學本構模型符合冪強化力學本構模型特征。

c. 擬合曲線(圖4)符合冪強化力學模型的特點,證明了所選力學本構模型的正確性。

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Construction of mechanics constitutive model of ice//

MENG Wenyuan, GUO Yingkui
(SchoolofCivilEngineeringandCommunication,NorthChinaUniversityofWaterResourcesandElectricPower,Zhengzhou450011,China)

In order to establish the mechanics constitutive models of ice in different conditions (i.e., temperature, loading rate, and confining pressure), through the theoretical analysis and experimental research, we compared the characteristics of ice stress-strain curve in uniaxial compression test and triaxial compression test under proportional loading condition. Then, we described the relationship between stress and strain of ice by adopting the mechanics constitutive model of power hardening. Moreover, according to the data from the triaxial compression tests, we established the mechanics constitutive models in the two test conditions by using least squares curve fitting. Overall, the error analysis showed that the mechanics constitutive model of ice is comparatively accurate.

ice; mechanics constitutive model; model building; triaxial compression test; least squares; curve fitting

水利部公益性行業(yè)科研專項(201201080)

10.3880/j.issn.1006-7647.2015.04.008

O34

A

1006-7647(2015)04-0032-03

2014-09-15 編輯：熊水斌)

作者介紹:孟聞遠(1965—),男,河南漯河人,教授,博士,主要從事土木工程、數(shù)值計算新方法等研究。E-mail:mwy@ncwu.edu.cn