高婷梅

（陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 漢中 723000）

一類p-拉普拉斯Neumann問(wèn)題正解的存在性

高婷梅

（陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 漢中 723000）

利用極小極大原理，證明了一類 p-拉普拉斯Neumann問(wèn)題正解的存在性.

極小極大原理；Neumann問(wèn)題；正解

1　引言及主要結(jié)果

本文考慮如下 p-拉普拉斯Neumann問(wèn)題：其中Δpu是 p-拉普拉斯算子且 p＞1，Ω是RN中具有C2邊界的有界區(qū)域，n（x）是x∈?Ω處的外法向單位向量，λ＞0是參數(shù).

當(dāng)λ=1時(shí)，方程（1）被進(jìn)行了廣泛的研究，并得出了很多有趣的結(jié)論［1-5］. 文獻(xiàn)［1］中，作者利用了上下解的方法，文獻(xiàn)［2-3］中，作者利用了Landesman-Lazer條件，文獻(xiàn)［4］對(duì)強(qiáng)共振問(wèn)題進(jìn)行了討論，文獻(xiàn)［5］應(yīng)用極小極大原理得到了方程（1）的非平凡解.本文將λ=1推廣到一般的λ＞0，不僅可以得到方程（1）的非平凡解，而且還將證明方程（1）存在正解.

本文的主要結(jié)果如下：

（f1）f（x,0）=0且?t≠0,f（x,t）t＞0；（f2）?r＞0,?ar∈L∞（Ω）+,st:? ||t≤r,||f（x,t）≤ar（x）a.e.x∈Ω；

（f5）?δ＞0,q∈（1,p）及C＞0,st:? ||t≤δ,F（x,t）≥C||tqa.e.x∈Ω一致成立.則對(duì)每一個(gè)λ＞0，方程（1）至少存在一個(gè)正解.

2　主要結(jié)果的證明

引理1假設(shè)函數(shù) f（x,t）滿足（f1）-（f5），則Iλ（u）滿足C條件.

于是由法都引理，有

然而，由（2）式可知，

且有

由（7）式可得，

所以，由（6），（8）及λ＞0，可推出

由Sobolev緊嵌入及必標(biāo)準(zhǔn)化過(guò)程，可知存在u∈W1,p（Ω）及的子序列（仍記為），使得un→u（n→∞）在W1,p（Ω）中，即Iλ（u）滿足C條件.

引理2假設(shè)函數(shù) f（x,t）滿足（f1）-（f5），則當(dāng)||t→+∞（t∈R）時(shí)，Iλ（t）→-∞.

則由引理2和引理3，?τ0＞0,st:

則有以下結(jié)論：

引理4［5］假設(shè)函數(shù) f（x,t）滿足（f1）-（f5），則｛C0,C｝ 和D在W1,p（Ω）中是局部環(huán)繞的.

類似地，

由γ1,γ2,γ3的定義以及（14），（15），（16）式，?γ*∈Γ,st:Iλ|γ*

＜0.于是，結(jié)合（f1），?γ*∈Γ,st:

因?yàn)閡0≠0是Iλ（u）的臨界點(diǎn)，則A（u0）=λf（x,u0），再利用非線性格林不等式，可得

所以，u0≠0是方程（1）的解.由正則性理論［6］，u0∈

因?yàn)闂l件（f1）成立，則有

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Existence Result on Positive Solution for a Class ofp-Laplacian Neumann Problems

GAO Ting-mei
（School of Mathematics and Computer Science,Shaanxi University of Technology,Hanzhong 723000,China）

Using the minimax principle,the author of this paper obtained a positive solution for a class ofp-Laplacian Neumann problems.

minimax principle；Neumann problems；positive solution

177.91

A

1008-2794（2015）02-0091-05

2014-02-25

通訊聯(lián)系人：高婷梅，助教，碩士，研究方向：非線性泛函分析，E-mail：gtmgtmgtm@126.com.