張四保

（喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆喀什 844008）

有關(guān)7m＋j型奇正整數(shù)不是完全數(shù)的一些命題

張四保

（喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆喀什 844008）

完全數(shù)；奇完全數(shù)；命題

0 引言

雖未解決是否存在奇完全數(shù)的問(wèn)題，但有關(guān)奇完全數(shù)存在熱點(diǎn)問(wèn)題：一，奇完全數(shù)的大小估計(jì)，其研究成果參考文獻(xiàn)［3－5］；二，奇完全數(shù)相異素因子大小估計(jì)與個(gè)數(shù)估計(jì)，其研究成果參考文獻(xiàn)［6－10］；三，特殊類型奇數(shù)是否是完全數(shù)問(wèn)題，其研究成果參考文獻(xiàn)［11－14］.

1 主要結(jié)論

（1）當(dāng)π≡3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2，4（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），則n不是完全數(shù).

當(dāng)π≡1（mod 7）時(shí)，顯然有πα≡1（mod 7）.

當(dāng)π≡2（mod 7）時(shí)，有πα≡24k＋1（mod 7）.當(dāng)k≡0（mod 3），則πα≡2（mod 7）；當(dāng)k≡1（mod 3），則πα≡4（mod 7）；當(dāng)k≡2（mod 3），則πα≡1（mod 7）.

當(dāng)π≡3（mod 7）時(shí)，有πα≡34k＋1（mod 7）.當(dāng)k≡0（mod 3），則πα≡3（mod 7）；當(dāng)k≡1（mod 3），則πα≡5（mod 7）；當(dāng)k≡2（mod 3），則πα≡6（mod 7）.

當(dāng)π≡4（mod 7）時(shí)，有πα≡44k＋1（mod 7）.當(dāng)k≡0（mod 3），則πα≡4（mod 7）；當(dāng)k≡1（mod 3），則πα≡2（mod 7）；當(dāng)k≡2（mod 3），則πα≡1（mod 7）.

當(dāng)π≡5（mod 7）時(shí)，有πα≡54k＋1（mod 7）.當(dāng)k≡0（mod 3），則πα≡5（mod 7）；當(dāng)k≡1（mod 3），則πα≡3（mod 7）；當(dāng)k≡2（mod 3），則πα≡6（mod 7）.

當(dāng)π≡6（mod 7）時(shí)，有πα≡64k＋1≡6（mod 7）.

（1）當(dāng)π≡3（mod 7）時(shí)，有πα≡3，5，6（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾；當(dāng)π≡5（mod 7）時(shí)，有πα≡3，5，6（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾；當(dāng)π≡6（mod 7）時(shí)，有πα≡6（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

（2）π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡0（mod 3）時(shí)，有πα≡2（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡1（mod 3），則πα≡4（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡0（mod 3）時(shí)，有πα≡4（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡1（mod 3），則πα≡2（mod 7），這與πα≡1（mod 7）矛盾，因而此時(shí)n不是完全數(shù).

證畢.

（1）當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），則n不是完全數(shù).

（1）當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），則n不是完全數(shù).

由命題1至命題3，可得到推論1.

（1）當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），

則n不是完全數(shù).

由命題1的討論可知，當(dāng)π≡1（mod 7）時(shí)，有πα≡1（mod 7）；當(dāng)π≡3（mod 7）時(shí)，有πα≡3，5，6（mod 7）；當(dāng)π≡5（mod 7）時(shí)，有πα≡3，5，6（mod 7）；當(dāng)π≡6（mod 7）時(shí)，有πα≡6（mod 7）.由此可知，當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）時(shí)，πα取模7的情況與πα≡2（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡1（mod 3）時(shí)，有πα≡4（mod 7），這與πα≡2（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3），有πα≡1（mod 7），這與πα≡2（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡0（mod 3）時(shí)，有πα≡4（mod 7），這與πα≡2（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3），有πα≡1（mod 7），這與πα≡2（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

證畢.

（1）當(dāng)π≡3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2，4（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），

則n不是完全數(shù).

（1）當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），

則n不是完全數(shù).

由命題4至命題6，可得到推論2.

（1）當(dāng)π≡1，2，4，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），

則n不是完全數(shù).

由命題1的討論可知，當(dāng)π≡1（mod 7）時(shí)，有πα≡1（mod 7）；當(dāng)π≡2（mod 7）時(shí)，有πα≡1，2，4（mod 7）；當(dāng)π≡4（mod 7）時(shí)，有πα≡1，2，4（mod 7）；當(dāng)π≡6（mod 7）時(shí)，有πα≡6（mod 7）.由此可知，當(dāng)π≡1，2，4，6（mod 7）時(shí)，πα取模7的情況與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡1（mod 3）時(shí)，有πα≡5（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3），有πα≡6（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡0（mod 3）時(shí)，有πα≡5（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3），有πα≡6（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

證畢.

（1）當(dāng)π≡1，2，4，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），

則n不是完全數(shù).

（1）當(dāng)π≡1，2，4（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡3，5（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），

則n不是完全數(shù).

由命題7至命題9，可得到推論3.

（1）當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），

則n不是完全數(shù).

由命題1的討論可知，當(dāng)π≡1（mod 7）時(shí)，有πα≡1（mod 7）；當(dāng)π≡3（mod 7）時(shí)，有πα≡3，5，6（mod 7）；當(dāng)π≡5（mod 7）時(shí)，有πα≡3，5，6（mod 7）；當(dāng)π≡6（mod 7）時(shí)，有πα≡6（mod 7）.由此可知，當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）時(shí)，πα取模7的情況與πα≡4（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡0（mod 3）時(shí)，有πα≡2（mod 7），這與πα≡4（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3）時(shí)，有πα≡1（mod 7），這與πα≡4（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡1（mod 3）時(shí)，有πα≡2（mod 7），這與πα≡4（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3）時(shí)，有πα≡1（mod 7），這與πα≡4（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

證畢.

（1）當(dāng)π≡1，3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡4（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），

則n不是完全數(shù).

（1）當(dāng)π≡3，5，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡2，4（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），

則n不是完全數(shù).

由命題10至命題12，可得到推論4.

（1）當(dāng)π≡1，2，4，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3），

則n不是完全數(shù).

，若下列任一條件成立：

（1）當(dāng)π≡1，2，4（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡3，5（mod 7）且α＝4k＋1，k2（mod 3），

則n不是完全數(shù).

（1）當(dāng)π≡1，2，4，6（mod 7）；

（2）當(dāng)π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，k0（mod 3）；

（3）當(dāng)π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，k1（mod 3），則n不是完全數(shù).

由命題1的討論可知，當(dāng)π≡1（mod 7）時(shí)，有πα≡1（mod 7）；當(dāng)π≡2，4（mod 7）時(shí)，有πα≡1，2，4（mod 7）；當(dāng)π≡6（mod 7）時(shí)，有πα≡6（mod 7）.由此可知，當(dāng)π≡1，2，4，6（mod 7）時(shí)，πα取模7的情況與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡3（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡1（mod 3）時(shí)，有πα≡5（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3）時(shí)，有πα≡6（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

π≡5（mod 7）且α＝4k＋1，當(dāng)k≡0（mod 3）時(shí)，有πα≡5（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾；當(dāng)k≡2（mod 3）時(shí)，有πα≡6（mod 7），這與πα≡3（mod 7）矛盾，因而n不是完全數(shù).

證畢.

由命題13至命題15，可得到推論5.

2 結(jié)束語(yǔ)

（References）：

［1］ 蓋伊R K.數(shù)論中未解決的問(wèn)題［M］.張明堯，譯，北京：科學(xué)出版社，2006：59.

Guy R K.Unsolved problems in number theory［M］.Zhang Mingyao，trans，Beijing：Science Press，2006：59.

［2］ Dickson L E.History of theory of number［M］.Washington：Carnegie Institution of Washington，1919.

［3］ Brent R P，Cohen G L，Riele H J J.Improved techniques for lower bounds for odd perfect numbers［J］.Math Comp，1991，57（196）：857－868.

［4］ Karl K N.Remarks on the number of factors of an odd perfect number［J］.Acta Arith，1961（6）：365－374.

［5］ Slowak J.Odd perfect numbers［J］.Math Slovaca，1999，49（3）：253－254.

［6］ Pomerance C.Odd perfect numbers are divisible by at least seven distinct primes［J］.Acta.Arith，1974（25）：265－300.

［7］ Chein E Z.An odd perfect number has a least 8prime factors［J］.Notices Math Soc，1979（26）：365.

［8］ Hagis P，Cohen G L.Every odd perfect number has a prime factor which exceeds 106［J］.Math Comp，1998（67）：1323－1330.

［9］ Goto T，Ohno Y.Odd perfect numbers have a prime factor exceeding108［J］.Math Comp，2008（77）：1859－1868.

［10］ 張四保，鄧勇.Numbersω（n）of distinct primes factors for a kind of odd perfect number［J］.中國(guó)科學(xué)院研究生學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，28（4）：548－550.

Zhang Sibao，Deng Yong.Numbersω（n）of distinct primes factors for a kind of odd perfect number［J］.Journal of Graduate University of Chinese Academy of Sciences，2011，28（4）：548－550.

［11］ McDaniel W L.The non－existence of odd perfect of a certain form［J］.Arch Math，1970（21）：52－53.

［12］ Mcdaniel W L，Hagis P.Some results concerning nonexistence of odd perfect numbers of the formpαm2β［J］.The J Fibonnacci Quart，1975，13（1）：25－28.

［13］ Iannucci D E，Sorli R M.On the total number of prime factors of an odd perfect number［J］.Math Comp，2003（72）：2078－2084.

［14］ 朱玉揚(yáng).奇完全數(shù)的幾個(gè)命題［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2011，40（5）：595－598.

Zhu Yuyang.Several results on odd perfect numbers［J］.Advances in mathematics，2011，40（5）：595－598.

［15］ 張四保.7 m－1形的奇正整數(shù)n不是完全數(shù)的條件［J］.黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，31（4）：480－483.

Zhang Sibao.Conditions on the positive odd numbers of the form 7 m－1are not perfect number［J］.Journal of Heilongjiang Univer－sity：Natural Science Edition，2014，31（4）：480－483.

DOI 10.3969／j.issn.2095－4107.2015.01.016

O156

A

2095－4107（2015）01－0118－05

2014－10－03；編輯：關(guān)開澄

喀什師范學(xué)院校內(nèi)一般課題（（14）2513）

張四保（1978－），男，碩士，副教授，主要從事數(shù)論方面的研究.

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