鄭 堂， 李世平， 程雙江， 鄔肖敏

（第二炮兵工程大學，陜西西安710025）

為檢測微弱周期信號對二次采樣隨機共振相關(guān)參數(shù)的研究

鄭 堂， 李世平， 程雙江， 鄔肖敏

（第二炮兵工程大學，陜西西安710025）

分析了二次采樣隨機共振中涉及到的重要參數(shù)采樣頻率和二次采樣頻率，結(jié)合理論推導與仿真，得出了這兩個參數(shù)對系統(tǒng)輸出效果的具體影響，同時分析了造成這些影響的原因，提出了這兩個參數(shù)選取的方法，為更好地應(yīng)用二次采樣隨機共振檢測微弱周期信號提供了依據(jù)。

計量學；微弱信號檢測；二次采樣隨機共振；采樣頻率；二次采樣頻率

1 引 言

隨機共振概念是1981年Benzi及其團隊在研究古氣候冰川問題時提出的［1］，用以解釋地球氣候以10萬年為周期進行冰川期與暖氣候期的交替現(xiàn)象，簡要描述如下：對于淹沒于噪聲中的周期信號，當通過某些非線性系統(tǒng)處理后，噪聲和周期信號能達到一種協(xié)同作用，使得噪聲能量向周期信號轉(zhuǎn)換，從而使得系統(tǒng)輸出得到優(yōu)化，輸出信號中周期成分得以凸顯，這正是將隨機共振用于檢測微弱信號的機理所在。與傳統(tǒng)的微弱信號檢測方法不同，隨機共振是利用噪聲而非抑制噪聲，這使得它在檢測微弱信號時具有很多其它方法所不具備的優(yōu)勢。目前用于研究隨機共振的數(shù)學模型主要包括：雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)、單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)、閾值系統(tǒng)、離散時間系統(tǒng)和帶參數(shù)的神經(jīng)模型等［2～8］。本文選用非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，具體就是非線性朗之萬方程（Langevin Equation，LE）。

絕熱近似條件要求信號具有小參數(shù)特性，尤其是周期信號頻率f，由于系統(tǒng)對周期信號頻率的適應(yīng)性直接決定了采用隨機共振方法檢測微弱周期信號的有效性，如果隨機共振僅對極小頻率信號有效，則顯然不能適應(yīng)各頻率段信號檢測需求。針對這一問題，冷永剛等人提出了二次采樣隨機共振［9～12］，本文重點研究與二次采樣隨機共振效果相關(guān)的重要參數(shù)采樣頻率和二次采樣頻率對系統(tǒng)輸出效果的影響。

2 二次采樣隨機共振

本文用于研究隨機共振的數(shù)學模型是非線性朗之萬方程，其數(shù)學表達式如下：式中，a和b為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，Γ（t）為強度為D的高斯白噪聲，cos（ωt）為輸入信號中的周期成分。

由絕熱近似理論可知，在發(fā)生隨機共振時，要求周期信號頻率f等于克萊默斯躍遷率（Kramers Rate，KR）rK的一半，即f應(yīng)滿足f＝rK／2，這一頻率匹配條件將周期信號頻率限制在0.1 Hz這一數(shù)量級，要想產(chǎn)生隨機共振，f必須小于這一數(shù)值，對于過大頻率信號，非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)將顯得無能為力。

冷永剛等人提出的二次采樣隨機共振方法的基本思想是將大頻率信號按照一定壓縮比對頻率尺度進行壓縮，將頻率壓縮后的信號輸入隨機共振系統(tǒng)中處理，最后再對輸出信號按照原頻率壓縮尺度進行頻率還原，從而達到檢測大頻率微弱周期信號的目的，其算法過程如圖1所示。

圖1 二次采樣隨機共振算法過程

該方法的具體操作步驟如下：對于一個大頻率信號，根據(jù)信號頻率f和采樣頻率fs確定一個二次采樣頻率fsr，頻率壓縮比例為：

按照二次采樣頻率fsr所確定的計算步長代入龍格-庫塔計算公式中計算，得出非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出，記凸顯出的頻率為f0，這一頻率是被壓縮了的，壓縮比例正是R，最后按照壓縮比例對信號頻率進行還原即可得出輸入信號中周期成分的頻率為：

該方法通過頻率壓縮，將大頻率信號當作小頻率信號進行處理，從理論上看是可以實現(xiàn)大頻率周期信號檢測的，具體效果通過仿真進行分析：采用4階龍格-庫塔算法，首先選取如下參數(shù)：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)取a＝1，b＝100，噪聲強度為D＝0.006，周期信號幅值為A＝0.01 V，頻率為f＝1 Hz，采樣頻率fs＝5 Hz，仿真得到系統(tǒng)輸入輸出時頻圖如圖2所示。

圖2 周期信號頻率f＝1 Hz時輸入輸出時頻域圖

該圖中X（t）為時間t所對應(yīng)幅值，X（f）為頻率f所對應(yīng)幅值，單位均為V。圖2（d）中右上角為f＝1 Hz處的放大圖，可以看出，在周期信號頻率f＝1 Hz處雖然存在一個譜值尖峰，但是這一譜值大小已經(jīng)低至10-3數(shù)量級，大約是輸入信號中周期成分幅值的1／10，說明在f＝1 Hz的頻率條件下，周期成分幅值不僅沒有得到增強反而衰減得十分厲害，想通過非線性雙位系統(tǒng)將周期成分凸顯出來已經(jīng)十分困難，可以認為此時系統(tǒng)沒有發(fā)生隨機共振現(xiàn)象，用它來檢測微弱周期信號已經(jīng)無能為力。

下面采用二次采樣方法，對于圖2中的仿真參數(shù)，取采樣頻率為fs＝500 Hz并保持其它參數(shù)不變，二次采樣頻率取為fsr＝5 Hz，由上面的推導可知，頻率壓縮比為R＝fs／fsr＝100，那么在未進行頻率尺度還原時雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出應(yīng)在f0＝f／R＝0.01 Hz處有一個頻率凸起，此時的仿真效果如圖3所示。

圖3 頻率還原前二次采樣隨機共振系統(tǒng)輸入輸出時頻域圖

圖3中，（a）和（b）分別為輸入信號時頻域圖，（c）和（d）分別為頻率還原前二次采樣隨機共振系統(tǒng)輸出時頻域圖。從圖3（d）中可以明顯看出，頻率f0＝0.01 Hz處有一個凸出的譜峰，該頻率處的周期信號得到很好的放大，根據(jù)頻率壓縮比可以算出，這一凸出譜峰所對應(yīng)原周期信號頻率為f＝R·f0＝1 Hz，正是輸入信號中周期信號的頻率。

相比于圖2中的檢測效果，經(jīng)過二次采樣后系統(tǒng)輸出有明顯改善，成功將f＝1 Hz處的信號檢測了出來，這說明，二次采樣能夠較為有效地解決因頻率增大而引起的系統(tǒng)輸出效果變差問題。

3 采樣頻率及二次采樣頻率對系統(tǒng)輸出的影響

二次采樣隨機共振中，涉及到采樣頻率fs和二次采樣頻率fsr。這兩個參數(shù)的選取直接決定了頻率尺度的壓縮比R，這就決定了是否能將大頻率周期信號的頻率壓縮至能有效發(fā)生隨機共振的頻段內(nèi)。因此，這兩個參數(shù)的選取對二次采樣隨機共振效果有著很大影響，下面研究這兩個參數(shù)選取與系統(tǒng)輸出效果之間的關(guān)系。

首先考慮二次采樣頻率fsr對系統(tǒng)輸出效果的影響。下面的仿真中，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)取a＝1，b＝100，噪聲強度為D＝0.006，周期信號幅值為A＝0.01 V，頻率為f＝50 Hz，采樣頻率fs＝2 500 Hz，圖4（a）中取二次采樣頻率fsr＝2.5 Hz，圖4（b）中取二次采樣頻率fsr＝5 Hz，仿真結(jié)果如圖4所示。

對比圖4（a）和圖4（b）可看出，在僅增大二次采樣頻率后，圖4（b）中f＝50 Hz處雖有一個凸出頻譜，但其譜值大小已低于低頻區(qū)段的譜值，而無法判斷這一頻率是否就是周期信號頻率，也無法準確檢測出輸入信號中的周期成分，即二次采樣頻率由2.5 Hz增大為5 Hz后，系統(tǒng)輸出性能變差。

從以上輸出效果變化可以看出，二次采樣頻率對系統(tǒng)輸出性能有著很大影響，在其他參數(shù)保持不變的情況下，隨著二次采樣頻率升高，系統(tǒng)輸出性能變差，過高的二次采樣頻率會使得周期成分無法在輸出信號中凸顯出來，進而使得二次采樣隨機共振方法在大頻率微弱周期信號的檢測中失效。

其中除了周期信號頻率處譜值的變化外，還能看到噪聲分布形式的顯著變化，從表觀上說，隨著二次采樣頻率升高，系統(tǒng)輸出信號中噪聲的洛倫茲分布形式變得越來越“陡峭”，這實際上說明隨著二次采樣頻率升高，能量正朝著低頻區(qū)域集中，二次采樣頻率越高，低頻區(qū)域能量越大，譜值越高，這就使得周期信號頻率處譜峰更加難以超越低頻處譜值而凸顯出來，從而更加難以判斷出周期成分的存在。

圖4 二次采樣頻率變化時雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入輸出時頻域圖

接下來考察采樣頻率fs對系統(tǒng)輸出的影響，在圖4（a）的參數(shù)條件下，降低采樣頻率至fs＝2 000 Hz，保持其它參數(shù)不變，此時系統(tǒng)輸出效果如圖5（a）所示。從圖中可以看到，周期信號頻率f＝50 Hz處有一個凸出的譜峰，但此處的譜值已經(jīng)不是全局最高點了，將該圖與圖4（a）相比可以看出，采樣頻率降低后，輸出信號中噪聲分布形式基本沒變，但周期信號頻率處譜值降低了，這使得周期信號頻率處的譜值不能像圖4（a）那樣清晰地凸顯出來，這對判斷這一頻率是否為周期成分造成了困難，可以認為，采樣頻率由2 500 Hz變?yōu)? 000 Hz后，系統(tǒng)對微弱周期成分的檢測效果變差了。

繼續(xù)降低采樣頻率，保持其它參數(shù)不變，當fs＝1 000 Hz時系統(tǒng)輸出效果如圖5（b）所示。與圖5（a）相比，圖5（b）中周期信號頻率處譜峰變得更低，同時，噪聲分布形式基本沒有發(fā)生變化，從圖5（b）中也更難判斷出周期信號成分的存在。

圖5 采樣頻率變化時雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入輸出時頻域圖

從圖4（a）到圖5（a）再到圖5（b）的變化可以看出，隨著采樣頻率fs的降低，噪聲分布形式基本保持不變，但系統(tǒng)輸出信號中周期信號頻率所在處的譜值卻逐漸變小，這對于辨別周期成分的存在不利，即隨著采樣頻率fs降低，系統(tǒng)輸出性能下降，亦即對微弱信號的檢測能力變差。

4 結(jié)果分析

上面主要研究了與二次采樣密切相關(guān)的兩個參數(shù)——采樣頻率和二次采樣頻率對系統(tǒng)輸出性能的影響，總結(jié)起來，二次采樣頻率升高會導致輸出信號中能量朝著低頻區(qū)域集中，使得噪聲分布形式變得更加“陡峭”，同時也會使得周期信號頻率處的譜值變小，這兩個變化的綜合效應(yīng)使得周期信號更加難以辨認，系統(tǒng)輸出性能下降；采樣頻率降低雖然對噪聲分布形式?jīng)]有產(chǎn)生影響，但它使得周期信號頻率處譜值變小，這同樣也使周期信號難以辨認，對微弱周期信號的檢測產(chǎn)生消極影響。

從式（2）中可以看到，頻率壓縮比R是與采樣頻率和二次采樣頻率密切相關(guān)的一個參數(shù)，即R＝fs／fsr，事實上，不論是二次采樣頻率fsr升高還是采樣頻率fs降低，最終都會使得頻率壓縮比R減小，而從式（3）中可以知道，輸入信號中周期成分頻率f與二次采樣后周期信號頻率f0之間存在關(guān)系f0＝f／R，因此頻率壓縮比R的減小會直接導致二次采樣后周期信號頻率f0升高，從而導致這一頻率距離易發(fā)生隨機共振的低頻區(qū)域較遠，系統(tǒng)輸出中周期信號頻率處譜值自然會變小。

至于二次采樣頻率升高會導致輸出信號中能量朝著低頻區(qū)域集中，使得噪聲分布形式變得更加“陡峭”，這是由算法特點決定的，二次采樣頻率直接決定了龍格-庫塔算法中的計算步長，計算步長越短，會使得輸出信號中噪聲能量越向低頻區(qū)域集中。

通過以上分析，得出二次采樣頻率fsr和采樣頻率fs變化分別對系統(tǒng)輸出所產(chǎn)生的影響，二者改變對系統(tǒng)輸出中噪聲分布形式和周期信號頻率處譜值大小變化有顯著作用，直接影響系統(tǒng)檢測微弱周期信號的效果。由絕熱近似理論可知，傳統(tǒng)的隨機共振方法僅對于滿足頻率f＜0.1 Hz的周期信號具有較好的檢測效果，根據(jù)這一結(jié)論，在進行二次采樣隨機共振時，應(yīng)考慮將經(jīng)過二次采樣后的信號頻率f0控制在0.01～0.05Hz這一易發(fā)生隨機共振的區(qū)域以保證系統(tǒng)輸出的效果，這可以通過同時調(diào)整二次采樣頻率和采樣頻率以控制頻率壓縮比R的大小來實現(xiàn)。在確保了二次采樣后信號頻率f0處在合適的頻段后，還應(yīng)考慮使輸出信號中噪聲分布形式不過于“陡峭”，這樣更有利于周期成分凸現(xiàn)出來，通過前面的仿真可知，這可以通過適當降低二次采樣頻率fsr來實現(xiàn)（不可過低，仿真表明，在圖4（a）的參數(shù)條件下，當把二次采樣頻率降低到1.7 Hz以下后程序會出現(xiàn)溢出）。在進行信號檢測時，通過選擇合適的二次采樣頻率和采樣頻率，可以得到一個最優(yōu)的系統(tǒng)輸出，使得周期信號更好地凸顯出來。

5 結(jié) 論

本文著重對二次采樣隨機共振中所涉及到的重要參數(shù)采樣頻率和二次采樣頻率作了分析，結(jié)合理論推導與仿真，得出了這兩個參數(shù)對系統(tǒng)輸出效果的具體影響，同時分析了造成這些影響的原因，為更好地運用二次采樣隨機共振檢測微弱周期信號提供了一定的參考依據(jù)。

］

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The Research of Related Parameters in Tw ice Sam pling Stochastic Resonance Used in Week Signal Detection

ZHENG Tang， LIShi-ping， CHENG Shuang-jiang， WU Xiao-min
（The Second Artillery Engineering University，Xi’an，Shaanxi710025，China）

Two important parameters，the sample frequency and twice sample frequency，is analyzed.The effects of these two parameters on the output of system is concluded based on the theoretical analysis and simulation.At the same time，the cause of these effects are analyzed and then put forward a method of how to select these two parameters.It provides a basis for a better use of twice sampling stochastic resonance in weak signal periodic detection.

Metrology；Weak signal detection；Twice sampling stochastic resonance；Sample frequency；Twice sample frequency

TB973

：A

：1000-1158（2015）03-0313-05

10.3969／j.issn.1000-1158.2015.03.19

2013-08-08；

：2014-03-26

鄭堂（1989-），男，湖北京山人，第二炮兵工程大學碩士研究生，主要從事微弱信號檢測的研究。1054208386＠qq.com