張玉嬌，朱曉麗，賀子光，黨亞倩，陳 磊

（1.濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系，河南濟(jì)源454000;2.長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，西安710054；3.西部地質(zhì)資源與地質(zhì)工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710054）

0 引言

由于邊坡工程的不確定性特點(diǎn)，傳統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法不能很好地解決實(shí)際問題，而可靠性分析方法可以更為準(zhǔn)確地計(jì)算工程問題。經(jīng)過國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的大量研究，可靠性分析方法取得了很大的進(jìn)展[1～4]。目前，計(jì)算邊坡可靠度的常用方法有：蒙特卡羅法（MCS）、一次二階矩法(FORM)、響應(yīng)面法（RSM）、優(yōu)化算法（Optimization Algorithm）和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法（ANN）等。

邊坡工程可靠性分析方法雖然取得了一定的進(jìn)展，但仍然有諸多問題亟待解決：MCS法對(duì)于小概率事件，需要進(jìn)行大量的數(shù)值計(jì)算，效率較低；FORM法雖然算法簡(jiǎn)單，但計(jì)算工作量大。優(yōu)化算法是一種新的求解可靠度指標(biāo)的數(shù)值方法，即求解可靠指標(biāo)屬于求解極限狀態(tài)曲面到原點(diǎn)最短距離的優(yōu)化問題。應(yīng)該說用優(yōu)化方法求解可靠指標(biāo)是一種有效的途徑，但現(xiàn)有的大部分優(yōu)化方法在求解功能函數(shù)呈高度非線性問題時(shí)（尤其是凸優(yōu)化問題），有時(shí)會(huì)陷入局部最小值，或者是計(jì)算結(jié)果不收斂，效果往往不理想[5～6]。

PSO方法是模擬鳥群覓食的種群優(yōu)化方法，其算法簡(jiǎn)單，收斂速度快，已得到眾多研究者的肯定。張利彪、周春光利用PSO方法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，實(shí)現(xiàn)了對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問題的非劣最優(yōu)解集的搜索[7]；劉大鵬、周建中將混沌算法和PSO算法結(jié)合，并將其應(yīng)用到了土釘支護(hù)優(yōu)化設(shè)計(jì)中[8]。

本文提出應(yīng)用MPSO方法計(jì)算邊坡可靠度。該方法借鑒遺傳算法中的雜交概念，將標(biāo)準(zhǔn)PSO方法進(jìn)行改進(jìn)，計(jì)算可靠度指標(biāo)及驗(yàn)算點(diǎn)。該方法可以解決功能函數(shù)呈高度非線性的可靠度計(jì)算問題，并具有較高的精度和收斂速度。

1 粒子群算法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法原理

粒子群算法是一種進(jìn)化計(jì)算技術(shù)，由Eberhart和kennedy博士發(fā)明，源于對(duì)鳥群捕食的行為研究。PSO算法同遺傳算法類似，是一種基于迭代的優(yōu)化工具。系統(tǒng)初始化為一組隨機(jī)解，通過迭代搜尋最優(yōu)值。在PSO算法中，每個(gè)優(yōu)化問題的解都是搜索空間中的一只鳥，被抽象為沒有質(zhì)量和體積的微粒，并將其延伸到N維空間。PSO算法首先初始化一群粒子（隨機(jī)解），然后粒子就追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索，即通過迭代找到最優(yōu)解。假設(shè)D維空間中的第i個(gè)粒子的位置和速度分別為和，在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個(gè)最優(yōu)解來(lái)更新自己，第一個(gè)就是粒子本身所找到的最優(yōu)解，即個(gè)體極值pbest；另一個(gè)是整個(gè)種群目前找到的最優(yōu)解，即全局最優(yōu)解gbest，在找到這兩個(gè)最優(yōu)值時(shí)，粒子根據(jù)如下的公式來(lái)更新自己的速度和新的位置。

其中，w為慣性權(quán)重，c1和c2為正的學(xué)習(xí)因子，r1和r2為0到1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

1.2 混合粒子群算法

1.2.1 算法原理

借鑒遺傳算法中的雜交概念，在每次迭代中，根據(jù)雜交概率選取指定數(shù)量的粒子放入雜交池內(nèi)，池中粒子隨機(jī)兩兩雜交，產(chǎn)生同樣數(shù)目的子代粒子（child）,并用子代粒子替換親代粒子（par?ent）。子代位置由父代位置進(jìn)行算術(shù)交叉得到：

或

其中，p是0到1之間的隨機(jī)數(shù)。

子代的速度由下式計(jì)算：

或

1.2.2 算法步驟

基于雜交的粒子群算法的基本步驟如下：

1）隨機(jī)初始化種群中各微粒的位置和速度；

2）評(píng)價(jià)每個(gè)微粒的適應(yīng)度，將當(dāng)前各微粒的位置和適應(yīng)值存儲(chǔ)在各微粒的pbest中，將所有pbest中的速度和適應(yīng)值存儲(chǔ)在gbest中；

3）更新每個(gè)微粒的速度和位置；

4）對(duì)每個(gè)微粒，將其適應(yīng)值與其經(jīng)歷過的最好位置進(jìn)行比較，如果較好，將其作為當(dāng)前最好的位置和速度；

5）比較當(dāng)前所有的pbest和gbest的值，更新gbest；

6）根據(jù)雜交概率選取指定數(shù)量的粒子放入雜交池內(nèi)，池中的粒子隨機(jī)兩兩雜交產(chǎn)生同樣數(shù)目的子代粒子，子代的位置和速度計(jì)算公式如下：

保持pbest和gbest不變；

7）若滿足停止條件，搜索停止，輸出結(jié)果，否則返回3）繼續(xù)搜索。

1.2.3 可靠度指標(biāo)的幾何含義

從一次二階矩方法的理論可知，對(duì)于獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量，當(dāng)極限狀態(tài)方程為線性時(shí)，可靠度指標(biāo)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中等于原點(diǎn)到極限狀態(tài)平面(或直線)的最短距離[9]。Shinozuka已經(jīng)證明：在失效面上，如果某點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是所有點(diǎn)中最近的，則該點(diǎn)就是失效點(diǎn)，或者說是驗(yàn)算點(diǎn)。在可靠度分析中，該距離即為可靠度指標(biāo)β。因此，設(shè)具有n個(gè)正態(tài)變量x1,x2,???xn的極限狀態(tài)方程：

或

將上述中的變量x1,x2,…xn標(biāo)準(zhǔn)化得

式中，mxi和σxi是變量xi的均值和方差。因此可靠度計(jì)算模型為

如果隨機(jī)變量服從一般分布，則可以進(jìn)行高斯變換，將一般分布變換成正態(tài)分布。高斯變換如下：

1.2.4 MPSO方法在可靠度計(jì)算中的應(yīng)用

由可靠度指標(biāo)的幾何含義可知，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中，可靠度指標(biāo)是原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離，而驗(yàn)算點(diǎn)就是極限狀態(tài)曲面上到原點(diǎn)距離最短的點(diǎn)。利用混合粒子群方法的全局搜索能力找出其到原點(diǎn)最短距離的點(diǎn)以及相應(yīng)的最短距離，即可靠度指標(biāo)和設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)，具體步驟如下：

1）確定混合粒子群方法參數(shù)。粒子數(shù)目，學(xué)習(xí)因子1，學(xué)習(xí)因子2，慣性權(quán)重w，雜交概率Pc，雜交池的大小比例Sp，最大迭代次數(shù)。

2）隨機(jī)產(chǎn)生初始種群。根據(jù)各隨機(jī)變量的具體分布，利用Matlab中隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器，隨機(jī)產(chǎn)生一組隨機(jī)數(shù)作為該變量的初始種群，通常設(shè)置隨機(jī)數(shù)在[-3σ,3σ]區(qū)間。

3）約束條件處理。由于可靠度的模型為有約束的規(guī)劃模型,而混合粒子群方法一般對(duì)無(wú)約束的優(yōu)化模型比較方便。因此需要對(duì)約束條件進(jìn)行處理，這里采用罰函數(shù)法將約束求解問題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束求解問題。

其中：f(x1,x2,…xn)為極限狀態(tài)函數(shù)，λ為懲罰因子。

4）計(jì)算適應(yīng)值。計(jì)算每個(gè)微粒的適應(yīng)值，將當(dāng)前各微粒的位置和適應(yīng)值存儲(chǔ)在各微粒的pbest中，將所有pbest中的速度和適應(yīng)值存儲(chǔ)在gbest中；

5）更新每個(gè)微粒的速度和位置。

6）對(duì)每個(gè)微粒，將其適應(yīng)值與其經(jīng)歷過的最好位置進(jìn)行比較，如果較好，將其作為當(dāng)前最好的位置和速度.

7）比較當(dāng)前所有的pbest和gbest的值，更新gbest。

8）根據(jù)雜交概率選取指定數(shù)量的粒子放入雜交池內(nèi)，池中的粒子隨機(jī)兩兩雜交產(chǎn)生同樣數(shù)目的子代粒子。

9）若滿足停止條件，搜索停止，輸出結(jié)果，否則返回4）繼續(xù)搜索。

2 工程算例

2.1 算例：采用MPSO算法計(jì)算可靠度

已知一巖質(zhì)邊坡[10]，其穩(wěn)定性主要受巖石的c，?值影響，考慮地震和裂縫中水壓對(duì)邊坡的作用。剖面圖見圖1，由極限平衡條件,可得潛在滑動(dòng)面上的安全系數(shù),安全系數(shù)等于總抗滑力和總滑動(dòng)力之比，采用MPSO算法計(jì)算此邊坡的可靠度指標(biāo)。α為地震加速度與重力加速度的比值。zw為張拉裂縫中水的深度，iw=zw/z，b為張拉裂縫至坡面的距離，隨機(jī)變量為 c,?,b,iw,α，巖石重度γ=2.6KN/m3，參數(shù)統(tǒng)計(jì)見表1，計(jì)算結(jié)果見表2，優(yōu)化過程見圖2。

其中：

其他參數(shù)統(tǒng)計(jì)見表1。

文獻(xiàn)[10]中的計(jì)算結(jié)果為1.557，MPSO和標(biāo)準(zhǔn)PSO方法的計(jì)算結(jié)果與其基本一致，對(duì)應(yīng)的失效概率為5.97，蒙特卡洛計(jì)算10萬(wàn)的失效概率為6.01。這表明MPSO算法的準(zhǔn)確性，可以作為可靠度計(jì)算的一種有效方法；從圖2可以看出，MPSO方法較標(biāo)準(zhǔn)PSO方法的收斂速度快，且計(jì)算精度比標(biāo)準(zhǔn)PSO方法高。

表1 隨機(jī)變量及其統(tǒng)計(jì)參數(shù)

表2 邊坡的計(jì)算結(jié)果

2.2 控制參數(shù)對(duì)可靠度指標(biāo)的影響

MPSO算法控制參數(shù)的不同選取，直接對(duì)算法的性能產(chǎn)生較大影響，控制參數(shù)主要包括雜交率Pc和雜交池的大小比例Sp以及種群規(guī)模的大小。下面討論各控制參數(shù)對(duì)可靠度指標(biāo)的影響規(guī)律。由于算法具有一定的隨機(jī)性，為了消除隨機(jī)性導(dǎo)致的計(jì)算結(jié)果誤差，在同樣的參數(shù)情況下，程序均運(yùn)行50次，以平均值作為衡量依據(jù)。

2.2.1 種群規(guī)模對(duì)可靠度指標(biāo)的影響

圖3給出了工程算例在不同種群規(guī)模時(shí)的可靠度指標(biāo)，其中慣性權(quán)重w=0.7，雜交率Pc=0.7，雜交池的大小比例Sp=0.2，搜索空間為可靠度指標(biāo)的收斂情況。

從圖3可以看出，隨著種群規(guī)模的增大，可靠度指標(biāo)越來(lái)越小。當(dāng)種群規(guī)模大于40時(shí)，不同種群規(guī)模所對(duì)應(yīng)的可靠度值之間的差別很小，這表明：當(dāng)種群規(guī)模達(dá)到一定數(shù)量時(shí)，種群規(guī)模對(duì)可靠度指標(biāo)的影響越來(lái)越小。由于種群規(guī)模越大，進(jìn)化所需要的時(shí)間越長(zhǎng)，所以綜合精度和運(yùn)行時(shí)間兩種情況考慮，種群規(guī)模一般取為30～50。當(dāng)變量較多時(shí)，可以適當(dāng)?shù)卦黾臃N群規(guī)模。

2.2.2 雜交率對(duì)可靠度指標(biāo)的影響

圖4給出了算例1在不同雜交率時(shí)，可靠度指標(biāo)的收斂情況。其中種群規(guī)模為40，慣性權(quán)重w=0.7,雜交池的大小比例Sp=0.2，搜索空間為[-3σ,3σ] 。

從圖4可以看出，雜交率Pc逐漸增大時(shí)，可靠度指標(biāo)有逐漸變小的趨勢(shì)，當(dāng)Pc=0.7時(shí)，可靠度指標(biāo)最小，當(dāng)Pc大于0.7時(shí)，可靠度指標(biāo)又逐漸增大。

2.3.3 雜交池比例大小Sp對(duì)可靠度指標(biāo)的影響

圖5給出了算例1在不同種群規(guī)模時(shí)的可靠度指標(biāo)，其中種群規(guī)模為40，慣性權(quán)重w=0.7，雜交率Pc=0.7，搜索空間為[-3σ,3σ] 。

由圖5可以看出:雜交池的比例過大和過小，所得的可靠度指標(biāo)均不是最優(yōu)。一般情況下，雜交池比例的大小取0.2～0.3，本文中雜交池比例的大小取為0.2。

以上各控制參數(shù)對(duì)可靠度指標(biāo)的影響，不僅在該例子中進(jìn)行了分析，對(duì)更多變量情況也進(jìn)行了同樣的分析，其結(jié)果與以上分析結(jié)果基本相同，只是隨著隨機(jī)變量的增加，需要增加進(jìn)化代數(shù)。

3 結(jié)論

1）借鑒遺傳算法中的雜交概念，將其引入PSO算法，在每次迭代中，根據(jù)雜交概率選取指定數(shù)量的粒子放入雜交池內(nèi)進(jìn)行兩兩雜交，該方法改善了PSO方法的全局搜索能力，提高了算法的收斂速度和計(jì)算精度。

2）利用MPSO的尋優(yōu)能力，計(jì)算邊坡的可靠度和驗(yàn)算點(diǎn)，為邊坡可靠性分析提供了一種新方法。

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