張 珂

(安徽廣播電視大學 城建學院，安徽 合肥 230001)

0 引 言

湍流又稱紊流，是普遍存在于自然界中的一種隨流速不同而變化多端的流動現(xiàn)象，同時這種流動狀態(tài)也給工程技術帶來了很多困擾.目前，許多相關領域的學者在研究分析湍流的性質和運動規(guī)律，以尋求解決現(xiàn)實工程中遇到的湍流問題的方法.研究發(fā)現(xiàn)，近壁面處湍流的能量占據(jù)了總湍流的大部分，對整個湍流的發(fā)生和維持起重大的作用，因而對近壁面湍流的研究至關重要.一般認為，標度律［1］(也叫尺度律)是在全尺度空間和時間中，利用統(tǒng)計相似性的原理，對所有尺度的湍流脈動量進行相似性統(tǒng)計.由于各項同性湍流的特殊性，它的標度律被分析得最為詳盡.其中線性標度律(K41 標度律)是較早被研究提出的一種的標度律，它是由Kolmogorov［2］在1941年根據(jù)局部各向同性假設而獲得的;奇異標度律［3］是由Kolmogorov 對線性標度律進行修正研究獲得的;ESS 標度律是Benzi 等［4－5］在1993年通過對圓柱尾流、自由射流進行測量后研究發(fā)現(xiàn)的;SL 標度律是我國著名學者佘振蘇和他的學生Leveque 在1994年共同提出的，這種標度律是基于層次結構模型［6－7］(一種刻畫湍流脈動結構的新的模型)得到的;1999年，Benzi 等［8］以各種標度律理論研究為基礎，對位于湍流邊界層的不同壁面位置的速度結構函數(shù)進行統(tǒng)計分析，提出一個假設并得到一種新的p 階結構函數(shù)與二階結構函數(shù)及耗散率的新形式標度律;2002年，Jacob［9］利用熱線實驗(HWA)對新形式標度律進行了實驗驗證，并分別用三階結構函數(shù)和二階結構函數(shù)代替奇異標度律中的r，使p 階結構函數(shù)變得更為簡單，從而得到了2 種形式標度律的另一種表現(xiàn)形式，并對其進行了實驗驗證.

1 SL 標度律與相關參數(shù)介紹

SL 標度律的層次結構模型［6－7］認為:尺度、相干度和幅度皆不相同的層次結構構成了湍流，最強間歇結構(即最大振幅和最強相干度的結構)不間斷的分布在從積分尺度到耗散尺度的每個尺度上，幅度很小的結構根據(jù)特定的層次對稱關系和最強間歇結構聯(lián)系起來，層次模型就是如此的連接著多尺度和脈動結構.

通過對相關結構量進行無量綱分析，再由層次結構理論的基本假設作為基礎，結合奇異標度律，進而得出層次結構模型SL 標度律標度指數(shù)的公式，

式中，γ 代表速度結構函數(shù)最奇異標度指數(shù)，也就是最高激發(fā)態(tài)的標度指數(shù);β 代表間歇參數(shù);λ =3γ－1代表能量耗散率的最奇異標度指數(shù)，也就是最強能量耗散率的標度指數(shù).當湍流處于均勻各向同性時，速度結構函數(shù)的標度指數(shù)公式可以寫成，

對SL 標度律而言，當假設湍流是各項同性時，SL 標度律中的γ、β 及C 均為常數(shù)，而實際的湍流邊界層的變化是十分復雜的，不能將γ、β 及C當作常量處理.對此，本研究利用實驗數(shù)據(jù)對SL 標度律的參數(shù)γ、β 進行擬合分析.

2 實驗設備與相關參數(shù)

本研究在對實驗段相關數(shù)據(jù)的測量時運用PIV系統(tǒng)來實現(xiàn)的.PIV 系統(tǒng)［10］是一種較為先進的流動測量技術，現(xiàn)已廣泛地應用在流體力學測量中.實際的實驗裝備由PIV 系統(tǒng)和實驗水槽構成，其中，CCD相機、激光器、同步器、幀采集器以及計算機組成了PIV 系統(tǒng).

圖1 是實驗水槽和試驗段的示意圖.實驗水槽的長度為1 300 mm，寬度為142 mm，實驗時水槽中水的深度為90 mm.為了達到較好的實驗目的，5 cm長的方格蜂窩器被安裝在實驗段的上游的收縮段之前，實驗段的下游安裝驅動水泵，整個實驗段的上部未密封，來流的湍流度被降低了.同時實驗段的水面是自由表面，沒有壓力梯度，滿足實驗要求.在實驗中所用示蹤粒子為直徑12 μm 的空心玻璃球，它的跟隨性較好，能夠滿足實驗的要求.

圖1 實驗水槽及實驗段示意圖

實驗在二維平面(圖1 中的xy 平面)內進行的，x 方向為平行于平板并沿著平均流動的方向，y 方向為垂直平板的方向.實驗時，水槽的自由流速度為0.35 m/s，摩擦速度u*=0.014587 m/s，動量厚度θ=0.007697 m，Reθ是以動量損失厚度和主流速度表示的雷諾數(shù)，Reθ=2 694.質詢窗大小為16 ×16像素，在400 μs 的脈沖間隔下，能夠識別的最大速度為0.41 m/s，圖像場(即采集域)大小為1 472像素×1 088像素，處理得到的速度矢量場大小同為92×68(即x 方向92 個矢量，y 方向68 個矢量)，每個矢量對應一個質詢窗，采樣頻率為每秒鐘15 幅圖，對應7.5 幅矢量圖，采集的速度矢量樣本為2 500幅.

圖2 是實驗所得的平均速度曲線與Spalding 剖面的對比圖.可明顯看出，圖中兩條曲線比較吻合，說明當?shù)氐倪吔鐚铀俣确植寂c充分發(fā)展的湍流邊界層速度分布在近壁面區(qū)非常相似，可以認為實驗段的湍流邊界層已經達到充分發(fā)展，符合實驗條件.

圖2 Reθ =2 694 時的邊界層平均速度剖面與Spalding 剖面比較

3 結果與分析

本研究利用ESS 標度律、廣義ESS 標度律和新形式標度律3 種標度律［11］，對SL 標度律相關參數(shù)進行擬合.這3 種形式的標度指數(shù)的表達式為:

1)ESS 標度指數(shù).

2)廣義ESS 標度律的標度指數(shù).

3)新形式標度律標度指數(shù).

式中，Sp是脈動量的結構函數(shù)，Sp(r)=〈| u(x + r)－ u(x)|p〉=〈|u(r)|p〉，〈〉是系綜平均.

4)利用文獻［12］的湍流耗散率公式，

和湍流的能量耗散率公式，

代入式(3)、(4)、(5)中對3 種形式的標度指數(shù)進行SL 標度律擬合研究，3 種形式標度指數(shù)的擬合公式為，

根據(jù)計算要求小波特性，對大量的速度數(shù)據(jù)采用小波分析的方法對結構進行提取和分析，然后用傳統(tǒng)的統(tǒng)計學方法進行統(tǒng)計計算，其中小波分析應用的是雙正交小波Symlet 小波，它是Matlab 包中的一種，具有很好的緊致性、正交性和對稱性，能夠滿足計算的要求.

為了簡便起見，將圖3 和圖4 中的圖形進行以下說明，橫軸代表y+，范圍是0 ～120，縱軸分別代表β 和γ，圓圈代表由公式(6)的擬合結果，即β1和γ1，菱形代表公式(7)的擬合結果，即，β2和γ2，三角形代表公式(8)的擬合結果，即β3和γ3.

3.1 SL 標度律中間歇參數(shù)的變化情況

圖3 給出了由流向脈動速度計算出的3 種標度指數(shù)擬合的間歇參數(shù)在不同尺度上隨壁面距離y+的變化曲線.圖3 顯示，在小尺度a = 2dx 時，β2和β3有緩慢下降的趨勢，但變化幅度不是很大，β1下降得較快.當在a = 4dx 時，β2和β3變化較為混亂，而β1相對β2和β3來講，變化并不是很大.在a = 8dx時，β3的變化不是很穩(wěn)定，β2在黏性底層時變化不大，在對數(shù)律層，y+在大約40 ～60 之間時，β2基本不變，在y+大約是在70 ～112 之間時，β2變化也較小，只是在兩個區(qū)域內β2的數(shù)值相差較大.當a =16dx 時，β1大都在0.49 上下變化，β2除了少數(shù)點外，大多在0.13 上下震蕩，到了y+= 80 后有上升的趨勢;而β3在過渡層內變化不大，在對數(shù)律層內震蕩較大.當a = 32dx 時，β1、β2和β3相對前面的尺度來講，變化趨于穩(wěn)定.從整體上看，間歇參數(shù)隨著壁面距離的不同而變化，隨著尺度的增加，間歇參數(shù)也在逐漸地減小，但β1相對于β2和β3而言，它的變化較小.本研究認為原因在于計算β2和β3時融入了能量耗散率，而隨著尺度的差異，計算出的能量耗散率也不完全相同，湍流的很多局部特征被很好地顯現(xiàn)出來了.上述得到的結果和文獻［12］不盡相同.文獻［12］運用的是HWA 測量方法，在有限的法向位置上對間歇參數(shù)進行的擬合分析，得出的結論是間歇參數(shù)不隨壁面測點位置的變化而改變，在計算和擬合的過程中未說明具體的尺度參數(shù);而在本研究中，是對實驗段的整個測量范圍中的全部實驗數(shù)據(jù)進行分析.通過對不同位置和尺度的間歇參數(shù)的擬合研究可以看出，本研究結論與文獻［13］的結論有部分是一致的，差異之處在于，在本研究中，a = 32dx 的大尺度上，在y+的一些范圍內，由廣義ESS 標度指數(shù)和新形式標度指數(shù)擬合得到的間歇參數(shù)是穩(wěn)定的.從總體上看，隨著尺度由小到大，間歇參數(shù)則整體上出現(xiàn)由大到小的趨勢(個別點除外)，從層次相似性來講，大尺度的層次相似性要比小尺度的層次相似性弱.

圖3 不同尺度的間歇參數(shù)(β)隨y+ 的變化情況

3.2 SL 標度律中速度結構函數(shù)最奇異標度指數(shù)γ的變化情況

圖4 反映了最奇異標度指數(shù)γ 在不同的尺度上隨壁面距離變化的曲線.圖4 顯示，在a = 2dx 的較小尺度上，3 個最奇異標度指數(shù)γ1、γ2和γ3的變化曲線混雜在一起，較為混亂;隨著尺度的不斷增加，3個最奇異標度指數(shù)都在慢慢增大，并隨著壁面距離的變化逐漸趨于平緩.到了大尺度a = 32dx 時，γ2不隨y+的變化而變化，為一常數(shù)，而γ1和γ3也僅僅是在各自的2 個數(shù)值上變化，且2 個的數(shù)值差別都不是很大.在3 個最奇異標度指數(shù)中，變化最明顯的是γ2，在小尺度上，隨著壁面距離的變化，最奇異標度指數(shù)變化混亂，到了大尺度上，最奇異標度指數(shù)不隨壁面的距離變化而變化，為一常數(shù).因此，這一運算結果也從另一方面說明了湍動能的級串過程［15］，也就是說，在整個湍流中，大尺度脈動在較少地耗散能量的同時又在不斷地輸出能量，就像是一個特大的蓄能池，與此不同的是，小尺度湍流則消耗掉了大尺度運送過來的動能，就像一個專門消耗能源的機械，這就是湍流的級串過程.

圖4 不同的尺度時最奇異標度指數(shù)(γ)隨y+ 的變化情況

3.3 流動結構顯示

圖5 反映了流向脈動速度場的原始等值線圖，圖6 顯示了由小波分析重構后的不同尺度下流向脈動速度的等值線圖.圖5 是比較有代表性的湍流邊界層，沒有規(guī)律可循.利用小波分析重構原理，可將圖5 的數(shù)據(jù)處理后得到圖6.其規(guī)律呈現(xiàn):在小尺度下，由于湍動能的消耗與級串等原因，通過小波分析重構后的速度等值線圖仍然很雜亂，但由于尺度的變大，重構后的速度等值線圖越來越明顯，尤其是在大尺度a = 32dx 時，速度等值線圖有劇烈震蕩的位置和數(shù)值表現(xiàn)出明顯的規(guī)律，此種變化和最奇異標度指數(shù)的變化曲線相對應，即在小尺度上，最奇異標度指數(shù)的變化較為混亂，隨著尺度的增加，最奇異標度指數(shù)逐漸趨于穩(wěn)定，不隨壁面距離的變化而改變;受到最奇異標度指數(shù)及耗散率的作用，層次相似參數(shù)(間歇參數(shù))的規(guī)律性變化不明顯.圖6 的流動圖案和圖5 的擬合結果是相輔相成的，這也從另一個方面驗證了標度律計算的正確性，但SL 標度律的相關系數(shù)的確定還需進一步研究.

圖5 流向脈動速度場的原始等值線圖

圖6 小波分析重構后的流向脈動速度在不同尺度上的等值線圖

4 結 論

通過對上述間歇參數(shù)和最奇異標度指數(shù)的擬合研究可以看出:隨著尺度的不斷增加，間歇參數(shù)隨壁面距離的變化逐漸趨于穩(wěn)定，特別是由廣義ESS 標度指數(shù)和新形式標度指數(shù)擬合計算出的間歇參數(shù)在大尺度上只是在有限的幾個數(shù)值上變動，也就是說，在大尺度上，壁面距離對間歇參數(shù)的影響不大;而對于最奇異標度指數(shù)而言，隨著尺度的增加，3 個最奇異標度指數(shù)慢慢平穩(wěn)下來，最奇異標度指數(shù)的穩(wěn)定性和尺度的大小是一致的，也就是說，在大尺度上，最奇異標度指數(shù)與壁面位置無關.就整體而言，尺度越大，間歇參數(shù)反而越小，從相似性方面講，大尺度脈動的層次性比小尺度脈動的層次相似性小，最奇異標度指數(shù)則隨著尺度的增加逐漸增大，說明大尺度脈動結構具有較多的有序成分，空間分布上也更加不平均，此從另一個方面說明了大尺度結構的相干性比小尺度結構的相干性更顯著.最后，通過對不同尺度下脈動速度的小波分析和重構，并與擬合結果對比顯示了標度律運算的合理性，這為后續(xù)湍流邊界層標度律和相干結構的研究提供了實驗依據(jù)，也為進一步解決水庫滑坡，邊坡穩(wěn)定等工程問題提供了理論基礎.

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