南昌航空大學飛行器工程學院 丁相玉

水平旋轉(zhuǎn)梁的自由振動分析

南昌航空大學飛行器工程學院 丁相玉

本文引入一種較新的數(shù)學方法阿德米安修正分解法（Adomian modified decomposition method，AMDM）研究在不同邊界條件下水平旋轉(zhuǎn)歐拉梁的振動分析。通過與前人的計算結(jié)果比較，驗證了本文方法的有效性。阿德米安修正分解法提供了一種在任意邊界條件下，對旋轉(zhuǎn)梁進行自由振動分析的簡單而準確的方法。

Adomian修正分解法；水平旋轉(zhuǎn)梁；邊界條件；振形；固有頻率；

1 引言

由于旋轉(zhuǎn)梁被廣泛應用于旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)，所以其自由振動分析日益受到重視，并對其進行了廣泛的研究，取得了卓有成效的成果。不同的數(shù)值分析方法如動態(tài)剛度法、經(jīng)典微分方程法、有限元法和譜元分析法已被用于解決該類結(jié)構(gòu)的自由振動問題。如今，大多數(shù)旋轉(zhuǎn)梁的振動分析已不限于經(jīng)典邊界條件（如固定，自由或簡支）。然而在實踐中，旋轉(zhuǎn)梁的結(jié)構(gòu)特點可能跟經(jīng)典的邊界條件相差甚遠。

本文引入一種較新的數(shù)學方法——Adomian修正分解法，并將其應用于在各種經(jīng)典和非經(jīng)典邊界條件下對旋轉(zhuǎn)歐拉梁的自由振動分析。與經(jīng)典的數(shù)值方法如有限元方法相比，Adomian修正分解法的主要優(yōu)點在于不需要進行離散化從而不用修正誤差，并且計算快速。最初提出用來解決物理的前沿問題的Adomian修正分解法，現(xiàn)在已經(jīng)逐漸被應用于求解振動力學問題。

2 用AMDM方法分析水平旋轉(zhuǎn)梁

如圖1所示，歐拉梁繞Z軸旋轉(zhuǎn)，長度為L，梁兩端添加彈性約束，在X和Y方向的位移分別為。歐拉梁的自由振動偏微分方程如下所示：

圖1 歐拉梁彈性約束

式（1）和（2）重新表示為：

顯然式（5）和（6）構(gòu)成了一個常微分耦合方程。該方程可以簡化為矩陣形式

根據(jù)Adomian修正分解法可知，式（7）中的可以分解為無窮級數(shù)之和

把式（9）代入式（12）的等號右邊，并與式（13）進行比較，則公式（9）中的未知向量 可以用以下遞推關系確定

根據(jù)方程（9）,振型的第一、第二和第三階空間導數(shù)可以表示為

3 梁的固有頻率和振型分析

在圖1所示的旋轉(zhuǎn)梁無量綱后的兩端邊界條件可以表示為

把式（19），（20）代入式（17），（18），可以得到

4 數(shù)值結(jié)果

表1列出了不同旋轉(zhuǎn)速度下的兩端簡支梁的前六階無量綱固有頻率。將這些計算結(jié)果與文獻[1]和 [8]進行對比，可以發(fā)現(xiàn)利用AMDM方法得到的結(jié)果與其他計算方法的結(jié)果之間的幾乎沒有差異。

本文所提出的方法，基于AMDM技術(shù)，在任意邊界條件下為旋轉(zhuǎn)梁的振動分析提供了一個統(tǒng)一系統(tǒng)的步驟。從而可以很容易的得到無量綱固有頻率和相應的振型。例如，通過改變水平和垂直彈簧的剛度數(shù)值就可以改變模型的邊界條件，但是算法沒有任何的影響和改變。

表1 懸臂梁在不同旋轉(zhuǎn)速度下的前六階無量綱固有頻率（當時）

表1 懸臂梁在不同旋轉(zhuǎn)速度下的前六階無量綱固有頻率（當時）

表2 懸臂梁在不同旋轉(zhuǎn)速度下的前六階無量綱固有頻率（當時

表2 懸臂梁在不同旋轉(zhuǎn)速度下的前六階無量綱固有頻率（當時

圖2 當時懸臂梁的前六階固有頻率

圖3 當時懸臂梁的前六階固有頻率

圖4 當時固支梁的前六階固有頻率

圖5 當時固支梁的前六階固有頻率

5 結(jié)論

在本文中，使用AMDM修正方法在不同邊界條件下對勻質(zhì)的旋轉(zhuǎn)歐拉梁的自由振動進行了分析。AMDM修正方法的優(yōu)點是它的快速收斂性和高精度。用AMDM修正方法針對不同的邊界條件和/或旋轉(zhuǎn)速度只需簡單地改變相應參數(shù)即可，而并不涉及任何程序或算法的修改。通過該方法可以快速的得到各種梁在不同邊界條件和旋轉(zhuǎn)速度下的無量綱固有頻率。

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丁相玉(1983-)，男，碩士。研究方向為航空發(fā)動機振動分析。