劉 濤,劉日成,呂顯瑞,靜 宇

(1.中國石油大學(xué)(北京)地球物理與信息工程學(xué)院,北京 102249；2.東北石油大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,黑龍江 大慶 163318；3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春 130012；4.東北石油大學(xué) 石油工程學(xué)院,黑龍江 大慶 163318)

?

研究簡報(bào)

非牛頓流體層流微分黏度函數(shù)

劉 濤1,劉日成2,呂顯瑞3,靜 宇4

(1.中國石油大學(xué)(北京)地球物理與信息工程學(xué)院,北京 102249；2.東北石油大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,黑龍江 大慶 163318；3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春 130012；4.東北石油大學(xué) 石油工程學(xué)院,黑龍江 大慶 163318)

為避開用流體力學(xué)中的平均值方法求解微分黏度函數(shù)時(shí)遇到的奇異問題,基于復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)揭?guī)則簡化非牛頓流體的微分黏度函數(shù),并在此基礎(chǔ)上建立微分黏度的3種近似式,針對不同近似式的精確性進(jìn)行分析和比較,明確了近似式的最佳適用范圍.

鏈?zhǔn)揭?guī)則；冪律流體；微分黏度；近似式

文獻(xiàn)[1-2]研究表明,當(dāng)隨鉆測量儀(MWD)系統(tǒng)中的鉆井液脈沖信號傳輸時(shí),井眼內(nèi)鉆井液的流動(dòng)狀態(tài)為非穩(wěn)定的瞬變流,該瞬變過程服從水擊現(xiàn)象的基本原理.對于牛頓流體水擊問題,目前已形成了較完備的理論體系.但石油工程中常用的鉆井液是由液相、固相及少量氣相組成的漿體,屬于純黏性無彈性的非牛頓流體[3].對非牛頓流體水擊問題的研究,一般借助牛頓流體一維不穩(wěn)定流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型,而基于非牛頓流體流變模式建立的水擊理論目前報(bào)道較少[4].

文獻(xiàn)[5]研究表明,要建立嚴(yán)格的非牛頓流體水擊方程的解析解非常復(fù)雜.以冪律流體為例,其微分黏度函數(shù)是非線性函數(shù),如果不采用冪律流體微分黏度的近似表達(dá)式,則可能無法用解析方法研究冪律流體的瞬變流問題.但文獻(xiàn)[5]只給了微分黏度的一種近似式.本文在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上,研究非牛頓流體微分黏度近似表達(dá)式的多種求法,并對近似式的精確性進(jìn)行比較分析,明確微分黏度近似式的最佳適用范圍.本文雖以冪律流體為例討論問題,但這種分析方法對其他類型的非牛頓流體問題同樣適用,具有一般性.

1 微分黏度的精確表達(dá)式

文獻(xiàn)[6]研究表明,當(dāng)冪律流體在圓管內(nèi)做層流運(yùn)動(dòng)時(shí),其相關(guān)參數(shù)的分布規(guī)律為:

(1)

(2)

(3)

(4)

其中:u表示速度；n表示流性指數(shù)；K表示稠度系數(shù)；(Δp)/L表示壓力梯度；R表示圓管半徑；r表示圓管的徑向距離；V表示平均速度；D表示圓管直徑.進(jìn)一步可得

(5)

(6)

(7)

a.n=0.1;b.n=0.2;c.n=0.3;d.n=0.4;e.n=0.5;f.n=0.6;g.n=0.7;h.n=0.8;i.n=0.9;j.n=1.0.

其中：-δ=du/dr表示流體層間的速度梯度；δw=-(du/dr)|r=R表示管壁處的速度梯度；x=r/R.對于冪律流體,若用τ表示流體層間的剪切應(yīng)力,則有τ=K(-du/dr)n.

微分黏度定義[7]為ηd=dτ/dδ.根據(jù)該定義并聯(lián)立上述各式,可得圓管內(nèi)冪律流體層流微分黏度的精確表達(dá)式為

(8)

若用ηdw表示管壁處的微分黏度,則由式(8)可得

(9)

(10)

(11)

式(11)表明,ξ或ηd是流性指數(shù)n和空間變量x的函數(shù),當(dāng)流性指數(shù)n取不同值時(shí),ξ=ξ(x)的函數(shù)圖像如圖1所示.由圖1可見,當(dāng)n值充分大(一般認(rèn)為n>0.4)時(shí),除坐標(biāo)原點(diǎn)附近外,ξ或ηd主要受流體性能參數(shù)n的影響.

2 速度梯度函數(shù)的近似表達(dá)式

根據(jù)微分黏度的定義式

(12)

(13)

(14)

由式(14)易見,此時(shí)n=1/3是奇點(diǎn),所以為避開奇異問題,應(yīng)尋求dτ/dδ的其他近似形式.因?yàn)樵赿τ/dδ中,dτ/dr是常數(shù),與空間坐標(biāo)無關(guān),所以只要尋求函數(shù)dδ/dr的有效近似方法便可求得較佳的dτ/dδ近似表達(dá)式.

2.1 dδ/dr的近似式 按流體力學(xué)中的平均值方法處理dδ/dr,可得dδ/dr的近似式:

(15)

令y=δ/δw,仍取x=r/R,可得dy/dx=2/(n+1),進(jìn)一步得y=2/(n+1)x+C.

根據(jù)文獻(xiàn)[6]可得圖2,其中:曲線為精確曲線;折線OAB表示用直線Ⅰ和Ⅱ?qū)φ鎸?shí)分布曲線進(jìn)行逼近.由圖2可得:C=(n-1)/(n+1),x0=(1-n)/2.因此可得速度梯度函數(shù)(7)的第一種近似形式,即直線Ⅰ的表達(dá)式為

(16)

直線Ⅰ的另一種表達(dá)式求法如下：設(shè)

(17)

(18)

圖2 dδ/dr與r/R之間的函數(shù)關(guān)系Fig.2 Function relation between dδ/dr and r/R

由式(18)知x0=(k-1)/k,所以S2=1/(2k).因?yàn)橹本€Ⅰ應(yīng)盡量逼近精確曲線,所以可令S1=S2,從而可得k=(n+1)/(2n).又因?yàn)閗為直線的斜率,所以速度梯度函數(shù)(7)的第二種近似形式,即式(17)為

(19)

(20)

下面將式(16)、式(19)與精確表達(dá)式進(jìn)行比較.當(dāng)n不取小值時(shí)(n≥0.6)比較結(jié)果如圖3所示.由圖3可見:當(dāng)n≥0.6時(shí),除圓管軸心處外,y或δ的近似式與精確式符合良好,可以用y或δ的近似式代替其精確式,誤差不超過5%;式(19)比式(16)精確性高；n值越接近1,近似式的精確性越高.

2.2 分段逼近表達(dá)式 分段逼近是指用如圖2所示的折線OAB近似表示精確曲線.為簡便,本文折線由圖2中直線Ⅰ和直線Ⅱ上相應(yīng)的線段組成,并且直線Ⅰ的表達(dá)式為(19).

(21)

(22)

從而可得

(23)

(24)

聯(lián)立式(19)和式(22)可得分段逼近表達(dá)式,其為速度梯度函數(shù)(7)的第三種近似形式.將r限定在不同范圍內(nèi),可得dδ/dr的第三種近似式,即聯(lián)立式(23)和式(24).圖4給出了分段逼近式與精確表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果.由圖4可見,用折線OAB逼近真實(shí)曲線效果更好.

圖3 n取不同值時(shí)y或δ的近似式與精確式對比Fig.3 Comparison between the approximation formula and accurate formula of y or δ at different values of n

圖4 n取不同值時(shí)用折線逼近精確曲線的結(jié)果Fig.4 Results of the broken line approached to precise curve at different values of n

3 微分黏度的近似表達(dá)式及比較分析

聯(lián)立式(12),(15),(20),(23),(24),可得如下圓管內(nèi)冪律流體微分黏度的近似表達(dá)式：

近似式Ⅰ:

(25)

(26)

近似式Ⅱ:

(27)

(28)

近似式Ⅲ:

(29)

(30)

近似式(25)～(30)與精確式(8),(11)計(jì)算結(jié)果的對比如圖5～圖7所示,圖中虛線為式(26)或式(25)結(jié)果,點(diǎn)線為式(28)或式(27)結(jié)果,折線為式(30)或式(29)結(jié)果,實(shí)線為精確式(8)或式(11)的計(jì)算結(jié)果.由圖5～圖7可見,各近似式的精確性為：近似式Ⅲ優(yōu)于近似式Ⅱ,近似式Ⅱ優(yōu)于近似式Ⅰ.當(dāng)n充分大(n≥0.6)時(shí),除圓管軸心外,微分黏度近似式可較好地取代精確式,平均誤差小于5%.

圖5 n取不同值時(shí)近似式Ⅰ與精確式的圖像對比Fig.5 Comparison of the images of the approximation formula Ⅰ and the accurate formula at different values of n

由上述結(jié)果可見,冪律流變模式能較好地適應(yīng)流體中、高速度梯度流動(dòng)規(guī)律的描述,但不適用低速度梯度的情況.在圓管軸心處,r較小時(shí),δ較低,無論n取何值,冪律流體的微分黏度或視黏度都趨于∞,這是冪律流變模式的固有缺陷[8].本文提出的近似式在圓管軸心處與精確式間的誤差在某種程度上對精確式可能具有一定的修正作用.

圖6 n取不同值時(shí)近似式Ⅱ與精確式的圖像對比Fig.6 Comparison of the images of the approximation formula Ⅱ and the accurate formula at different values of n

圖7 n取不同值時(shí)近似式Ⅲ與精確式的圖像對比Fig.7 Comparison of the images of the approximation formula Ⅲ and the accurate formula at different values of n

4 結(jié) 論

1)微分黏度ηd是流性指數(shù)n和空間變量x的函數(shù),一般地,當(dāng)n>0.4(特別當(dāng)n≥0.6)時(shí),除坐標(biāo)原點(diǎn)附近外,ηd主要受流體性能參數(shù)n的影響,與空間變量x無關(guān)；

2)本文給出了速度梯度函數(shù)的3種近似形式,并在此基礎(chǔ)上給出了微分黏度的3種近似表達(dá)式；

3)當(dāng)n≥0.6時(shí),除圓管軸心處外,速度梯度δ的近似式與精確式符合良好,可用δ的近似式代替其精確式,相對誤差不超過5%;精確性的比較結(jié)果為：分段逼近表達(dá)式(即式(22)和式(19)組合)優(yōu)于式(19),式(19)優(yōu)于式(16)；

4)通過微分黏度近似式與精確式的計(jì)算及比較分析表明,當(dāng)n≥0.6時(shí),除圓管軸心處外,微分黏度近似式可以取代精確式,相對誤差小于5%;精確性是:近似式Ⅲ優(yōu)于近似式Ⅱ,近似式Ⅱ優(yōu)于近似式Ⅰ.

[1] 劉修善,蘇義腦.鉆井液脈沖信號的傳輸特性分析 [J].石油鉆采工藝,2000,22(4)：8-10.(LIU Xiushan,SU Yinao.Analysis for the Transmission Characteristics of the Pulse Signal of Drilling Fluid [J].Oil Drilling and Production Technology,2000,22(4)：8-10.)

[2] Schmalhorst B,Brommundt E,Baumgart A,et al.Drilling Dynamics in the Presence of Mud Flow [C/OL]//IADC/SPE Drilling Conference.New Orleans:Society of Petroleum Engineers,2000.http://dx.doi.org/10.2118/59236-MS.

[3] 陳庭根,管志川.鉆井工程理論與技術(shù) [M].東營:石油大學(xué)出版社,2000.(CHEN Tinggen,GUAN Zhichuan.Drilling Engineering Theory and Technology [M].Dongying：Petroleum University Press,2000.)

[4] 韓文亮,董曾南,柴宏恩,等.偽均質(zhì)固液兩相流水擊壓力的計(jì)算方程及驗(yàn)證 [J].中國科學(xué):E輯,2000,30(5)：473-480.(HAN Wenliang,DONG Cengnan,CHAI Hong’en,et al.Computing Equations of Water Hammer in Pseudo-homogeneous Solid-Liquid Flow and Their Verification [J].Science in China:Series E,2000,30(5)：473-480.)

[5] 劉日成,呂顯瑞,劉濤.圓管中冪律流體非穩(wěn)態(tài)流控制方程的一種近似解法 [J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2015,53(1)：73-76.(LIU Richeng,Lü Xianrui,LIU Tao.Approximation Solution of Control Equation for Unstable Pipe Flow of Power-Law Fluid [J].Journal of Jilin University:Science Edition,2015,53(1)：73-76.)

[6] 陳家瑯,劉永建,岳湘安.鉆井液流動(dòng)原理 [M].北京：石油工業(yè)出版社,1997.(CHEN Jialang,LIU Yongjian,YUE Xiang’an.Principle of Drilling Fluid Flow [M].Beijing：Petroleum Industry Press,1997.)

[7] 王玉忠,鄭長義.高聚物流變學(xué)導(dǎo)論 [M].成都：四川大學(xué)出版社,1993.(WANG Yuzhong,ZHENG Changyi.Introduction to Polymer Rheology [M].Chengdu：Sichuan University Press,1993.)

[8] 李天太,孫正義,李琪.實(shí)用鉆井水力學(xué)計(jì)算與應(yīng)用 [M].北京：石油工業(yè)出版社,2002.(LIU Tiantai,SUN Zhengyi,LI Qi.Calculation and Application of Drilling Hydraulics [M].Beijing：Petroleum Industry Press,2002.)

(責(zé)任編輯：趙立芹)

DifferentialViscosityFunctionofLaminarFlowofNon-NewtonianFluidinPipes

LIU Tao1,LIU Richeng2,Lü Xianrui3,JING Yu4

(1.CollegeofGeophysicsandInformationEngineering,ChinaUniversityofPetroleum(Beijing),Beijing102249,China；2.SchoolofMathematicsandStatistics,NortheastPetroleumUniversity,Daqing163318,HeilongjiangProvince,China；3.CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China；4.SchoolofPetroleumEngineering,NortheastPetroleumUniversity,Daqing163318,HeilongjiangProvince,China)

Based on the chain rule of composite function,the differential viscosity function of non-Newtonian fluid was simplified so that the problem of singularity is avoided,which is encountered in solving the differential viscosity function by the average value method commonly used in fluid mechanics.Then three approximation formula of the differential viscosity were established,the precision of the approximations was analyzed and compared,and the optimal scopes of application of the approximations were given.

chain rule；power law fluid；differential viscosity；approximation formula

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.24

2014-09-24.

劉 濤(1984—),女,漢族,博士,講師,從事測井工程數(shù)值分析與仿真的研究,E-mail：liutao_chn@126.com.通信作者：劉日成(1975—),男,漢族,博士研究生,副教授,從事工程數(shù)學(xué)方法的研究,E-mail：richengliu@sina.com.

吉林省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號：201215038).

O357

：A

：1671-5489(2015)03-0471-07