☉重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌

☉重慶市渝中區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院 王躍輝

集合的含義是數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個重要而基本的概念，是學(xué)生進(jìn)入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一個數(shù)學(xué)概念.教師教學(xué)時，常常是采取一個概念加幾個注意，接著就是按概念應(yīng)用的幾個步驟進(jìn)行教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生不能從本質(zhì)上認(rèn)識和理解集合的含義.究其原因主要有四方面：一是教師缺乏必要的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，只知道原始概念不能用數(shù)學(xué)語言加以定義，而不知道描述也是一種概念的定義方式；二是教師對集合概念教學(xué)的認(rèn)識不足，沒有真正弄清集合概念在學(xué)生學(xué)習(xí)后繼內(nèi)容中的重要作用；三是教師沒有讀懂《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《課標(biāo)》）中“通過實例，了解集合的含義”［1］的要求，教學(xué)目標(biāo)的把握存在問題；四是教師不能從整體上把握中、小學(xué)數(shù)學(xué)教材，只是教教材而不是用教材.為幫助教師弄清《課標(biāo)》要求，準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo)，理解教材和“用好”教材，促進(jìn)教師的過程性教學(xué)，使學(xué)生從本質(zhì)上理解集合概念，現(xiàn)僅選取筆者對集合概念教學(xué)的一個引入片段，以教學(xué)設(shè)計的方式給出，同時附上相應(yīng)的教學(xué)評述，希望對大家教學(xué)集合的概念有所啟迪和幫助.

一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析

“集合的含義與表示”是人教A版必修1第一章集合與函數(shù)的概念中1.1集合的第一課時，主要包含集合的含義與集合的表示兩個內(nèi)容.［2］

集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，可以簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，集合的初步知識與其他內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ).

集合是一個原始概念，不能用其他數(shù)學(xué)概念來加以嚴(yán)格定義，而只能用自然語言給予描述和解釋，因而它具有高度的抽象性，學(xué)生很難對其真正理解和掌握，集合論的應(yīng)用更是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.中小學(xué)數(shù)學(xué)教材為了解決這些問題，把集合論的知識分成了三個階段.小學(xué)階段：主要在教材中滲透集合的思想方法，用集合的圖示法讓學(xué)生直觀理解相關(guān)數(shù)學(xué)知識，從中體會集合思想方法的作用.初中階段：在小學(xué)對集合的思想方法有了一定的感性認(rèn)識和應(yīng)用的基礎(chǔ)上，教材進(jìn)一步向?qū)W生介紹一些具體的集合和用集合來定義數(shù)學(xué)概念，但不涉及集合的意義，讓學(xué)生接觸一些具體的集合.高中階段：教材在小學(xué)和初中的基礎(chǔ)上讓學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)集合論的初步知識.這種螺旋式上升的處理方式既考慮了各個階段學(xué)生的年齡特點和心理特征，又考慮了學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知能力，對于學(xué)生理解和掌握集合內(nèi)容是很有好處的.教材的這種安排方式充分考慮了小初高集合內(nèi)容的教學(xué)銜接，也希望教師在教學(xué)集合概念時，要從學(xué)生在小學(xué)和初中的已有集合經(jīng)驗出發(fā)，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生獲取集合的含義，讓學(xué)生經(jīng)歷集合概念的逐步抽象概括過程.

根據(jù)以上分析可知，本節(jié)課的重點是集合概念的形成過程，而難點則是集合概念本身的正確理解.

二、教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析

《課標(biāo)》對集合概念的要求是：“通過實例，了解集合的含義.”這個要求總體來說包含兩方面的內(nèi)容：一是規(guī)定了教師的教與學(xué)生的學(xué)——以實例進(jìn)行教學(xué)和學(xué)習(xí)；二是明確了教師的教與學(xué)的目標(biāo)——了解集合的含義.從目標(biāo)的三個領(lǐng)域來分析其目標(biāo)“了解集合的含義”的水平和教與學(xué)的行為要求可知：知識與技能的水平要求是了解，教與學(xué)的行為要求是感知、認(rèn)識和識別等；過程與方法的水平要求是經(jīng)歷，教與學(xué)的行為要求是觀察、經(jīng)歷、體驗、操作、參與和嘗試等；而情感、態(tài)度與價值觀的水平要求是反應(yīng)與認(rèn)同，教與學(xué)的行為要求是感受和體會等.于是，根據(jù)課堂教學(xué)目標(biāo)三個領(lǐng)域之間的關(guān)系，我們可把該部分的教學(xué)目標(biāo)陳述如下：

（1）通過列舉生活實際與數(shù)學(xué)學(xué)科中的具體例子認(rèn)識與識別，知道什么是集合.

（2）引導(dǎo)學(xué)生對所舉實例進(jìn)行分析并形成集合的概念，經(jīng)歷集合概念的形成過程，并在這個過程中達(dá)成對集合概念的認(rèn)同，并嘗試用自己的語言來描述集合.

三、教學(xué)問題診斷分析

1.學(xué)生知識結(jié)構(gòu)分析

在小學(xué)和初中，學(xué)生已經(jīng)接觸過一些集合，對集合的一些思想方法有所了解，并會應(yīng)用集合的思想方法來理解和解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)問題.例如，小學(xué)在講數(shù)的加法時就用了集合的并集思想，在講數(shù)的減法時就用了集合的差集思想，而在講兩數(shù)的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)時則用了集合的交集思想.又如，初中代數(shù)中學(xué)生接觸了一些具體的集合：“自然數(shù)的集合”、“有理數(shù)的集合”、“不等式解的集合”等，而在平面幾何中講圓的概念和線段的垂直平分線的概念時，都是用集合來定義的.學(xué)生的這些知識經(jīng)驗都是為學(xué)習(xí)集合概念奠定了基礎(chǔ)，教學(xué)中教師要充分利用好這些有利因素.

2.教學(xué)內(nèi)容診斷分析

教材中所給出的集合概念的描述：“一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集）.”［2］高度概括，過于簡潔，學(xué)生很難理解.教學(xué)時，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言來描述集合.

3.教師方面的問題診斷分析

通過對過去高一、高二和高三學(xué)生的調(diào)查，幾乎沒有一個學(xué)生能用自己的語言來描述什么叫做集合.究其原因是教師對集合概念的教學(xué)認(rèn)識不足，教學(xué)時沒有讓學(xué)生經(jīng)歷集合概念的抽象概括過程，而是直接給出其概念，然后就講集合的表示與應(yīng)用，從而導(dǎo)致學(xué)生不能真正理解集合的概念.教學(xué)時，教師要從具體的集合例子入手，引導(dǎo)學(xué)生對構(gòu)成集合的對象及其對象所具有的特點進(jìn)行分析，逐步引導(dǎo)學(xué)生獲得集合的概念.

四、教學(xué)支持條件分析

（1）學(xué)生在小學(xué)和初中已經(jīng)接觸了一些集合，這些知識經(jīng)驗為集合概念的教學(xué)奠定了基礎(chǔ).

（2）根據(jù)高一學(xué)生的認(rèn)識水平和思維能力，學(xué)生已具備了一定的分析問題和解決問題的能力，以及具備了一定的語言描述能力，這些都是教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷集合概念的抽象概括過程的重要保證.

五、教學(xué)過程設(shè)計

觀察與思考：圖1和圖2是我們小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所接觸過的，［3］［4］它們分別幫助我們理解和掌握了哪些數(shù)學(xué)知識？

設(shè)計意圖與建議：該“觀察與思考”旨在通過學(xué)生對小學(xué)數(shù)學(xué)中“數(shù)的加法”、“數(shù)的減法”、“最小公倍數(shù)”和“最大公約數(shù)”學(xué)習(xí)時所接觸的相關(guān)圖示引出本節(jié)課的課題——集合概念，讓學(xué)生感受到將要學(xué)習(xí)的新知識是舊知識的引伸和發(fā)展.教學(xué)時，當(dāng)學(xué)生做出正確回答之后，教師可直接告知學(xué)生，在小學(xué)我們學(xué)習(xí)數(shù)的加法、減法、最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)中所用的這些圖示實際上蘊含了數(shù)學(xué)學(xué)科中的一種很重要的數(shù)學(xué)思想與方法——集合思想，從而引出課題.

想一想：在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們接觸了哪些具體的集合？

設(shè)計意圖與建議：“觀察與思考”只能讓學(xué)生對集合有一個模糊的感受——它與圖示有關(guān)，而學(xué)生在初中已經(jīng)具體接觸了一些集合，所以設(shè)計該“想一想”有兩個意圖：一是讓學(xué)生明白集合并不陌生——初中就有所接觸；二是通過對初中所接觸的具體集合的列舉為后面進(jìn)一步研究集合做好準(zhǔn)備工作.教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生把“自然數(shù)的集合”、“有理數(shù)的集合”、“某個不等式解的集合”、“到一個定點的距離等于定長的點的集合（圓）”、“到一條線段的兩個端點距離相等的點的集合（線段的垂直平分線）”等說出來，同時教師把相應(yīng)的集合也寫在黑板上，為后面的進(jìn)一步研究做準(zhǔn)備.

閱讀與舉例：請大家閱讀教材中所列舉的8個集合例子，［2］并試著列舉生活與學(xué)習(xí)中的集合例子.

設(shè)計意圖與建議：該環(huán)節(jié)的意圖主要有：一是讓學(xué)生了解集合與我們的生活、學(xué)習(xí)息息相關(guān)，無處不與集合打交道，從而使學(xué)生認(rèn)識到研究集合的必要性；二是為研究集合提供大量的素材，以便于對集合進(jìn)行研究，弄清什么叫做集合；三是讓學(xué)生學(xué)會并自覺地讀教材，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力.教學(xué)時，要啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生大膽地進(jìn)行舉例，并根據(jù)學(xué)生的回答情況適時地予以補充和完善.

分組討論：分組方法——同桌兩個同學(xué)為一組；活動要求——根據(jù)組成集合的對象的屬性把列舉的所有集合進(jìn)行分類，并思考集合可以由哪些對象組成；交流方式——以小組為單位進(jìn)行集體交流.

設(shè)計意圖與建議：從所列舉的這些集合中可以看出：屬性不同的對象一定不在同一個集合中，而不同集合的對象的屬性可以是相同的，這里的屬性是指：數(shù)、圖形、物、…….因此，弄清什么對象可以組成集合就成為研究集合最基本的出發(fā)點.為了讓學(xué)生養(yǎng)成合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣和培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的精神，我們設(shè)計了這個活動.該環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生通過分類的方法，了解組成一個集合的對象可以是世間萬事萬物.教學(xué)時，要讓學(xué)生知道這里的每一類也構(gòu)成一個集合，即組成集合的對象還可以是集合，它對學(xué)生深刻理解集合概念是很有好處的.

探究：同一集合中的對象有什么特點？試舉例說明.

設(shè)計意圖與建議：通過上面的活動，學(xué)生已經(jīng)知道不同類的集合中的對象其屬性是不相同的，并直觀感知：盡管同一類中不同集合的對象的屬性是相同的，但是不同集合的對象卻具有不同的特點.于是，研究“同一個集合中的所有對象有沒有一個共同特點”就成為必然，所以在教學(xué)中我們設(shè)計了這樣一個思考題.教學(xué)中教師要啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生大膽地把自己的發(fā)現(xiàn)說出來，并會使用例子予以佐證.在我們的教學(xué)過程中，學(xué)生就給出了如下一些結(jié)論：①集合中的所有對象都滿足同一個條件；②集合中的所有對象都有相同的特點；③集合中的所有對象都有相同的性質(zhì)等.

該探究的主要意圖是通過“思考”讓學(xué)生從本質(zhì)上理解各個集合.因此該環(huán)節(jié)既是教師引導(dǎo)學(xué)生獲取集合概念的關(guān)鍵，又是學(xué)生用自己的語言來描述集合的基礎(chǔ).

想一想：請大家根據(jù)以上結(jié)論，思考什么叫做集合？

設(shè)計意圖與建議：通過上一環(huán)節(jié)“探究”，學(xué)生已經(jīng)獲得了若干個集合特點的結(jié)論，并且學(xué)生會從中看出所有的結(jié)論實質(zhì)是相同的，只是說法不同.比如，都滿足與都有，同一個條件與相同的特點和相同的性質(zhì)等，只是用了不同的詞語來表述，其本質(zhì)是相同的.而這些結(jié)論都反映了集合的本質(zhì)屬性，所以這個“想一想”的出現(xiàn)是很自然的事情.教學(xué)時，教師要在啟發(fā)和引導(dǎo)上下功夫，并讓學(xué)生大膽地把自己的想法說出來.教學(xué)實踐表明，只要教師進(jìn)行恰當(dāng)?shù)膯l(fā)和適時的引導(dǎo)，學(xué)生完全能夠描述什么叫做集合.例如，在我們的教學(xué)過程中：

有的學(xué)生說：集合是把具有相同條件的所有對象合在一起；

有的學(xué)生說：集合是把滿足同一條件的所有對象并在一起；

有的學(xué)生說：集合是把具有相同特點的所有對象看成一個整體；

有的學(xué)生說：集合是把具有相同性質(zhì)的所有對象集在一起；

……

學(xué)生對集合的這些不同的描述也為學(xué)生后面學(xué)習(xí)集合的表示法做好了鋪墊.

六、教學(xué)設(shè)計評述

該教學(xué)設(shè)計盡管不是一節(jié)課的完整設(shè)計，而只是關(guān)于引出“集合概念”知識的一個片段，但它卻抓住了教學(xué)中的主要問題.各個環(huán)節(jié)緊緊圍繞“集合概念”這個中心展開，讓學(xué)生經(jīng)歷了概念的逐步抽象概括過程，弄清了概念的來龍去脈，使學(xué)生從本質(zhì)上理解和把握概念，并初次體會了給數(shù)學(xué)概念下定義的過程，從而享受了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣.具體地說有如下幾個特點：

1.深刻理解教材，整體把握教材

從教學(xué)內(nèi)容分析可以看出，筆者對中小學(xué)數(shù)學(xué)教材做了認(rèn)真細(xì)致的研究，弄清了教材對集合概念與思想在各個階段的安排意圖，對中小學(xué)數(shù)學(xué)教材從整體上予以把握.正如前面教學(xué)內(nèi)容分析中所述：小學(xué)階段主要滲透集合的思想方法，用集合的圖示法讓學(xué)生直觀理解相關(guān)數(shù)學(xué)知識，從中體會集合思想方法的作用.初中階段向?qū)W生介紹一些具體的集合和用集合來定義數(shù)學(xué)概念，但不涉及集合的意義，使學(xué)生對集合有一個比較具體的認(rèn)識.高中階段讓學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)集合論的初步知識.

2.目標(biāo)定位準(zhǔn)確，陳述方式合理

通常教師在陳述教學(xué)目標(biāo)時存在三個方面的問題：一是冠以一些空洞的理論，對教學(xué)沒有實際指導(dǎo)意義；二是把《課標(biāo)》中的教學(xué)要求進(jìn)行“復(fù)制→粘貼”，沒有自己的認(rèn)識與理解；三是把三維目標(biāo)割裂開來分別闡述，條目多而雜，主要目標(biāo)不突出.而筆者在確定以上教學(xué)目標(biāo)時，緊緊圍繞《課標(biāo)》的要求，首先，從總體上分析該要求對教師的教與學(xué)生的學(xué)作了什么規(guī)定，然后，從目標(biāo)的三個領(lǐng)域?qū)υ撘髲乃揭蠛徒膛c學(xué)的行為方式上進(jìn)行分析，最后，根據(jù)目標(biāo)的三個領(lǐng)域之間的關(guān)系，綜合成兩條予以表述.目標(biāo)定位準(zhǔn)確，陳述方式合理，既說明了教師的教學(xué)行為方式，又明確了學(xué)生的學(xué)習(xí)行為方式，操作性強，對教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計和課堂教學(xué)都具有實際指導(dǎo)作用.應(yīng)該說，以上筆者的教學(xué)目標(biāo)解析為廣大教師準(zhǔn)確確定教學(xué)目標(biāo)提供了一種范例.

3.注重前后聯(lián)系，關(guān)注已有經(jīng)驗

在教學(xué)中，筆者在新知的教學(xué)過程中，既注重知識的前后聯(lián)系，又關(guān)注了學(xué)生的已有知識經(jīng)驗，把小初高的內(nèi)容串通一氣，融為一體，一氣呵成，具體表現(xiàn)在兩個方面：一是在課題引入時，筆者通過“觀察與思考”，讓學(xué)生了解即將學(xué)習(xí)的新知識在小學(xué)就已經(jīng)接觸和使用過了，并不陌生，這樣學(xué)生對所學(xué)知識就有了一種親近感，學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣自然就會被激發(fā)起來，學(xué)生會想，“什么叫做集合呢？”從而使得課題的出現(xiàn)順理成章.事實上，教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生會自然地把圈圖與集合聯(lián)系起來，盡管它是學(xué)生對集合的一個朦朧認(rèn)識，但它為學(xué)生后面學(xué)習(xí)集合的圖示法做了鋪墊.二是在課題引入之后的“想一想”，讓學(xué)生對集合有了一個更為具體的直觀感知，而相應(yīng)的具體集合也為后面進(jìn)一步研究什么叫做集合做好了準(zhǔn)備工作.

4.適時設(shè)計活動，活動要求具體

筆者在教學(xué)中依據(jù)《課標(biāo)》對學(xué)生 的學(xué)習(xí)活動提出了要求，根據(jù)具體的“集合概念”知識內(nèi)容的特點，恰時恰點設(shè)計了分組活動.其活動既有分組的方法，又有活動的具體要求，同時還有活動之后又怎么做，活動目標(biāo)明確.讓學(xué)生在活動過程中體驗數(shù)學(xué)地研究問題的思路與方法，了解組成一個集合的對象可以是世間萬事萬物，同時讓學(xué)生養(yǎng)成合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣和培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的精神.

5.精心設(shè)計環(huán)節(jié)，有效促進(jìn)思考

筆者的教學(xué)設(shè)計共有6個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)都圍繞集合概念一環(huán)扣一環(huán)，后一環(huán)節(jié)既是前一環(huán)節(jié)的延伸、發(fā)展，又是后一環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)，使得每個環(huán)節(jié)的出現(xiàn)既自然又必要.我們可把這6個環(huán)節(jié)分為“思考”、“閱讀”和“活動”三大類，每一類都在引發(fā)學(xué)生思考上下功夫.比如，在學(xué)生活動的基礎(chǔ)上得到“組成集合的對象可以是世間萬事萬物”和“同一類中不同集合的對象的屬性是相同的，但是不同集合的對象卻具有不同的特點”的結(jié)論之后，我們必須研究同一個集合中的不同對象是否具有相同的特點，所以緊跟了一個探究欄目，而這個探究欄目又是后面研究如何描述集合的基礎(chǔ)，并且它需要學(xué)生通過一定的思考之后才能給出結(jié)論，其思維的強度適中，學(xué)生力所能及.

6.滲透思想方法，注重能力培養(yǎng)

筆者在整個教學(xué)設(shè)計中，緊緊圍繞集合概念，讓學(xué)生從特殊到一般，采用分類討論，由具體到抽象經(jīng)歷集合概念的逐步抽象概括的全過程.在這個過程中，無論是學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，還是學(xué)生的語言表達(dá)能力，以及學(xué)生數(shù)學(xué)地思考問題的能力都得到了較好的培養(yǎng).尤其是在最后一個環(huán)節(jié)讓學(xué)生用自己的語言來描述集合的含義，對提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)都很有好處.

此外，本設(shè)計的另一個亮點是：每個環(huán)節(jié)都有“設(shè)計意圖與建議”的說明，特別是其中的教學(xué)建議，它表明該設(shè)計具有很強的可操作性與可借鑒性.這也是本設(shè)計與其他教學(xué)設(shè)計的不同之處.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)1（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.盧江，楊剛.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)一年級上冊［M］.北京：人民教育出版社，2012.

4.盧江，楊剛.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)五年級下冊［M］.北京：人民教育出版社，2006.