張 坤高曉光

（西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院 西安 710129）

未知風(fēng)場擾動下無人機三維航跡跟蹤魯棒最優(yōu)控制

張 坤*高曉光

（西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院 西安 710129）

該文提出一種未知風(fēng)場擾動下無人機精確3維航路跟蹤的魯棒最優(yōu)控制律。該控制律基于跟蹤虛擬目標的思想，將風(fēng)場擾動加入無人機運動方程，采用反饋線性化將無人機的非線性動力學(xué)方程變換為線性狀態(tài)方程。假設(shè)風(fēng)場擾動已知的條件下，采用線性二次型調(diào)節(jié)器推導(dǎo)出能夠跟蹤3維航路的最優(yōu)控制律。進一步考慮未知的風(fēng)場擾動，設(shè)計魯棒控制項代替最優(yōu)控制律中的風(fēng)場參數(shù)，得到能夠抑制未知有界風(fēng)場干擾的魯棒最優(yōu)控制律，并采用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明該閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性。仿真表明該控制律能夠?qū)崿F(xiàn)在未知風(fēng)場擾動下無人機精確3維航跡跟蹤，且具有良好的跟蹤性能。

3維航跡跟蹤；最優(yōu)控制；魯棒控制；風(fēng)場擾動

1 引言

無人機由于具有良好的機動性和低成本高效能的特點，在偵察、預(yù)警、通信等軍事領(lǐng)域，環(huán)境監(jiān)測、地圖測繪、災(zāi)難救援等民用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［1］。無人機在執(zhí)行一些預(yù)定任務(wù)，如城區(qū)監(jiān)控、災(zāi)難搜索和救援，需要在城市建筑之間飛行或者在復(fù)雜地形表面貼近飛行［2］，精確3維航跡跟蹤能力是成功執(zhí)行這些任務(wù)的關(guān)鍵。無人機執(zhí)行這些任務(wù)時，外界風(fēng)場干擾能夠顯著影響其航跡跟蹤效果［2］。而且風(fēng)場擾動變化復(fù)雜，存在定常風(fēng)、切變風(fēng)、隨機風(fēng)等多種擾動形式［3］。因此，研究無人機在風(fēng)場擾動下精確3維航跡跟蹤控制具有較大的挑戰(zhàn)性和實際意義［4］。

國內(nèi)外很多學(xué)者對外界擾動條件下精確跟蹤控制問題進行了研究，目前研究方法主要分為兩類：（1）設(shè)計干擾觀測器［1，4-8］，基本思想是分析擾動的各種因素，建立擾動隨時間和空間變化的模型，之后通過各種濾波算法結(jié)合采集到的量測數(shù)據(jù)進行擾動估計，使用估計擾動進行反饋控制；（2）設(shè)計魯棒控制器［9-12］，基本思想是將擾動看作不確定因素，其統(tǒng)計特性未知，但其上界可以估計，通過設(shè)計具有良好魯棒性能的控制器抑制擾動。

在風(fēng)場擾動的建模估計方面，文獻［6］提出了風(fēng)場隨時間和空間變化的 Markov自回歸模型，在該模型的基礎(chǔ)上，文獻［5］基于部分觀測Markov決策過程理論研究了無人機在風(fēng)場干擾條件下跟蹤地面目標的航路規(guī)劃算法。文獻［7，8］提出了使用無人機自身的機載傳感器測量信息來估計風(fēng)場及其變化的算法，并給出了估計誤差分析。對風(fēng)場擾動進行實時估計的方法需要無人機攜帶相應(yīng)的傳感器，且實時估計增加了無人機計算負載。

設(shè)計魯棒控制器抑制風(fēng)場干擾方面，目前大部分的研究關(guān)注2維平面內(nèi)精確航路跟蹤控制。文獻［13］基于虛擬目標的方法，使用純追蹤導(dǎo)引律的基本思想推導(dǎo)出無人機能夠跟蹤2維平面航路的控制過載，仿真實驗表明該方法在恒定風(fēng)場擾動下與傳統(tǒng)的線性反饋法設(shè)計的控制器相比具有更好的性能。文獻［2，3］通過為規(guī)劃航路構(gòu)造向量場來產(chǎn)生控制指令，可以在恒定風(fēng)場干擾下有效跟蹤2維直線和圓弧航路，但對于復(fù)雜航路構(gòu)造向量場存在困難。文獻［14］提出一種將追蹤導(dǎo)引和視線導(dǎo)引相結(jié)合的控制律，該控制律在恒定風(fēng)場干擾下跟蹤2維直線和圓弧的性能比文獻［13］更好。上述文獻均假設(shè)風(fēng)場擾動為恒定風(fēng)速和風(fēng)向，而實際的風(fēng)場擾動是時變的，而且其變化也不能精確估計。另外，上述文獻的控制律僅適用于2維航路跟蹤，沒有涉及3維跟蹤問題，而3維跟蹤控制問題更復(fù)雜。在3維空間航路跟蹤方面，賀躍幫等人［15］針對無人直升機的3維軌跡跟蹤問題，提出了一種基于自適應(yīng)動態(tài)面的控制方法；王懌等人［16］研究了固定翼無人機在動態(tài)環(huán)境中實時避障的3維路徑跟蹤算法。上述文獻研究了3維空間航路跟蹤控制，但沒有考慮外界風(fēng)場擾動的影響，在外界風(fēng)場擾動下無法實現(xiàn)精確航跡跟蹤。

研究擾動條件下控制器設(shè)計的工作也給我們的思路帶來了一些啟發(fā)。黃靜等人［17］提出了針對含不確定性的旋轉(zhuǎn)二體繩系衛(wèi)星的姿態(tài)跟蹤控制問題的魯棒最優(yōu)控制器。賈鶴鳴等人［18］研究了未知海流干擾作用下欠驅(qū)動無人水下航行器的3維航跡跟蹤控制，采用迭代方法設(shè)計了非線性滑?？刂破鳎瑢崿F(xiàn)了3維航跡的精確跟蹤。文獻［19］研究了未知高階仿射非線性系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題，提出了基于線性化的魯棒神經(jīng)自適應(yīng)協(xié)同控制方法。

本文在前人工作的基礎(chǔ)上，針對未知風(fēng)場擾動下無人機的精確3維航跡跟蹤問題，設(shè)計了一種魯棒最優(yōu)控制律。首先假設(shè)風(fēng)場干擾已知或者可以精確測量，將無人機非線性動力學(xué)方程線性化，使用線性二次型調(diào)節(jié)器推導(dǎo)出最優(yōu)控制律。進一步考慮未知的風(fēng)場擾動，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制［12］的基本思想設(shè)計魯棒控制項代替最優(yōu)控制律中的風(fēng)場參數(shù)，得到能夠抑制有界風(fēng)場干擾的魯棒最優(yōu)控制律，并采用 Lyapunov穩(wěn)定性理論證明該閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性。本研究在導(dǎo)引控制律設(shè)計中考慮未知風(fēng)場擾動的影響，給出了3維航跡跟蹤魯棒最優(yōu)控制律，該導(dǎo)引控制律在風(fēng)場擾動條件下具有良好的跟蹤性能。

本文后續(xù)結(jié)構(gòu)安排如下：第2節(jié)給出了無人機動力學(xué)方程的線性化，并提出問題；第3節(jié)設(shè)計了該航跡跟蹤問題的最優(yōu)控制律；第4節(jié)考慮未知的風(fēng)場擾動，設(shè)計了魯棒最優(yōu)控制律；第5節(jié)仿真驗證該魯棒控制律精確跟蹤3維航跡的性能；最后是結(jié)論和討論。

2 問題提出

針對無人機6自由度剛體動力學(xué)的12個狀態(tài)方程［20］，采用非線性動態(tài)逆方法［21.22］，得到空速、航跡傾角和航

無人機在飛行過程中，受到風(fēng)場的影響，故在無人機運動學(xué)方程中加入風(fēng)場擾動。

這里， x，y，z表示無人機在歐美坐標系中的3個坐標分量，h表示飛行高度， w=（wxwywh）分別表示未知風(fēng)場擾動在參考坐標系各坐標軸上的分量，其大小隨時間變化，變化率未知，其變化率記為w˙，w，w˙有界。

為便于處理無人機的非線性動力學(xué)方程，采用反饋線性化對非線性方程式（1）和式（2）進行變換。對無人機動力學(xué)方程，采用變換如式（3）所示：

這里，變換矩陣T為

經(jīng)過變換之后，無人機方程變?yōu)?/p>

注意到上述變換是可逆的，所以只需對式（5）中的ux，uy，uh進行設(shè)計，之后再進行反變換即可得到所需的控制指令 vc，γc，χc。

為了使無人機按照規(guī)劃航路飛行，假設(shè)有一個虛擬目標在規(guī)劃航路上飛行，即該虛擬目標的飛行航跡是規(guī)劃航路，無人機通過跟蹤該虛擬目標實現(xiàn)精確跟蹤航路。由于規(guī)劃航路不受風(fēng)場的影響，故虛擬目標的運動不受風(fēng)場擾動的影響。假設(shè)規(guī)劃航路光滑，各坐標分量的一、二階導(dǎo)數(shù)都存在。令

從而可以得到與無人機方程式（5）相似的虛擬目標的動力學(xué)方程。其中 xr，yr分別表示虛擬目標在歐美坐標系中的水平面內(nèi)的坐標分量， hr表示高度。

我們的問題是對無人機設(shè)計反饋控制律使得在未知有界風(fēng)場擾動和任意初始條件下有式（9）成立：

3 最優(yōu)控制律設(shè)計

首先，假設(shè)風(fēng)場擾動可以精確測量，即擾動變化已知，在該假設(shè)下設(shè)計最優(yōu)控制律。

定理 1若風(fēng)場變化已知，給定如式（8）表示的虛擬目標和式（7）表示的無人機動力學(xué)方程，按式給（10）出的控制量能夠保證式（9）成立，即無人機飛行航跡漸進收斂于規(guī)劃航路。其中，在證明過程中給出。

證明為簡化推導(dǎo)，令則關(guān)于 ξ，η的狀態(tài)方程為

設(shè)計線性二次型調(diào)節(jié)器LQR（Linear Quadratic Regulator） 使 x →0。性能指標為

其中，Q，R是正定加權(quán)矩陣。

通過使性能指標最小化，可以得到反饋控制：

其中，反饋增益矩陣K為

P為如下Riccati方程的解：

現(xiàn)在需要設(shè)計 Q，R并求解P。首先令R為單位陣，即

令加權(quán)矩陣Q的形式為

其中， q1，q2為設(shè)計參數(shù)且 q1＞ 0，q2＞ 0。

求解P之前需要考察LQR的解存在的兩個條件是否滿足：

這里 n= 6，經(jīng)驗證， A，B能控。

（2）Q，R是否為正定矩陣。顯然，上面給出 Q，R的形式都為正定矩陣。

上述兩個條件均滿足，故LQR的解存在。

為求解P，將其分塊，令

代入Riccati方程式（16）可得

由式（20）解得

將求得的P代入式（15），可得反饋增益矩陣為

故該LQR的反饋控制量為

因此，無人機控制量u為

4 魯棒最優(yōu)控制律設(shè)計

事實上，風(fēng)場擾動是未知的，而式（10）中包含風(fēng)場擾動w˙，故式（10）給出的控制量無法實現(xiàn)。為此將式（10）中的擾動改為魯棒項，希望設(shè)計一種魯棒控制律。

將未知風(fēng)場擾動替換為魯棒項 uτ，得到魯棒控制量為：

現(xiàn)在需要設(shè)計魯棒項 uτ。

定理 2針對未知的風(fēng)場擾動，給定如式（8）表示的虛擬目標和式（7）表示的無人機動力學(xué)方程，按式（25）給出的魯棒項能夠保證式（9）成立，即無人機飛行航跡漸進收斂于參考航路。

證明對系統(tǒng)式（11），取Lyapunov候選函數(shù)為

代入控制量式（24），式（25），得到

式（28）用到了Holder不等式，? a，b ∈?n， 1 ≤p≤∞， 1/ p + 1/ p= 1，那么

顯然，x =0是系統(tǒng)式（11）的一個平衡點，式（26）給出的Lyapunov候選函數(shù) V:?6→?是連續(xù)可微且徑向無界的正定函數(shù)，由式（28）可知 ? x ∈?6，有 V˙≤ 0。另外，在集合中除平凡解 x ≡0之外沒有其他解。由LaShalle不變原理［23］可知，原點是全局漸近穩(wěn)定的。 證畢

需要說明的是，由于符號函數(shù)的跳變，式（25）給出的魯棒項 uτ會導(dǎo)致控制系統(tǒng)振顫［11］。為了降低振顫，采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)，魯棒項改為

其中，飽和函數(shù)定義為

δ是確定滑模邊界層的常數(shù)。

注：對于符號函數(shù)和飽和函數(shù)，一般定義為標量形式。若其自變量是向量，其結(jié)果是對向量中的元素逐個使用該函數(shù)得到的向量。

5 仿真實例

為驗證提出的精確3維航路跟蹤控制律的有效性，在風(fēng)場干擾條件下，將控制律應(yīng)用于無人機跟蹤3維空間內(nèi)上橫8字形的跟蹤。其中，仿真1驗證第3節(jié)最優(yōu)導(dǎo)引控制律在已知風(fēng)場變化時的跟蹤性能，仿真2驗證第4節(jié)魯棒最優(yōu)控制律在未知有界風(fēng)場干擾時的跟蹤性能，仿真3與已有的研究［14］進行比較，驗證本文提出的控制律跟蹤性能更優(yōu)。在仿真實驗中，仿真時間為100 s，仿真步長為0.01 s，無人機性能參數(shù)無人機初始狀態(tài)是r=（160， 10， 260） m， v = 13 m/s， γ= 0°， χ= 45°。上橫8字形方程［24，25］為

仿真中取a=150， b=150， c=100， ω=π /50?？刂坡芍袇?shù) q1= 1，q2= 1。

5.1 驗證最優(yōu)導(dǎo)引控制律

仿真1 在風(fēng)場干擾已知或能精確測量條件下，驗證最優(yōu)導(dǎo)引控制律的跟蹤性能。取風(fēng)速隨時間正弦變化，sin（πt /10）m/s， wh= sin（πt /10）m/s，如圖1所示。在已知風(fēng)場擾動條件下，無人機跟蹤上橫8字形的仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2顯示無人機在已知風(fēng)場擾動下飛行的3維航跡和參考航路，從圖中可以看出，最優(yōu)導(dǎo)引控制律能夠使無人機的飛行航跡收斂到3維參考航路。圖3顯示無人機與虛擬目標的位置誤差和速度誤差隨時間的變化曲線，從圖中可以看出，位置誤差超調(diào)量為0 m，位置誤差收斂到穩(wěn)態(tài)的時間是6 s，穩(wěn)態(tài)位置誤差為0 m。圖4顯示無人機與虛擬目標的速度誤差隨時間變化的曲線，從圖中可以看出，速度誤差有一定的超調(diào)量，速度誤差收斂到穩(wěn)態(tài)的時間是6 s，穩(wěn)態(tài)速度誤差為0 m/s。圖5顯示無人機的控制量，包括空速指令、航跡偏角和航跡傾角指令隨時間變化的曲線。仿真說明最優(yōu)導(dǎo)引控制律可以有效跟蹤3維空間復(fù)雜曲線。

5.2 驗證魯棒最優(yōu)導(dǎo)引控制律

圖1 仿真1的風(fēng)場設(shè)置

圖2 仿真1跟蹤8字形的航跡和參考航路

圖3 仿真1跟蹤8字形的位置誤差

仿真2 在風(fēng)場擾動未知的條件下，驗證魯棒最優(yōu)導(dǎo)引控制律的跟蹤性能。其中魯棒項采用式（29），

飽和函數(shù)參數(shù)取 δ= 0.1。仿真中風(fēng)場干擾設(shè)置按照文獻［5，6］的方法，取風(fēng)速3個分量為 w =（2，2，0）T+Ek，其中 Ek=（ekxekyekh）T，ekx，eky，ekh～ N（0，0.52），風(fēng)速采樣時間為1 s，采樣時間內(nèi)任意時刻的風(fēng)速由插值得到。風(fēng)場干擾如圖6所示。取控制律中常數(shù) D=5，E= 4。在未知風(fēng)場擾動條件下，無人機跟蹤上橫8字形的仿真結(jié)果如圖7～圖10所示。

圖4 仿真1跟蹤8字形的速度誤差

圖5 仿真1跟蹤8字形的控制指令

圖6 仿真2的風(fēng)場設(shè)置

圖7顯示無人機在未知風(fēng)場擾動下飛行的3維航跡和參考航路，從圖中可以看出，魯棒最優(yōu)導(dǎo)引控制律能夠使無人機的飛行航跡收斂到3維參考航路。圖8，圖9顯示無人機與虛擬目標的位置誤差和速度誤差隨時間的變化曲線，從圖中可以看出，與已知風(fēng)場變化相比，位置和速度誤差收斂到穩(wěn)態(tài)的時間不變，穩(wěn)態(tài)位置誤差為0 m，穩(wěn)態(tài)速度誤差在0 m/s附近，說明魯棒最優(yōu)控制律可以有效抑制未知風(fēng)場擾動。圖10顯示無人機的控制量，包括空速指令、航跡偏角和航跡傾角指令隨時間變化的曲線。仿真說明魯棒最優(yōu)導(dǎo)引控制律可以在未知風(fēng)場擾動下有效跟蹤3維空間復(fù)雜曲線。

圖7 仿真2跟蹤8字形的航跡和參考航路

5.3 與現(xiàn)有導(dǎo)引律比較

為了說明本文提出的魯棒最優(yōu)控制律（Robust Optimal Guidance Law， ROGL）在未知風(fēng)場干擾條件下具有更好的精確航跡跟蹤性能，與現(xiàn)有的導(dǎo)引律（Pursuit-Line of Sight Guidance Law， PLSGL）［14］進行對比實驗。由于PLSGL是在2維導(dǎo)引律，因此在對比實驗中以跟蹤3維空間內(nèi)平行于x-y平面上的直線航路為例。實驗中的3維風(fēng)場干擾未知，與仿真2的設(shè)置相同。文獻的導(dǎo)引律參數(shù)為 k1=15，k2= 1。仿真初始條件如下：無人機初始狀態(tài)是r=（2，15，0） m， v=13 m/s，γ = 0°，χ = 45°。參考航路參數(shù)是 rr=（0，0，0） m，vr=（13cos（π/4），13sin（π/4），0）m/s。仿真結(jié)果如圖11，圖12所示。為了便于對比，圖11顯示本文的ROGL 3維跟蹤航跡在x-y平面投影與PLSGL的2維跟蹤航跡。

圖11顯示兩種導(dǎo)引律均能在未知風(fēng)場擾動下使無人機航跡收斂到2維直線航路。圖12顯示使用兩種導(dǎo)引律的無人機的位置誤差，可以看出，本文提出的導(dǎo)引律和文獻［14］的導(dǎo)引律的位置誤差收斂到零附近的時間分別是6 s和23 s，最大位置誤差（真實航跡在參考直線航路左側(cè)取正、右側(cè)取負）分別是17.45 m和49.70 m。說明本文提出的導(dǎo)引律能使無人機航跡更快收斂到參考航路，而且其收斂過程中超調(diào)量更小。另外，達到穩(wěn)態(tài)之后，本文提出的導(dǎo)引律能夠使無人機跟蹤靜態(tài)誤差收斂到0 m，而文獻［14］的導(dǎo)引律使無人機跟蹤靜態(tài)誤差在0 m附近抖動。仿真結(jié)果表明，本文提出的導(dǎo)引律具有更優(yōu)的跟蹤性能，使無人機在未知風(fēng)場擾動下航跡跟蹤的精度更高。

6 結(jié)論和討論

圖8 仿真2跟蹤8字形的位置誤差

圖9 仿真2跟蹤8字形的速度誤差

圖10 仿真2跟蹤8字形的控制指令

圖11 跟蹤直線的航跡比較

圖12 跟蹤直線的位置誤差比較

本文討論了未知風(fēng)場擾動下無人機精確3維航路跟蹤問題，提出了一種能夠?qū)崿F(xiàn)未知風(fēng)場擾動下無人機精確3維航路跟蹤的魯棒最優(yōu)導(dǎo)引控制律。將未知風(fēng)場擾動引入到無人機運動方程中，采用反饋線性化將無人機的非線性動力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為線性狀態(tài)方程。在風(fēng)場能夠精確測量的假設(shè)基礎(chǔ)上，利用線性二次型調(diào)節(jié)器LQR推導(dǎo)出最優(yōu)控制律。之后考慮未知的風(fēng)場擾動，設(shè)計魯棒控制項代替最優(yōu)控制律中的未知風(fēng)場參數(shù)，得到能夠抑制有界風(fēng)場干擾的魯棒最優(yōu)控制律，并采用 Lyapunov穩(wěn)定性理論證明該閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性。采用飽和函數(shù)替代符號函數(shù)得到的魯棒最優(yōu)控制器，降低了符號函數(shù)跳變導(dǎo)致的系統(tǒng)振顫。本文提出的魯棒最優(yōu)控制律能夠?qū)崿F(xiàn)在已知或可精確測量的風(fēng)場擾動下的無人機精確3維航跡跟蹤的最優(yōu)控制，實現(xiàn)在未知風(fēng)場擾動下的無人機精確3維航跡跟蹤的魯棒最優(yōu)控制，且在未知風(fēng)場擾動下具有良好的跟蹤性能。

進一步的工作可以從以下方面開展：（1）在魯棒控制與對風(fēng)場擾動實時估計相結(jié)合，設(shè)計性能更好的精確航跡跟蹤控制器；（2）不僅考慮外界風(fēng)場擾動的不確定性，還要考慮無人機動力學(xué)特性的不確定性，研究無人機動力學(xué)特性含有擾動項的精確航跡跟蹤問題。

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張 坤： 男，1985年生，博士生，研究方向為無人機導(dǎo)航制導(dǎo)與控制.

高曉光： 女，1957年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為航空火力控制與作戰(zhàn)效能分析.

Robust Optimal Control for Unmanned Aerial Vehicles’Three-dimensional Trajectory Tracking in Wind Disturbance

Zhang Kun Gao Xiao-guang
（School of Electronics and Information， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710129， China）

This paper presents a robust optimal guidance control law for precise three-dimensional （3D） trajectory tracking of an Unmanned Aerial Vehicle （UAV） in wind disturbance. The wind disturbance is considered in the UAV’s kinematic model. The reference path is considered as a trajectory of a virtual target. Feedback linearization is used to transform the nonlinear dynamics of the UAV to linear state equations. Based on the assumption that the wind disturbance can be known precisely， an optimal control law is derived for the UAV's 3D trajectory tracking using the LQR （Linear Quadratic Regulator）. Then considering the unknown wind disturbance， a robust term is designed to replace the unknown wind disturbance， and a robust optimal control law is obtained. Global asymptotic stability of the closed-loop system is proved by Lyapunov stability theory. Simulations show that the proposed control law can achieve precise 3D UAV trajectory tracking with wind disturbance attenuation， and has good tracking performance.

3D trajectory tracking； Optimal control； Robust control； Winds disturbance

s: The National Natural Science Foundation of

TN966； V249

A

1009-5896（2015）12-3009-07

10.11999/JEIT150047

2015-01-07；改回日期：2015-08-02；網(wǎng)絡(luò)出版：2015-10-13

*通信作者：張坤 zhangkunhn@mail.nwpu.edu.cn

國家自然科學(xué)基金（60774064）和教育部博士點基金（20116102110026）

China （60774064）； The Doctoral Fund of Ministy of Education of China （20116102110026）