陳明益

（中山大學哲學系，廣東廣州510275）

一、含混性引發(fā)的邏輯疑難

根據二值原則，我們言說某事物的話語是或者真或者假，因此相對于會話語境我們表達話語的語句就有確定真值。按照弗雷格、羅素和早期維特根斯坦的觀點，一種邏輯上完善的語言是二值的，并且這種語言中的每個合式公式都是或真或假，可見二值對于現(xiàn)代邏輯核心的形式系統(tǒng)的所有標準解釋是必不可少的。然而，二值原則對于日常語言的許多語句是成問題的。我們看下列三個語句：

（1）明年12月21日中午我將在北京。

（2）飛馬有一條白色的后腿。

（3）蒂莫西·威廉姆森（Timothy Williamson）是瘦的[1]185。

語句（1）涉及未來偶然事件，因為它在當下時刻既不能肯定也不能否定，只是可能而非必然，所以它既不真也不假。語句（2）包含空名或虛構名稱，即其中的單稱詞項“飛馬”沒有指稱，所以它也沒有確定真值。語句（3）同樣沒有確定真值，因為它包含的謂詞“是瘦的”具有含混性（vagueness）。

通常，我們把“是瘦的”這類謂詞稱作含混謂詞，日常語言中有許多這樣的詞，如“是禿頭”、“是高的”等。含混謂詞的主要特征是它應用來描述的事物情形與不能應用來描述的事物情形之間沒有精確邊界，總會出現(xiàn)邊界情形（borderline case）。以“是瘦的”為例。它可以用來描述體重僅為50公斤的成年男性，不能用來描述體重100公斤的成年男性，但它能否用來描述體重75公斤的成年男性則是不確定的。因此，就威廉姆森的身材來說，沒有人知道他是否是瘦的，即使將他的體重測量結果與其他人進行比較也無法做出斷定。于是，類似體重75公斤的人這樣的情形就屬于含混謂詞“是瘦的”的邊界情形。當描述邊界情形時，包含含混謂詞的語句沒有確定真值，我們把這樣的語句稱作邊界語句（borderline sentence）。上述語句（3）就可能是一個邊界語句?；诖耍胖新傻囊粋€實例“或者威廉姆森是瘦的或者威廉姆森不是瘦的”也沒有確定真值。因此，日常語言的含混性導致經典邏輯的排中律或二值原則失效。

不僅如此，當我們用經典邏輯的有效規(guī)則對包含含混表達式的語句進行推理或論證時，堆垛悖論（sorites paradox）便會產生出來。含混謂詞應用的情形沒有精確邊界，這就意味著它指稱的概念的外延沒有固定界限，或者說它的外延邊界是彈性的。按照萊特（C．Wright）的觀點，含混謂詞具有容忍性（tolerance），也即它能夠容忍謂詞外延范圍內的細小變化而不會造成大的影響[2]。例如，如果“是瘦的”可以應用于體重50公斤的成人，那么它也可以應用于體重50．1公斤的成人。我們可以用含混謂詞“是瘦的”描述這樣一個序列的事物：a0，a1，a2，……，an，其中a0表示“體重 50 公斤的成人”，an表示“體重 50+n/10 公斤的成人”。這樣的序列我們稱作堆垛序列，在這個序列上任意兩個相鄰事物間的差異非常之小以致無法區(qū)分，如果含混謂詞可以應用于an，那么它必定也可應用于an+1。此外，含混謂詞可以明確地應用于序列的第一個事物，而不能應用于序列的最后一個事物。顯然，“a0是瘦的”為真，并且對于任意n（n為自然數(shù)），如果“an是瘦的”為真，那么“an+1是瘦的”也為真。經過連續(xù)多次運用分離規(guī)則（modus ponens），我們可以證明體重100公斤的成人是瘦的（也即n=500）。這個結論明顯為假。我們可以換用不同的含混謂詞做出同樣論證，例如“是禿頭”、“是紅的”，最后得到的結果分別是“無論有多少頭發(fā)我總是禿頭”、“紅色是藍色”。借用這種堆垛論證，我們幾乎可以證明任何明顯為假的事情。堆垛論證有許多不同種類的形態(tài)，海棣（D．Hyde）曾給出六種不同的論證型式[3]1～17。我們在此主要關注它討論最多的標準型式，也即條件句型式的堆垛論證。我們熟知的（谷）堆悖論和禿頭悖論都可使用這種型式表達。令F表示含混謂詞，a0，a1，a2，……，an表示相應的堆垛序列的事物，條件句型式的堆垛論證可以表述如下：

堆垛論證之所以稱為悖論，是因為它的前提都看起來為真，推理也是有效的，結論卻為假。關于悖論，我們至少可以有三種方式拒斥它：或者證明它的論證不可靠，因為它實際上有某個或某些假的前提；或者證明它的論證形式無效，因為它使用的推理形式無效；或者兩者兼有之。確實，一種好的含混性解釋理論應當能夠提供堆垛悖論的一種好的解決方案。

二、三值邏輯的解決方案

既然經典二值邏輯不能處理含混性問題，作為基于哲學的考量而產生的第一個非經典邏輯，多值邏輯自然被用作一種替代方案。我們這里僅考慮三值邏輯。不過，大多數(shù)三值邏輯的產生不是由于含混性問題。例如，皮爾士（C．S．Peirce）既關注過含混性問題又考慮過三值邏輯，但是他沒有發(fā)表他的三值表，我們也不清楚他對三值邏輯的信念有多堅定，所以皮爾士是否有意將三值邏輯的基本原理應用于含混性問題尚不得而知。盧卡西維茨在1920年代正式提出的第一個三值邏輯系統(tǒng)也是基于自由意志或非決定論問題。俄國數(shù)學家鮑契瓦爾（D．Bochvar）在1937年提出兩個非常不同的三值邏輯系統(tǒng)，但他的動機是為了解決經典邏輯和集合論中出現(xiàn)的悖論，特別是說謊者悖論?？肆郑⊿．C．Kleene）在1938年受到數(shù)學基礎研究的啟發(fā)創(chuàng)立了一種強三值邏輯，后又在1952年的《元數(shù)學導論》中建立弱三值邏輯，但他的動機主要來自算術。

第一位嘗試將多值邏輯用來解釋含混性的人是瑞典邏輯學家哈爾登（S．Hallden）。他在1949年的著作《無意義的邏輯》中認為，一個命題是“無意義的”意指它既不真也不假[4]9。因此，邊界語句的真值就是無意義，既不真也不假。例如，“1000根頭發(fā)的人是禿頭”是“無意義”命題。哈爾登通過采用一種包含真、假和無意義的三值邏輯來適應“無意義”的語言。為此，他給出一個包含二值真值表的三值表，如果每個支命題是真或者假，那么復合命題擁有與二值表相同的真值；如果任何一個支命題是“無意義”，那么復合命題也是“無意義”（見表1）。除了表1所示真值表外，哈爾登還引入一個新的一元算子+。+p意味著p是“有意義的”。因此，如果p是“無意義”，+p就為假而不是“無意義”。否則，它為真（見表2）。因此，┐+p意味著p是“無意義”。哈爾登將真和無意義都當作指派值，也即非假的保存。他給出的有效性定義是：一個公式是有效的，只要它不為假而不必為真。

（表 1）

（表 2）

顯然，根據哈爾登的三值邏輯，條件句型式的堆垛論證是一個無效論證，因為它使用的推理規(guī)則是無效的。也就是說，分離規(guī)則在哈爾登的三值邏輯系統(tǒng)內是無效的。我們來檢驗這個規(guī)則的一個應用形式是否有效，也即從（p∨┐p）→+p和p∨┐p到+p的推理。無論我們如何賦值，它的兩個前提都不為假，但當p是“無意義”時它的結論為假。因此，分離規(guī)則對于涉及算子+的公式無效。我們再看分離規(guī)則對不涉及算子+的公式是否有效。當p是“無意義”并且q為假時，前提p→q和p不為假而結論q為假，分離規(guī)則仍然無效。由此可知，根據哈爾登的三值邏輯的有效性定義，分離規(guī)則缺少有效推理形式的屬性：當前提采取指派值，結論也取指派值。但是，按照這個有效性定義，排中律是有效的，因為它雖然不為真但也不為假，而這與排中律在含混語言中失效的觀念相矛盾。因此，哈爾登的三值邏輯似乎不是適合含混語言的有效邏輯。

科爾納（S．Korner）在1966年的著作中用一種不同版本的三值邏輯來處理含混性問題[5]37～40?？茽柤{將他的三值邏輯稱為“不確切概念的邏輯”。根據科爾納的觀點，不確切性源自事例所定義的概念的邊界情形。這樣的概念F將對象劃分為：正面候選者，也即必定被選擇為F的正面實例；反面候選者，也即必定被選擇為反面實例；以及中立候選者，也即可能選擇為正面或反面實例，這依賴于自由選擇。由此，就有一種三值的前選擇邏輯和一種二值的后選擇邏輯。概念的三種候選者對應三種命題：真、假和中立。真和假被想象為穩(wěn)定態(tài)，中立被想象為臨時態(tài)。我們可以通過自由選擇選取一個中立命題為真或假?？茽柤{的三值語義真值表如下（表3）：

（表 3）

從科爾納的三值表，我們看到否定和等值聯(lián)接詞的語義解釋與哈爾登的三值表相同。但是兩者也有不同：首先，科爾納取消了哈爾登的一元算子+的真值表；其次，對于合取聯(lián)接詞，當一個合取支為假而另一個合取支是中間值時，根據哈爾登的三值表合取式為中間值而根據科爾納的三值表合取式為假；再次，對于析取聯(lián)接詞，當一個析取支為真而另一個析取支為中間值時，根據哈爾登的三值表析取式為中間值而根據科爾納的三值表析取式為真；最后，對于蘊涵聯(lián)接詞，當前件為中間值而后件為真，或者當前件為假而后件為中間值時，根據哈爾登的三值表條件句為中間值而根據科爾納的三值表條件句為真。

科爾納似乎沒有明確說明將哪個或哪些值作為指派值并給出相應的有效性定義。按照科爾納的三值表，如果真是唯一的指派值，沒有公式將是有效的，因為當一個公式的所有語句變元都是中立的時候這個公式是中立的。不矛盾律、同一律都是無效的，不過分離規(guī)則是有效的。如果真和中立都是指派值，那么有效的公式將與經典邏輯的那些有效公式相符，但分離規(guī)則例外，因為當p為中立值而q為假時，p→q和p都取指派值而q取非指派值，因而推理無效。但是，在這種有效性定義下排中律仍然成立。因此，將科爾納的三值邏輯用來處理含混性問題確實是一個困難。

三、模糊邏輯的解決方案

以三值邏輯為代表的有限多值邏輯（其值的數(shù)量為n，n為自然數(shù)且n≥3）將真值劃分出離散的邊界與堆垛序列的連續(xù)性不相容，因此人們猜想真值可能是連續(xù)地變化，由此產生一種“真”以連續(xù)的度變化的邏輯，這就是模糊邏輯。盧卡西維茨創(chuàng)立的連續(xù)值或無限值邏輯是形式化的模糊邏輯的基礎。一些得到最廣泛研究的模糊邏輯都是建立在盧卡西維茨的無限值系統(tǒng)基礎上。在后來模糊集合的基礎上發(fā)展出一種形式上相似于連續(xù)值邏輯的模糊邏輯，因而連續(xù)值邏輯被看作建構模糊邏輯的一種自然和基本方式。模糊邏輯通過一系列規(guī)則和多值邏輯聯(lián)系起來，主要運用了盧卡西維茨的連續(xù)值邏輯（continuumvalued logic）[6]。

我們令語句p的真度是［p］，它被假定為0和1之間的實數(shù)。當p是完全真時，［p］=1；當p是完全假時，［p］=0；當q是至少和p一樣真時，［p］≤［q］。盧卡西維茨的連續(xù)值邏輯有以下語義學：

（≡）［p≡q］=1+min{［p］，［q］}-max{［p］，［q］

（?）［?xFx］=Glb{［Aa/x］：對于所有的a}（即所有實例的真度的最大下界）

（?）［?xFx］=Lub{［Aa/x］：對于所有的a}（即所有實例的真度的最小上界）

在這種模糊語義學中，盧卡西維茨將1（即完全真）作為唯一的指派值，一個公式是有效的只要它在其原子語句的任何真度賦值下皆為完全真。因此，推理形式是有效的只要它的結論在所有前提為完全真的賦值下為完全真，也即有效性被定義為完全真的保存。但是，也有哲學家將有效性定義為真度的保存，即結論的真度不低于最低值的前提的真度。

根據上述模糊語義學，我們可以賦予邊界語句一定的真度（0到1之間）。以含混謂詞“是禿頭”為例，那么就有一個堆垛序列：a0，a1，a2，……，an，其中a0表示“有 0 根頭發(fā)的人”，an表示“有 n 根頭發(fā)的人”。顯然，“a0是禿頭”為真，并且對于任意n（n為自然數(shù)），如果“an是禿頭”為真，那么“an+1是禿頭”也為真。假設n=100000，通過連續(xù)運用10萬次分離規(guī)則，我們可以得到結論“有10萬根頭發(fā)的人是禿頭”，這個結論明顯為假。問題是，這里使用的分離規(guī)則是否有效。這就依賴于我們采用什么樣的有效性標準。如果有效性被定義為完全真的保存，那么分離規(guī)則是有效的，因為如果p和p→q在度1上為真，那么q也是。在這種意義上，堆垛論證是有效的，但這意味著一個有效論證可以有幾乎完全真的前提和完全假的結論。如果有效性被定義為真度的保存，那么分離規(guī)則不是有效的，因為如果p和p→q在至少99999/100000的度上為真，那么q可能只在99998/100000的度上為真，這樣結論的真度就低于前提的真度。我們換種簡單的方式來說明。例如，當［p］=0．7，［q］=0．6，［p→q］的真度就為 1+0．6-0．7=0．9，這樣前提 p 的真度為0．7，另一前提p→q的真度為0．9，而結論q的真度為0．6，顯然結論q的真度低于最低值的前提p的真度，這違反了有效性標準。因此，如果分離規(guī)則不是有效的，那么堆垛論證就是一個無效論證。

然而，按照模糊語義學的分析，堆垛論證不在于它是有效還是無效，它其實是不可靠的，因為它包含假的前提。為什么我們不能識別出這些假的前提，并且還傾向于接受這些假前提呢？在上述有關禿頭的堆垛論證中，它的第一個前提Fa0是完全真，而結論Fan是完全假。根據真度理論，隨著n從0增加到100000，F(xiàn)an的真度在不知不覺地減少。但是，為什么我們無法察覺到這種減少呢？我們可以使Fan在1-（n/100000）（0≤n≤100000）的度上為真（這樣Fa0是完全真而Fa100000是完全假），于是真度從Fan到Fan+1的下降僅僅是1/100000，這意味著在堆垛論證的每個條件句前提中，前件僅僅由于1/100000的程度比后件更真。根據蘊涵聯(lián)接詞的解釋（→），每個條件句前提在99999/100000的度上為真。我們在連續(xù)運用分離規(guī)則的過程中不斷從前提Fan（在（100000-n）/100000的度上為真）和Fan→Fan+1（在99999/100000的度上為真）推出結論Fan+1（在（99999-n）/100000的度上為真）。因此，中間結論的真以1/100000的程度在不斷下降。由于論證的每個步驟都是同等地位，所以每個條件句前提都是幾乎完全真，不存在一個切割點可以區(qū)分從真到假的轉變。在堆垛論證的條件句前提中細小的假度導致它的結論中高的虛假度。我們無法察覺這種細小的假度，反過來由于這些條件句前提的真度極高（幾乎接近完全真），所以我們又傾向于接受它們。因此，堆垛論證可能既是無效的，也是不可靠的。

四、多值邏輯解釋的困境

以三值邏輯和模糊邏輯為代表的多值邏輯已經發(fā)展成為解釋含混性的一種標準理論，但是由于下述兩個方面的困難，它很難成為一種好的含混性解釋理論，因而也不能提供一種好的關于堆垛悖論的解決方案。

首先，一個困難是高階含混性問題。三值邏輯直接遭遇二階含混性問題。既然人們認為將含混命題劃分為真與假是不合理的，同樣將含混命題劃分為真、假和中間值也是不合理的。如果我們認為經典二值邏輯將真與假之間劃分清晰的界線是反直覺的，那么三值邏輯將真與中間值以及中間值與假之間劃分清晰界線也是反直覺的。例如，當僅有一粒谷子的時候，語句“這是一個堆”明顯為假，但是隨著我們每次不斷增加一粒谷子，在某個時刻上這個語句就變?yōu)檎妫ū热缭黾拥?00萬粒谷子）。然而，我們不能識別出一個切割點（也即增加到多少粒谷子的時候），在這個點上語句由假變?yōu)檎?。同樣，我們也不能識別出兩個這樣的切割點：一個是從假轉變成中間值，另一個是從中間值轉變成真。如果兩個值不夠，那么三個值（甚至更多值）也是不夠的，反對二值邏輯的論證同樣適用于自身。因此，三值邏輯遭遇的二階含混性將繼續(xù)導致高階含混性：“最初劃分為三類（真/假/邊界）讓位于劃分為五類（清晰的真/真和邊界之間的邊界/清晰的邊界/假和邊界之間的邊界/清晰的假），這又依次讓位于劃分為九類，等等。這不是一個可接受的遞歸。分割成新的類是我們還沒有充分解釋這種潛在現(xiàn)象的征兆”[7]。因此，解決三值邏輯的困境不是用更多值（比如十七值）的邏輯來替代三值邏輯，因為反對三值邏輯的論證同樣適用于n（n≥3）值邏輯，而且n的選擇是任意的。這也是為什么應用于解釋含混性的多值邏輯逐漸趨向于使用無限多值的模糊邏輯。但是，模糊邏輯也有類似問題。模糊邏輯用兩個其他的劃分來代替真假劃分：“在度1上的真與小于1的正度上的真之間的劃分，以及在大于0的某個度上的真與在度0上的真之間的劃分”[7]。事實上，我們把某個模糊真值賦予給每個對象形成特殊函數(shù)，再將日常語言的每個含混謂詞與這些特殊函數(shù)相聯(lián)系，并將每個含混語句與特殊的模糊真值相聯(lián)系，這種做法只會造成人為的清晰性，因而是不合理的。

其次，解釋含混性的多值邏輯都暗地假定了真值函項的理念，也即根據真值函項聯(lián)接詞形成的復合句的真值分類依賴于其子句的真值分類。模糊邏輯的度函項就體現(xiàn)了這種真值函項理念。真度理論假定復合句的真度是其成分句的真度的函數(shù)，因此在模糊邏輯中聯(lián)接詞同樣被真值函項地定義。然而，這種度函項假定存在問題。假設p在與q相同的度上為真，那么p∧q與p∧p也在相同的度上為真。既然p∧p與p在相同的度上為真，那么p∧q也與p在相同的度上為真。我們假設某人漸漸入睡，語句“他是醒著的”和“他是睡著的”都是含混的。按照真度理論，隨著前者在真度上下降而后者在真度上上升，在某個點上它們就有相同的真度，也即中間真度。因此，合取式“他是醒著的并且他是睡著的”也有相同的中間真度。然而，根據定義“醒著”和“睡著”是相互排斥的，“他是醒著的并且他是睡著的”根本就不可能為真，我們人不可能處在這個合取式為真的情形與它為假的情形之間的不清楚區(qū)域。如果我們用“他不是醒著的”代替“他是睡著的”，那么在某個點上“他是醒著的”為半真（中間真度），所以“他不是醒著的”也為半真，于是“他是醒著的并且他不是醒著的”也將算作半真。一個明顯的矛盾式怎么可能在任何度上為真而不是假呢？因此度函項對于合取式是失效的，同理可知，度函項對于析取和條件句都失效。真值函項對于最基本的邏輯算子的語義學很重要，但它可能不是根據度來描述。因此，通過用真度取代真值從而將真值條件語義學適用于含混語言，這種做法是失敗的。按照威廉姆森的觀點，多值邏輯雖然在提高形式化程度方面致力于解決含混性問題，但它卻與含混性問題的哲學動機不一致[1]130。

[1]Williamson，T.Vagueness[M].London and New York：Routledge，1994.

[2]Wright，C.Further reflections on the Sorites Paradox[J].Philosophical Topics，1987，15（1）.

[3]Hyde，D.The Sorites Paradox[M]//Giuseppina Ronzitti.Vagueness：A Guide.Dordrecht·Heidelberg·London·New York：Springer，2011.

[4]Hallden，S.The Logic of Nonsense[M].Uppsala：Uppsala Universitets Arsskrift，1949.

[5]Korner，S.Experience and Theory[M].London：Routledge&Kegan Paul，1966.

[6]霍書全.多值邏輯與悖論[J].中國社會科學院研究生院學報，2010，（5）.

[7]Eklund，M.Recent Work on Vagueness[J].Analysis，2011，71（2）.