李保坤++郭永存++曹毅

摘 要：以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù)，研究Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)位于給定位置的姿態(tài)奇異并進(jìn)一步探討機(jī)構(gòu)的無奇異姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃方法?；跈C(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，構(gòu)建機(jī)構(gòu)給定位置的以單位四元數(shù)表征的姿態(tài)奇異軌跡的一般符號解析表達(dá)式。利用四元代數(shù)理論構(gòu)建剛體姿態(tài)運(yùn)動學(xué)方程和時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡方程；通過分析機(jī)構(gòu)姿態(tài)奇異軌跡分布并利用剛體運(yùn)動的時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡方程，研究機(jī)構(gòu)無奇異時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)運(yùn)動的規(guī)劃方法。研究成果進(jìn)一步豐富了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異規(guī)避理論。

關(guān)鍵詞：并聯(lián)機(jī)構(gòu)；姿態(tài)奇異；無奇異；姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃

中圖分類號：TP2422 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1672-1098（2015）02-0013-07

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收稿日期：2014-11-15

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50905075）；安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（1308085QE78）；安徽理工大學(xué)碩博基金資助項(xiàng)目

作者簡介：李保坤（1982-），男，安徽舒城人，講師，博士，主要從事于機(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)器人技術(shù)研究。

Orientation-singularity Representation and Orientation Singularity-Free

Motion Planning Analysis of the Stewart Parallel Mechanism

LI Bao-kun1，2， GUO Yong-cun1， CAO Yi2

（1. School of Mechanical Engineering， Anhui University of Science and Technology， Huainan Anhui 232001， China； 2. School of Mechanical Engineering， Jiangnan University， Wuxi Jiangsu 214122， China）

Abstract：By using the unit quaternion as the orientation parameters， the orientation-singularity for a given position was studied and the method of the orientation-singularity-free motion planning was further explored. Based on the Jacobian matrix of the mechanism， a general symbolic analytical expression describing the orientation-singularity loci based on the quaternion representation for a given position was derived. The orientation kinematic equation and the time optimal orientation trajectory of a rigid body were constructed by using the quaternion algebra theory， respectively. After analyzing the orientation-singularity locus and using the time optimal orientation trajectory of a rigid body， the method of time optimal orientation motion planning of the mechanism was explored. The research achievement enriches the singularity-avoidance of the Stewart parallel mechanism.

Key words：parallel mechanism； orientation-singularity； singularity-free； orientation motion planning

六自由度Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于剛度大、承載能力強(qiáng)以及運(yùn)動精度高等特點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于運(yùn)動模擬器、醫(yī)療器械、工業(yè)機(jī)器人、微納操作、力/力矩傳感器、空間探測、并聯(lián)機(jī)床等多個(gè)高精技術(shù)領(lǐng)域[1]。奇異位形嚴(yán)重影響并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動及力傳遞性能，對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)來說，若機(jī)構(gòu)處于奇異狀態(tài)，機(jī)構(gòu)將嚴(yán)重失穩(wěn)并導(dǎo)致機(jī)構(gòu)失控甚至被損壞。因此，并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)位于遠(yuǎn)離奇異位形的區(qū)域工作。得到機(jī)構(gòu)的奇異軌跡是奇異規(guī)避研究的基礎(chǔ)[2]。文獻(xiàn)[3]利用平面幾何中的Ceva定理研究三角平臺型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形。文獻(xiàn)[4]研究了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)姿態(tài)固定時(shí)的位置奇異軌跡在三維空間內(nèi)的結(jié)構(gòu)特性。文獻(xiàn)[5]以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù)，給出了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異軌跡的三維圖形描述。文獻(xiàn)[6]給出了Stewart機(jī)構(gòu)的奇異軌跡，并進(jìn)一步給出無奇異工作空間的確定方法。

對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)來說，規(guī)避機(jī)構(gòu)的奇異位形的一個(gè)重要方法便是通過增加冗余驅(qū)動來實(shí)現(xiàn)[7-9]，但對于具有六自由度的Stewart機(jī)構(gòu)，采用冗余驅(qū)動無疑會帶來機(jī)構(gòu)控制的復(fù)雜性，并且會進(jìn)一步限制機(jī)構(gòu)的工作空間。文獻(xiàn)[10]通過研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型分岔特性，提出了一種利用擾動函數(shù)來規(guī)避并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)向點(diǎn)奇異的方法。文獻(xiàn)[11-13]提出利用運(yùn)動規(guī)劃的方法避開機(jī)構(gòu)的奇異位形。endprint

由文獻(xiàn)[14-15]可知，六自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)動平臺的任務(wù)空間對應(yīng)于剛體運(yùn)動變換群SE（3），相當(dāng)于三維姿態(tài)變換群和三維歐式空間的半直積，即：SE（3）=SO（3）R3。由于對機(jī)構(gòu)位于整個(gè)位形參數(shù)空間內(nèi)實(shí)施運(yùn)動規(guī)劃具有很大的難度，而位于R3上的位置運(yùn)動規(guī)劃研究已較為成熟，故本文主要對Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)位于SO（3）上的姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃進(jìn)行研究。

基于機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，得出機(jī)構(gòu)位于SO（3）上的姿態(tài)奇異軌跡，并給出其三維圖形描述?；跈C(jī)構(gòu)姿態(tài)奇異的軌跡描述，研究機(jī)構(gòu)時(shí)間最優(yōu)的無奇異姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃。

1 機(jī)構(gòu)的三維姿態(tài)奇異軌跡描述

六自由度Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，其動定平臺為兩個(gè)非相似型的半對稱正六邊形B1B2…B6，C1C2…C6 （i=1，2，…，6），并通過六根相同的球副-移動副-球副（或萬向鉸）支鏈（BiCi）相連。Bi和Ci分別為動定平臺的六個(gè)頂點(diǎn)，Aj（j=1，3，5）為定平臺六邊形長邊的交點(diǎn)。

P、O、βm、βb、Rm、Rb的含義分別如下：

P為機(jī)構(gòu)動平臺幾何中心點(diǎn)；O為機(jī)構(gòu)定平臺幾何中心點(diǎn)；βm為動平臺上邊B4B5對應(yīng)中心角，0°≤βm≤120°；βb為定平臺上邊 C1C2對應(yīng)中心角，0°≤βb≤120°；Rm為動平臺外接圓半徑；Rb為定平臺外接圓半徑。

圖1 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖

圖2 機(jī)構(gòu)位于給定位置的姿態(tài)奇異軌跡圖2 無奇異姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃

21 姿態(tài)運(yùn)動軌跡的四元數(shù)描述

單位四元數(shù)描述剛體的旋轉(zhuǎn)變換也可表示成如下形式

圖3 剛體姿態(tài)運(yùn)動學(xué)方程的球面弧表示

22 時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動的四元數(shù)描述

圖4 剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動的球面描述

如圖4所示，若使剛體由姿態(tài)Λ變換到N，除經(jīng)M作用的旋轉(zhuǎn)外，亦可經(jīng)變換ΣP實(shí)現(xiàn)。但是，不難發(fā)現(xiàn)，由于弧長P與弧長Σ之和一定大于弧長M，也即剛體經(jīng)姿態(tài)變換ΣP所轉(zhuǎn)過的角度要大于姿態(tài)變換M所轉(zhuǎn)過的角度。因此，若使剛體從姿態(tài)Λ快速變換到N，M所對應(yīng)的姿態(tài)變換應(yīng)是最短姿態(tài)變換路徑，由于

若剛體起始姿態(tài)Λ=（λ0， λ1， λ2， λ3），目標(biāo)姿態(tài)N=（ν0， ν1， ν2， ν3），計(jì)算得到的姿態(tài)軌跡Q（t）=（q0，q1，q2，q3），若以四元數(shù)的矢量部分作為獨(dú)立參數(shù)，可得到在三維笛卡爾坐標(biāo)系中的姿態(tài)軌跡曲線qi（i=1， 2， 3），稱該軌跡曲線即是剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)功的姿態(tài)軌跡曲線。該軌跡曲線的起始點(diǎn)為（λ1， λ2， λ3），終點(diǎn)為（μ1， μ2， μ3），由四元數(shù)運(yùn)算法則可知，姿態(tài)變換軌跡一般情況下應(yīng)是一條曲線，當(dāng)且僅當(dāng)λ與μ共線或其中一個(gè)為0時(shí)，姿態(tài)軌跡為一條連接起始姿態(tài)點(diǎn)（λ1， λ2， λ3）到目標(biāo)姿態(tài)點(diǎn)（ν1， ν2， ν3）的直線。

23 機(jī)構(gòu)時(shí)間最優(yōu)的無奇異姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃

Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的三維姿態(tài)變換對應(yīng)于剛體位于SO（3）上的姿態(tài)變換，因此，可將剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動的姿態(tài)軌跡求解結(jié)果應(yīng)用于該類型并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的基于任務(wù)空間描述的時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃。但是，如前所述，該類型并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)存在復(fù)雜的奇異位形，而機(jī)構(gòu)在運(yùn)動過程中應(yīng)規(guī)避奇異位形。若直接將內(nèi)容21～22的剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動軌跡求解結(jié)果應(yīng)用于機(jī)構(gòu)的時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃，則機(jī)構(gòu)的姿態(tài)運(yùn)動路徑可能存在奇異點(diǎn)。因此，有必要基于機(jī)構(gòu)位于SO（3）上的姿態(tài)奇異研究成果，結(jié)合上述剛體時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡求解方法，對機(jī)構(gòu)實(shí)施時(shí)間最優(yōu)的無奇異姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃。為便于闡述，現(xiàn)通過數(shù)值實(shí)例來說明具體操作方法。

數(shù)值實(shí)例 給定機(jī)構(gòu)構(gòu)型參數(shù)Rb=2、Rm=1、βb=105°、βm=105°，不考慮機(jī)構(gòu)運(yùn)動副運(yùn)動范圍限制，若機(jī)構(gòu)動平臺位于給定位置點(diǎn)（0， 0， 4），若要求機(jī)構(gòu)動平臺從起始姿態(tài)Λ=（1， 0， 0， 0）經(jīng)快速旋轉(zhuǎn)作用到目標(biāo)姿態(tài)N=（10/10， 0，-9/10， 3/10），對機(jī)構(gòu)實(shí)施時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃。

若不考慮機(jī)構(gòu)位于位置（0， 0， 4）的姿態(tài)奇異軌跡影響，由式（7）得到機(jī)構(gòu)快速姿態(tài)變換對應(yīng)的單位四元數(shù)為

M=ΝΛ-1=（2/2， 0，-1/2， 1/2）

機(jī)構(gòu)動平臺轉(zhuǎn)過的角度為

θ=2arccos μ0=2arccos （2/2）=π/2

將姿態(tài)軌跡曲線近似無限小等分成N等份，由式（11）得到動平臺姿態(tài)軌跡

Q（ti）=[cos （i·Δθ2N）+μsin（i·Δθ2N）]

（1， 0， 0， 0）

（i=0， 1， …， N）

式中：單位方向矢量μj由式（5）得到。

姿態(tài)軌跡（q1， q2， q3）中始終有q2=0。得到機(jī)構(gòu)時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)運(yùn)動軌跡Q如圖6所示。

圖5 剛體姿態(tài)軌跡離散化的球面描述

機(jī)構(gòu)力雅可比矩陣的條件數(shù)可以定量描述矩陣求逆的精確度和穩(wěn)定性，也是反映機(jī)構(gòu)位于相應(yīng)位形時(shí)的運(yùn)動及力傳遞性能的一個(gè)重要指標(biāo)，可反映機(jī)構(gòu)遠(yuǎn)離奇異位形的程度。故此處用雅可比矩陣的條件數(shù)來描述機(jī)構(gòu)的操作性能隨姿態(tài)軌跡的變化情況。圖7描述了機(jī)構(gòu)雅可比矩陣條件數(shù)隨圖6所示姿態(tài)軌跡的變化趨勢。

q2

圖6 不考慮奇異時(shí)的機(jī)構(gòu)時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡

q2

圖7 不考慮奇異的機(jī)構(gòu)雅可比矩陣條件數(shù)變化 從圖6與圖7可以看出，若根據(jù)機(jī)構(gòu)運(yùn)動起始姿態(tài)和目標(biāo)姿態(tài)直接求解時(shí)間最優(yōu)的姿態(tài)運(yùn)動軌跡，機(jī)構(gòu)在運(yùn)動過程中可能會通過奇異點(diǎn)，而并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)在實(shí)際工作過程中應(yīng)避開奇異點(diǎn)，因此，有必要使機(jī)構(gòu)在不發(fā)生奇異位形的情況下，對機(jī)構(gòu)實(shí)施無奇異的姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃。

綜合機(jī)構(gòu)姿態(tài)奇異軌跡分布情況，可將機(jī)構(gòu)的姿態(tài)運(yùn)動分為兩步：第一步，機(jī)構(gòu)從起始姿態(tài)Λ=（1， 0， 0， 0）快速旋轉(zhuǎn)到Qmid=（2/2， 0，-1/2， 1/2）；第二步，機(jī)構(gòu)從姿態(tài)Qmid快速作用到目標(biāo)姿態(tài)N=（10/10， 0，-9/10， 3/10）。由式（7）得到這兩步姿態(tài)變換對應(yīng)的單位四元數(shù)分別為endprint

M1=QmidΛ-1=（2/2， 0，-1/2， 1/2）

M2=NQ-1mid=（20/20，3/10，10/20-92/20，32/20-10/20）機(jī)構(gòu)動平臺轉(zhuǎn)過的角度分別為

θ1=2arccos （2/2）=π/2

θ2=2arccos （20/20）

對應(yīng)于動平臺的姿態(tài)軌跡為

Q1=[cos （i·Δθ12N1）+μ1sin （i·Δθ12N1）]

（1， 0， 0， 0）

（i=0， 1， …， N1）

Q2=[cos（i·Δθ22N2）+μ2sin （i·Δθ22N2）]（2/2， 0，-1/2， 1/2）

（i=0， 1， …， N2）

重新規(guī)劃的無奇異時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動軌跡如圖8所示，圖9描述了機(jī)構(gòu)雅可比矩陣條件數(shù)大小隨重新規(guī)劃后的姿態(tài)軌跡的變化趨勢。

q2

圖8 機(jī)構(gòu)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的無奇異時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡

q2

圖9 雅可比矩陣條件數(shù)隨時(shí)間變化

從圖8與圖9可以看出，重新規(guī)劃的機(jī)構(gòu)姿態(tài)運(yùn)動軌跡不包含奇異點(diǎn)，該姿態(tài)運(yùn)動軌跡是機(jī)構(gòu)由起始姿態(tài)Λ=（1， 0， 0， 0）經(jīng)快速旋轉(zhuǎn)作用到目標(biāo)姿態(tài)N=（10/10， 0，-9/10， 3/10）的無奇異時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)運(yùn)動軌跡。

3 結(jié)論

1） 以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù)，描述了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)位于給定位置的姿態(tài)奇異軌跡，對機(jī)構(gòu)的位于給定位置時(shí)的奇異規(guī)避研究奠定了前期基礎(chǔ)。

2） 基于四元代數(shù)運(yùn)算法則，構(gòu)建剛體姿態(tài)運(yùn)動學(xué)方程，得到剛體運(yùn)動的時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)軌跡方程。

3） 綜合（1）和（2）研究內(nèi)容得到Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)基于任務(wù)空間描述的時(shí)間最優(yōu)的無奇異姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃方法，其能夠確保機(jī)構(gòu)在不會出現(xiàn)奇異位形的條件下，以時(shí)間最優(yōu)為目標(biāo)運(yùn)動到目標(biāo)姿態(tài)。

4） 上述無奇異姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃很大程度上依賴于對機(jī)構(gòu)姿態(tài)奇異軌跡分布情況的觀察，作者下一步將集中于研究三維姿態(tài)空間內(nèi)的自動搜尋并得到時(shí)間最優(yōu)無奇異姿態(tài)運(yùn)動規(guī)劃方法。

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