（天津科技大學理學院，天津 300457）

（天津科技大學理學院，天津 300457）

針對可預測生物和物理性質(zhì)的圖的不變量——離心率距離和，采用Tutte-Berge公式及圖的轉(zhuǎn)化方法，給出了圖的給定匹配數(shù)的離心率距離和的緊下界，且完全確定了其極值圖.

離心率距離和；匹配數(shù)；極值圖

Wiener指標定義為對所有無序頂點對之間距離的求和［1］：

它被認為是與分子化合物的許多物理和化學指標高度相關的最有用的拓撲指標之一.

1997年，Sharma等［2］引進了 1個基于距離的分子結(jié)構(gòu)描述量，被稱為離心率連通性指標（ECI），定義為ξc（G）指標被成功應用在不同性質(zhì)的生物活性的數(shù)學模型上［2］.

2002年，Gupta等［3］提出了1個新奇的預測生物和物理性質(zhì)的圖的不變量——離心率距離和.他們證明了對一些構(gòu)造活動和定量結(jié)構(gòu)性質(zhì)的研究，使用離心率距離和所得的值比使用 Wiener指標要好.離心率距離和（EDS）定義為

如果圖的1個連通分支含有偶（或奇）數(shù)個頂點，那么稱這個連通分支是偶（或奇）的.令G是1個有n個頂點的圖，且 o（G）表示G中奇分支的個數(shù).由Tutte-Berge公式［4］，有

圖G和H的頂點不交的并，記作G H∪ .令G H∨ 表示在G H∪ 中通過從G中的頂點向H中的頂點連接所有可能的邊而所得的圖，即

因為在圖中添加新邊會降低一些距離，所以有：

Feng等［5］研究了在階為n且匹配數(shù)是β的所有圖中有最大譜半徑的極值圖.Zhou等［6］確定了連通圖的與頂點數(shù)及匹配數(shù)相關的最小 Kirchhoff指標.2010年，F(xiàn)eng等［7］給出了圖的給定匹配數(shù)的Zagreb指標、Harary指標和超 Wiener指標的緊上（下）界，且確定了它們的極值圖.2011年，Yu等［8］研究了給定圍長的單圈圖的離心率距離和，且刻畫了最小和次最小離心率距離和的極值圖.此外，他們還刻畫了給定直徑的一類樹的最小和次最小離心率距離和的極值樹.但是，對于圖的給定匹配數(shù)的離心率距離和的極值圖研究目前還沒有結(jié)果.

本文解決了這個問題，給出了給定匹配數(shù)的離心率距離和的緊上界，且完全確定了其極值圖.對離心率距離和的進一步研究具有一定的理論意義.文中未加述及的術(shù)語和符號參見文獻［9］.

證明：令 G0是所有階為n且匹配數(shù)為β的連通圖中離心率距離和最小的圖.由式（1）的 Tutte-Berge公式，存在頂點集 X0? V（G0）使得為 方 便 起見，令X0=s且 o（G0- X0）=t，則n - 2β=t-s .

以下假設 s≥1，從而 t≥1.令 G1，G2，… ，Gt是G0- X0的所有奇分支.若 G0- X0有一個偶分支，則在 G0中通過添加一條連接 G0- X0的偶分支的一個頂點和奇分支的一個頂點的邊，得到一個圖，滿足n -2β）≥o-X0）- X0= o（G0-X0）-X0.從而有β）= β，且由引理 1，G?的離心率距離和比 G0小，矛盾.因此，G0- X0不含有任何偶分支.類似地，G1，G2，… ，Gt及由 X0導出的子圖都是完全圖，且G1，G2，… ，Gt中的任一頂點鄰接于 X0的每一個頂點.令ni= V（Gi），i = 1，2，… ，t ，則

注意到，0G的直徑是2，從而

從而

因此，式（2）可改寫為

由于 β≥2，有 g（1）- g（β）=1-5 n - 10β2+9β + 5nβ .令b是二次方程 - 10β2+ （5 n + 9）β +1-5 n=0的一個較大的根，則

因此，若 β≤ b，則 g （1）≤ g（β）；而當 β≥ b，則g （β）≤ g（1）.證畢.

［1］ Wiener H. Structural determination of paraffin boiling point［J］. Journal of the American Chemical Society，1947，69（1）：17-20.

［2］ Sharma V，Goswami R，Madan A K. Eccentric connectivity index：A novel highly discriminating topological descriptor for structure property and structure activity studies［J］. Journal of Chemical Information and Computer Science，1997，37（2）：273-282.

［3］ Gupta S，Singh M，Madan A K. Eccentric distance sum：A novel graph invariant for predicting biological and physical properties［J］. Journal of Mathmatical Analysis and Applications，2002，275（1）：386-401.

［4］ Lovász L，Plummer M D. Matching Theory［M］. Budapest：Akadémiai Kiadó，1986.

［5］ Feng L H，Yu G H，Zhang X D. Spectral radius of graphs with given matching number［J］. Linear Algebra and its Applications，2007，422（1）：133-138.

［6］ Zhou B，Trinajstic N. The Kirchhoff index and the matching number［J］. International Journal of Quantum Chemistry，2009，109（13）：2978-2981.

［7］ Feng L H，Ilic A. Zagreb，Harary and hyper-Wiener indices of graphs with given matching number［J］. Applied Mathematics Letters，2010，23（8）：943-948.

［8］ Yu G H，F(xiàn)eng L H，Ilic A. On the eccentric distance sum of trees and unicyclic graphs［J］. Journal of Mathmatical Analysis and Applications，2011，375（1）：99-107.

［9］ Bondy J A，Murty U S R. Graph Theory with Applications［M］. London：Macmillan Press Ltd，1976.

圖的給定匹配數(shù)的離心率距離和

安明強，孫明晶，劉寅立，孟祥波

Eccentric Distance Sum of Graphs with a Given Matching Number

AN Mingqiang，SUN Mingjing，LIU Yinli，MENG Xiangbo
（College of Science，Tianjin University of Science & Technology，Tianjin 300457，China）

Aimed at a novel graph invariant for predicting biological and physical properties named eccentric distance sum，by using the Tutte-Berge formula and the method of graph transformation，sharp lower bound for the eccentric distance sum of graphs with a given matching number，and the extremal graphs were successully determined.

eccentric distance sum；matching number；extremal graphs

O157.5 文獻標志碼：A 文章編號：1672-6510（2015）02-0075-03

10.13364/j.issn.1672-6510.20140072

2014-05-12；

2014-08-29

國家自然科學基金資助項目（11001197）

安明強（1982—），男，甘肅天水人，講師，anmq@tust.edu.cn.

常濤

【科研成果簡介】