楊繼超，戴宗妙

(1.哈爾濱工程大學機電工程學院，黑龍江哈爾濱150001;2.中國船舶重工集團公司第七一三研究所，河南鄭州450015)

優(yōu)化設計是指在特定約束條件下，獲得結(jié)構某種性能指標(如體積、質(zhì)量或擾度等)最優(yōu)。傳統(tǒng)的優(yōu)化設計，往往建立在確定性模型基礎上，沒有考慮變量參數(shù)實際值與名義值存在的差異，得到的優(yōu)化解位于可行域邊界。當實際工程中變量參數(shù)(如載荷)發(fā)生擾動時，理論最優(yōu)解很可能落在不可行區(qū)域，給設計帶來潛在風險。針對工程設計中不確定性，國內(nèi)外學者提出許多設計理論和方法。其中穩(wěn)健設計基本思想是在不消除不確定性源的前提下，提高產(chǎn)品對不確定因素抵抗力［1］。結(jié)構穩(wěn)健優(yōu)化一個難點是對不確定性力的分析及對優(yōu)化過程影響，即建立不確定性優(yōu)化模型。

目前，基于概率不確定模型應用比較成熟。文獻［2-4］通過構造約束和目標函數(shù)靈敏度分析，進行穩(wěn)健優(yōu)化設計;文獻［5］采用Kriging模型，建立以目標性能指標均值和方差為優(yōu)化目的優(yōu)化模型;文獻［6］將穩(wěn)健優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成多目標優(yōu)化問題，對結(jié)構進行優(yōu)化設計;為了提高計算效率，文獻［7］基于隨機響應量前四階矩建立穩(wěn)健優(yōu)化設計模型?；诟怕誓Ｐ头椒ㄐ枰罅繕颖緮?shù)據(jù)估算參數(shù)的不確定度或分布函數(shù)，而這些數(shù)據(jù)在實際工程中往往很難實現(xiàn)。然而獲得不確定因素的邊界，是相對容易的。非概率方法就是根據(jù)不確定參數(shù)未知但有界的特點進行建模。文獻［8-10］提出了基于凸集理論的非概率不確定模型分析方法，對結(jié)構進行穩(wěn)健性分析。文獻［11］在非概率凸模型可靠性約束下，通過超橢球域界定不確定參量，進行結(jié)構優(yōu)化設計。文獻［12-13］運用區(qū)間模型對不確定性參數(shù)進行非概率性描述，建立結(jié)構優(yōu)化和設計方法。目前，在集合理論凸模型中，大多方法都是求解結(jié)構響應上下界解析解的近似值［14］;對于復雜的結(jié)構，區(qū)間模型計算量往往非常大，計算效率低下甚至無法實行。

20世紀90年代，Ben-Haim提出非概率Information-Gap(I-G)理論描述不確定性模型，并以系統(tǒng)承受最大不確定性波動作為評價結(jié)構穩(wěn)健性的指標。文獻［15-16］給出了非概率的I-G模型處理不確定性的理論方法，文獻［17-18］基于I-G理論，對地下結(jié)構在非確定因素影響下結(jié)構的穩(wěn)健性進行分析。為此，本文針對剛架體結(jié)構承受不確定載荷特點，引入I-G理論，建立結(jié)構非概率穩(wěn)健性模型，并結(jié)合優(yōu)化設計方法，對剛架體結(jié)構進行穩(wěn)健性優(yōu)化設計，提高對不確定因素的抵抗能力。

1 不確定載荷I-G模型

1.1 剛架體應力約束方程

在實際工程中，剛架體結(jié)構通常會受到不確定載荷作用，且結(jié)構需要滿足最基本應力約束要求。令一個線彈性的三維剛架體結(jié)構自由度為n，則系統(tǒng)平衡方程為

式中:u∈Rn和f∈Rn分別表示節(jié)點的位移和外載荷矢量，K∈Sn為剛度矩陣。對于有m個桿件的剛架體結(jié)構，桿截面積a=(ai)∈Rm，則K可以寫成如下形式:

式中:b=(bij)∈Rn是常向量。則由上述關系式，應力約束方程為

式中:E表示彈性模量，表示第i桿許用應力。根據(jù)位移表示約束方程，則有

式中:dl∈R，常量vl∈R。為了保證剛架體結(jié)構的安全穩(wěn)定，桿件必須滿足式(3)或式(4)。當上述約束關系式滿足時，不確定變量允許一定的變化幅度。這里通過穩(wěn)健函數(shù)來度量，它與影響剛度矩陣的桿截面積和不確定程度相關。

1.2 不確定性因素I-G分析

I-G模型是由凸集理論基礎發(fā)展而來。根據(jù)I-G理論，不確定度是采用已知信息與未知信息的偏離程度或斷缺狀態(tài)描述。由于外在環(huán)境的不可控性以及所需解決問題信息掌握貧乏，結(jié)合剛架體結(jié)構特點，建立不確定性影響因素的I-G模型。不確定參數(shù)不確定性程度可表達為［17］

式(6)表明，當不考慮載荷不確定性(α=0)時，名義載荷即為實際載荷f，I-G模型退化成確定性模型。式(7)表明，不確定參數(shù)α決定不確定因素真實值和名義值之間的偏離程度，當α小時，和f越接近;反之偏離程度大。相比較其他非概率模型，如固定區(qū)間模型或凸集模型，I-G模型U(α，)的嵌套凸集特性能更好反應不確定性載荷的動態(tài)變化。

1.3 基于I-G模型穩(wěn)健函數(shù)構造

穩(wěn)健性反映結(jié)構對不確定性因素的抵抗程度，如果結(jié)構能夠允許較大不確定性變化而不失效，就認為該結(jié)構穩(wěn)健強。上一節(jié)，建立了不確定載荷的I-G模型，定義參數(shù)α表示不確定性變化幅度。

在滿足約束條件式(3)或(4)的前提下，結(jié)合I-G理論，剛架體結(jié)構系統(tǒng)的平衡方程(1)所有可能解集可表示成

結(jié)合式(4)、(8)，式(9)的最優(yōu)規(guī)劃問題可表示為

式(10)即為穩(wěn)健函數(shù)。對于兩組不同剛架體截面積向量a1∈Rn和a2∈Rn，如果則a1比a2穩(wěn)健。

2 結(jié)構穩(wěn)健優(yōu)化模型

2.1 一般優(yōu)化模型形式

傳統(tǒng)的確定性問題數(shù)學優(yōu)化模型可以表示為

式中:f(x)為優(yōu)化模型的目標函數(shù)，x優(yōu)化設計變量;gi(x)和n分別為約束條件以及約束條件數(shù)量;x1、x2為設計變量的取值范圍。

當存在不確定因素時，結(jié)構穩(wěn)健優(yōu)化不但要考慮不確定因素對優(yōu)化模型的影響，還要考慮目標函數(shù)的穩(wěn)健性，即能抵御不確定因素的影響。結(jié)合上一節(jié)的分析，注意到穩(wěn)健函數(shù)值大的結(jié)構更為強健?；趦?yōu)化理論，建立穩(wěn)健函數(shù)最大化問題的優(yōu)化模型。考慮結(jié)構體積(質(zhì)量)約束條件，橫截面向量a應該滿足:

式中:li＞0 表示第i個桿長，為體積上限。對限定的位移uc和，應力約束下魯棒函數(shù)最大化問題優(yōu)化模型可以寫為

優(yōu)化目標為穩(wěn)健性函數(shù)最優(yōu)，即結(jié)構抵抗不確定性載荷最大化。

2.2 半定規(guī)劃模型

上述過程中，基于I-G模型處理不確定載荷，則載荷集中包含無窮多載荷，常規(guī)方法很難對上式進行求解。因此通過半定規(guī)劃對穩(wěn)健優(yōu)化模型進行重新構造。傳統(tǒng)半定規(guī)劃的數(shù)學形式為［14］

式中 c，x∈Rn，F(xiàn)i(i=0，…，n)為n階常對稱矩陣，x 為設計變量，矩陣F(x)?0為正定。

結(jié)合本文優(yōu)化模型式(13)，令F?Rn表示滿足上述應力約束(4)的力集合:

進行如下定義:

其中，p，t∈R，a∈Rm。將新參數(shù)(t，p)引入穩(wěn)健函數(shù)(a，uc)中，則可以得到:

半定規(guī)劃算法有成熟的商業(yè)計算軟件包，可直接方便快捷調(diào)用，避免如牛頓法那樣推導雅可比矩陣和海森堡矩陣。

3 數(shù)值仿真

3.1 三桿系穩(wěn)健性優(yōu)化

考慮如圖1所示的三桿件架體。其形式為對稱結(jié)構，桿件個數(shù)和自由度分別為m=3，n=2。為了結(jié)果分析方便，這里將單位歸一化處理。桿件3的長度l3=15且垂直于水平方向，θ=45°。桿件所受力狀態(tài)如圖1所示，名義載荷大小為100。考慮應力約束式(3)=3.0(i=1，2，3)。設定結(jié)構初始變量為a0=(20，20，20)，以a=a0時結(jié)構體積為基準，則結(jié)構體積約束為≤1 148.53。

圖1 三桿架體Fig.1 3-bar structure

已知初始變量值a0，對式(18)進行求解，得到(a0，σc)=0.822。通過半定規(guī)劃模型式(19)，對架結(jié)構進行優(yōu)化設計，得到優(yōu)化迭代過程如表1。

表1 優(yōu)化迭代過程Table 1 Iteration history of the optimization

對結(jié)構初始狀態(tài)a0進行分析。隨機產(chǎn)生一組力f，使其落在穩(wěn)健函數(shù)(a0，σc)限定的不確定載荷集之中。則結(jié)構中桿件應力σi(i=1，2，3)分布狀態(tài)如圖2所示。

經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，桿件3在應力σ3=3.0附近有分布，而桿件1(或桿件2)應力值始終沒有發(fā)揮最大功效。

剛架經(jīng)過優(yōu)化后，最優(yōu)解為a=a*，經(jīng)過計算和分析，得到結(jié)構桿件應力σi(i=1，2，3)分布狀態(tài)如圖3所示。其中，應力約束σi≤σc(i=1，2，3)在3個桿件中均產(chǎn)生作用，優(yōu)化后改善了結(jié)構性能，最大程度發(fā)揮了剛架體結(jié)構的潛力。

圖2 當a=a0時桿件應力分布Fig.2 Stress states of the 3-barstructure with a=a0

圖3 當a=a*時桿件應力分布Fig.3 Stress states of the 3-barstructure with a=a*

3.2 多桿系剛架體結(jié)構

如圖4所示多桿架體結(jié)構，桿件個數(shù)和自由度分別為m=100，n=90。桿件在x軸和z軸方向的長度均為100，在y軸方向有桿長100和30(即中部連接處短桿)2種規(guī)格，其余為連接斜桿。結(jié)構底座完全約束。載荷作用于如圖4所示位置，垂直方向載荷名義值為=(0，10，0);水平方向名義值=(2，0，0)。

圖4 多桿架結(jié)構Fig.4 Complex frame structure

圖5 架體優(yōu)化設計Fig.5 Optimal design of the frame structure

為了驗證優(yōu)化結(jié)果，觀察后標記如圖6所示，對部分桿件進行分析。當結(jié)構中a=a0和a=a*時，產(chǎn)生一組隨機攝動載荷分別滿足應力約束式(3)要求。

圖6 架體平面結(jié)構Fig.6 2-D structure of the frame structure

圖7 隨機攝動載荷下最大應力Fig.7 Fluctuation stress under random loading

圖7表示優(yōu)化前后對比，即對應a=a0、a*時，圖6中標記對應桿桿件最大應力變化范圍。其中淺色為設計變量初始取值，深色為優(yōu)化后取值。通過觀察發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后結(jié)構在隨機攝動載荷下，最大應力變化幅值總體上小于優(yōu)化前，結(jié)構保持較大的安全富裕度，能更好抵抗不確定載荷的影響。

4 結(jié)束語

本文基于穩(wěn)健性函數(shù)構建了剛架體結(jié)構穩(wěn)健性優(yōu)化算法。該方法充分考慮了載荷的不確定因素，利用I-G理論處理不確定載荷，構造應力約束下的穩(wěn)健性函數(shù)最大值優(yōu)化模型，利用半定規(guī)劃松弛技術重新將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成半定規(guī)劃問題，降低工程設計人員求解的難度，提高求解效率。通過數(shù)值仿真可以發(fā)現(xiàn)在優(yōu)化過程中約束條件發(fā)揮作用，在同等體積(質(zhì)量)條件下，雖結(jié)構局部一些桿件應力有所增加，但總體應力狀態(tài)得到改善，提高了結(jié)構抗擾動載荷的能力。

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