張濤

（南京財經(jīng)大學應用數(shù)學學院）

關(guān)于一些群的分解性討論

張濤

（南京財經(jīng)大學應用數(shù)學學院）

主要討論群的分解問題，要討論群的分解首先要引入直積的概念。而為了接下來討論的方便，就要給出關(guān)于直積的一個非常重要的定理。之后，自然地給出了可分解群的概念。通過舉出兩個循環(huán)群的例子，得到一類循環(huán)群可分解的一個充分條件，并且通過算術(shù)基本定理，將這個結(jié)論推廣到所有的有限循環(huán)群上。然后在此基礎之上，通過討論循環(huán)群與交換群的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)有限交換群與有限循環(huán)群具有相同的分解性。此外，也給出了一些不可分解群的實例，特別是一個文字上的對稱群，而具有一些很好的性質(zhì)，通過這些性質(zhì)得到了一個群可分解的充分條件。最后給出了一個群可分解甚至可唯一分解的一個非常重要的充分條件，并利用這個反過來討論了文章之前所舉的可分解群分解唯一性的問題。并且通過良序性質(zhì)，最后證明了整數(shù)加群滿足降鏈條件而不滿足升鏈條件。

直積；可分解群；對稱群；良序

群分很多類，大部分群的結(jié)構(gòu)是未知的。遇到一個不熟悉的群，為了要弄清它的結(jié)構(gòu)，我們通常會有如下思路：首先我們可以找出與該群同構(gòu)的而其結(jié)構(gòu)又是已知的群。其次我們可以用構(gòu)造比他簡單的子群來表達，這在討論群的構(gòu)造時有非常大的作用，特別是在討論群有多少個同構(gòu)分類的問題上。而一個群的構(gòu)造如何用它子群的構(gòu)造來決定，這就牽涉到群的分解，哪些群是可分解的？哪些群是不可分解的？在本文中，我們嘗試對一些特定的群進行討論，而要討論群的分解，首先要用到直積的概念。

定義1：假設A，B是群G的子群，并且滿足

（1）A?G，B?G

（2）G=AB

（3）A∩B=E，E是群G的單位元群

那么稱G為子群A，B的直積，記作G=A×B，且稱A，B為G的直積因子。

有了直積的定義之后，我們在利用直積的性質(zhì)時，經(jīng)常采用如下定理，再給出定理之前，我們先給出一個引理：

引理1：群G的子群H，K的乘積HK成群?HK=KH.

證明：必要性：

若HK成群，?h∈H，?k∈K，因為kh的逆h-1k-1∈HK，所以kh∈HK KH?HK.

又因為（hk）-1∈HK，令（hk）-1=h′k′，則hk=h′-1k′-1∈KH，所以HK?KH，因此HK=KH.

證明：充分性：

若HK=KH，則?hk∈HK的逆元k-1h-1在KH=HK中，而HKHK=HHKK=HK，所以HK對乘法封閉，于是HK成群。

有了這個引理之后，下面的定理就顯得很直觀.

定理1：G=A×B??g∈G能夠唯一的表成g=ab，a∈A，b∈B且A中任意元能與B中任意元交換.

證明：必要性：

因為G=A×B，所以?g∈G有g(shù)=ab，若表示不唯一，則于A∩B=E矛盾；又A?G，B?G，所以a（ba-1b-1）=a（ba-1b-1）=（aba-1）b-1∈A∩B=E，所以ab=ba.

證明：充分性：

由條件可得AB=BA，則G=AB，又表示唯一，有A∩B=E.

而gAg-1=abAb-1a-1=aAa-1?A，所以A?G，同理B?G.

有了直積的概念之后，我們可以自然的引入下面的定義.

定義2：一個群如果能分解為它的真子群的直積，就稱為可分解群，否則就是不可分解群。

根據(jù)這個定義，我們可以知道，如果一個群可分解，并且其直積因子的結(jié)構(gòu)已知的話，則該群的構(gòu)造就由它的直積因子唯一決定。當然，我們可以自然的將上述直積概念推廣將群G表示為n個子群的直積的情況，即得G=A1×A2×……An的定義。因此若G是有窮群，則有，即G的階數(shù)為它的直積因子的階數(shù)的乘積。

例1.6元循環(huán)群（a）是子群（a2），（a3）的直積，即（a）=（a2）×（a3）為可分解群。

例2.設G是15元群，15=3×5，由西羅定理可知3西羅子群的個數(shù)n3=1+3x要整除5，所以G只有1個3西羅子群G1，同理也只有一個5西羅子群G2，而一個群的所有同階西羅子群是彼此共軛的，因此它們都是G的正規(guī)子群。又因為階為素數(shù)的群皆為循環(huán)群，所以G=G1×G2=（a）×（b）=（ab）為循環(huán)群，也就是說，15群在同構(gòu)意義下只是循環(huán)群，并且為可分解群。

那么，通過這兩個例子我們很可能會得到這樣一種假象：有限階的循環(huán)群都是可分解群。為此，我們有這樣的一個結(jié)論：循環(huán)P群和無窮循環(huán)群都是不可分解群

證明：任取循環(huán)P群的兩個子群，其階分別為Ps和Pt（s≤t），那么根據(jù)西羅定理，Ps階子群又是Pt階子群的子群，它們的交很明顯不是單位元群；而對無窮循環(huán)群來說，我們知道它同構(gòu)于整數(shù)加群Z，對?（m）＜Z，（n）＜Z除單位元外至少有m，n的最小公倍數(shù)q∈（m）∩（n），所以它的任意兩個子群的交也不可能是單位元群。那么有限階的循環(huán)群什么時候可分解呢？其實通過上面兩個例子，我們還是可以看出其中的一般規(guī)律，也就是：

假設（a）是n=rs階循環(huán)群，其中（r，s）=1，則（a）=（as）×（ar）

證明：因為（r，s）=1，則?u，v，有ru+sv=1，于是a=（ar）n·（as）v，所以（a）=（ar）×（as），令b∈（ar）∩（as），則b=ash=ark，于是sh≡rk（n），也就是說sh-rk=mn=mrs，所以sh=r（k+ms），而（r，s）=1，因此r|h，b= ash=asrl=e，即（ar）∩（as）=E，又很容易知道（ar）?（a），（as）?（a），所以（a）=（as）×（ar）。

這個結(jié)論我們可以進一步的推廣得到一個更一般的結(jié)論：由算術(shù)基本定理，我們知道n的標準分解式為，其中pi為互不相同素數(shù)且ri＞0，（i=1，2，…s）則，所以根據(jù)上面的討論立馬有，再反復利用上面證明的結(jié)論，我們可以得到有限階循環(huán)群總可以分解為一些循環(huán)p群的直積。我們知道循環(huán)群是交換群，但交換群不一定是循環(huán)群，但我們可以很快推導出一個循環(huán)群G，其所有的子群都具有 Gm=（am）的形式，其中m是正整數(shù)且m|n，也就是說Gm是由群中各元的m乘冪所構(gòu)成。因此石茲后來證明了其逆，即交換群G，如果它的所有子群都具有Gm的形式，那么G就是循環(huán)群。因此，交換群G是循環(huán)群的充分必要條件是它的子群都是Gm（m是正整數(shù)）的形式。當然這里我們需要說明一下，如果G不是交換群，Gm不一定成群；如果G是交換群，很明顯又Gm都是G的子群；再對?m∈Z，Gm都是G的子群，G也不一定就是交換群。直接證明石茲的結(jié)論是很困難的，但不難發(fā)現(xiàn)，石茲的定理可以換一種表述，即有窮交換群是循環(huán)群的充分必要條件是群的元數(shù)為群中所有元數(shù)階數(shù)的最小公倍數(shù)。

證明：必要性：

假設G=（a）的階數(shù)n=pq，（p，q）=1而G中任意元的階數(shù)要整除n，所以n使他們的公倍數(shù)，又所以n是它們的最小公倍數(shù)。

證明：充分性：

bpn=e，（ab）qn=aqn=e，所以，而（p，q）=1，因此，則pq=n，所以G是循環(huán)群。

那么在此基礎之上，我們可以很明顯地看出，對于交換 群來說，群的階數(shù)為所有元數(shù)階數(shù)的最小公倍數(shù)，所以其是循環(huán)群，因而其可以分解為一些循環(huán)G群的直積。而我們對于有窮交換群又有這樣一個定理

再根據(jù)剛剛證明的結(jié)論，不難發(fā)現(xiàn)對任意的有限交換群總能分解為一些循環(huán)p群的直積。

例3.12元交換群是它的4元子群和3元子群的直積，此時元子群子群要么是循環(huán)群，要么是克萊茵4元群B4，而B4又是兩個12元群的直積，所以12元交換群要么是循環(huán)群，即4元群和元群的直積，要么是兩個2元群和3元群的直積構(gòu)成的非循環(huán)群。而且我們還可以得到一個結(jié)論就是任意的有限交換群G能夠分解為階數(shù)是n1的循環(huán)群（ai）的直積，即G=（a1）×（a2）×…（am），并且可以使ni|ni+1i=1，2，…m-1

例4.G=（a1）×（a2）×…×（a5），他們的階數(shù)分別是23，24，3，32，33，令G1=（a3），G2=（a1）×（a4）=（a1a4），G3=（a1）×（a5）=（a1a5），則有G=G1×G2× G3，這時G1，G2，G3的階數(shù)為3，23，32，24，33。

接下來，我們要引入一類非常重要的不可分解群：對稱群Sn.

引理2：對稱群Sn都是不可分解群

證明：首先證明當n≠4時，除平凡正規(guī)子群外只有An?Sn

假設A?Sn（n＞4），則（Hn∩An）?An，而當n＞4時，交代群An是一類非常重要的單群，所以Hn∩An=A或Hn∩An=E。對于前者，H?An若H?Sn則有H=Sn；對于后者，H除包含單位元外其他的都是奇排列，而且它們的平方都是單位元，所以這些奇排列用不同文字的循環(huán)排列的乘積表示時一定都是對換的乘積，否則它們的平方就不是單位元。又H不含兩個奇排列，這是因為兩個奇排列的乘積是偶排列必為單位元，從而它們互逆，從而相等。假如s=（ij）…是H所含的奇排列，令t=（ik），k≠j則tst-1=（kj）…∈H，這與H不含兩個奇排列矛盾。所以H也不含一個奇排列，因此H=E.

當n=4時，我們能夠很快驗證除平凡正規(guī)子群外只有A4?S4， B4?S4，而且E?C4=｛（1），（12）（34）｝?B4=D（A4）?A4=D（S4）?S4，注意這里得到正規(guī)子群具有傳遞性的這樣有誘惑力的結(jié)論，至于傳遞性在何種情況下成立，我們將在下面進行討

又D（Sn）=An，所以當n≤3時結(jié)論是顯然成立的。

所以對稱群Sn都是不可分解群。此外當n≠6時，Sn≌Aut（Sn），所以當n≠6時，Aut（Sn）也是不可分解群，所有與對稱群Sn同構(gòu)的群也都是不可分解群。當然在這里，我們要注意的是一個群自身的性質(zhì)一般是不能轉(zhuǎn)移到它的自同構(gòu)群上的。

例5.無窮循環(huán)群（a）的自同構(gòu)群是2元循環(huán)群，當（a）是n元循環(huán)群的時候，它有φ（n）個生成元ar，這里φ（n）表示關(guān)于n的歐拉函數(shù)，其中（r，n）=1，所以它的自同構(gòu)有個φ（n）個，即σ（ra）=ar，所以這時（a）的自同構(gòu)群與Z-（n）中所有的，（r，n）=1，對乘法形成的群同構(gòu)，所以循環(huán)群的自同構(gòu)群只是交換群，不一定是循環(huán)群。此外不同構(gòu)群的自同構(gòu)群也可能同構(gòu)，例無窮循環(huán)群和3元循環(huán)群的自同構(gòu)群都是2元群。

但是對稱群Sn有一類特殊的性質(zhì).

命題1：當n≥3時，Z（Sn）=E

證明：取??≠（1），則?i≠j，使得?（i）=j，令σ∈Sn，使得σ（i）= k，k≠i，j并且保持其他元素不動，則σ?（i）=?（k）≠j，σ?（i）=j，顯然σ?≠?σ，所以??≠（1）?Z（Sn）.

在此基礎之上，我們又知道當n≠6時，對稱群Sn的自同構(gòu)群都是內(nèi)同構(gòu)群，我們稱這樣的群為完全群，對于完全群我們有一個重要的定理。

定理3：如果H?G且H又是完全群，那么G=H×Z（H），其中Z（H）為H的中心化子。

因此，在此定理基礎之上，我們可以得到一個推論：如果SnΔG，n≠2，6那么群G就是可分解群。

在上面的討論中，我們留下了一個問題，即正規(guī)子群在何種情況下具有傳遞性。為了解決這個問題，我們首先得引入一個定義。

定義3：如果一個群能夠分解為它的真單子群的直積，則稱該群為完全可分解群.

例6.15元群可以分解為3西羅子群和5西羅子群的直積，并且兩者均為單群。對于完全可分解群的性質(zhì)，我們有如下兩個已知的定理.

定理4：假設G是完全可分解群，A是它的任意正規(guī)子群，則存在一正規(guī)子群B，使得G=A×B.這就是說，完全可分解群的任意正規(guī)子群是它的直積因子。

定理5：完全可分解群的正規(guī)子群是完全可分解群，完全可分解群的商群也是完全可分解群。

有了這兩個定理，現(xiàn)在我們可以來解決上述的問題了。

命題2：在完全可分解群中，正規(guī)子群這個關(guān)系適合傳遞性。

證明：設G為完全可分解群，A?G，則?B?G有G=A×B，所以A∩B=E，且A中任意元能與B中任意元交換。又設A1?A，則?g∈G，當?g∈A時，gA1g-1?A；當g∈B時，gA1g-1=A1gg-1?A，所以A1?G.

在上面我們相繼介紹了直積，可分解群與不可分解群的定義，并且舉了一些可分解群與不可分解群的實例之后。我們不禁要提出這樣的疑問為了要搞清一個復雜群的結(jié)構(gòu)時，我們何時才能將其分解或唯一分解成一些不可分解群的直積呢？雖然我們上面推導出了有限階循環(huán)群總可以分解為一些循環(huán)p群的直積這樣的結(jié)論，但是將循環(huán)群的條件去除以后結(jié)論就不一定正確了。

對此克努爾，雷馬克，許密特有一個重要定理，在給出定理之前我們首先給出一個定義

定義4：群G叫做滿足（正規(guī)）子群的升鏈條件，是指對于G的每個（正規(guī)）子群鏈G1＜G2＜…，均存在一個整數(shù)n，使得當i≥n時有Gi＜Gn；G叫作滿足（正規(guī)）子群的降鏈條件，是指對于G的每個（正規(guī)）子群鏈G1＞G2＞…，存在一個整數(shù)n，使得當i≥n時有Gi=Gn.

定理6：若群G滿足正規(guī)子群的升鏈條件或降鏈條件，那么G就能夠分解為有限個不可分解子群的直積。若G滿足同時正規(guī)子群的降鏈條件及升鏈條件，那么G就能夠唯一的分解為有限個不可分解子群的直積，也就是說如果有G=G1×G2…Gh，G=H1×H2×…× H4其中Gi，Hi都是不可分解子群，那么h=k，并且適當?shù)母淖冺樞蚩梢允笹i≌Hi。

例7：很明顯，我們由定義可以很快的看出任意有限群均同時滿足升鏈條件和降鏈條件，所以上面所講的，有限循環(huán)群或有限交換群的直積分解均是唯一的。

例8：整數(shù)加群Z滿足子群的升鏈條件但不滿足降鏈條件

證明：Z的子群的形式為（m）=｛km |k∈Z ｝，并且若（m）＜（n）則有n|m，而對于自然數(shù)集N，按照自然的數(shù)的大小關(guān)系，其成為一個良序集，即每個非空子集均具有一個最小元。所以Z滿足正規(guī)群列的升鏈條件，又Z是可數(shù)集，所以不滿足正規(guī)群列的降鏈條件而是無窮循環(huán)群，不可分解。

群的分解很重要，它能夠在我們弄清楚群的結(jié)構(gòu)的過程中提供幫助。在群的分解基礎之上，我們可以進一步的討論群的同構(gòu)分類問題，甚至我們進一步的可以在某些特定的情況下開始討論一個群的子群的個數(shù)問題，這是群里中主要的問題之一，在一般情況下，這個問題沒有解決。密勒爾曾經(jīng)通過子群的個數(shù)及性質(zhì)來討論群的構(gòu)造，取得了許多好的結(jié)果，當然這是我們以后要研究的問題了。

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·編輯 薛直艷