梁禮明，吳武林，吳健

(江西理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，江西 贛州 341000)

滾動(dòng)軸承的峰值因子、峭度、脈沖因子等時(shí)域參數(shù)，頻域頻譜特征和能量等包含了豐富的軸承運(yùn)行狀態(tài)信息，因此可以提取這些參數(shù)作為故障診斷的高維特征[1]，但得到的高維特征空間中不可避免地存在一些與故障診斷不相關(guān)的特征和冗余特征，不利于故障診斷，因此需要提取高維特征空間中的低維特征。主成分分析(Principal Component Analysis，PCA)僅能有效地發(fā)現(xiàn)全局歐式結(jié)構(gòu)，因而無(wú)法發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)據(jù)中內(nèi)在的非線性流形結(jié)構(gòu)。為了發(fā)現(xiàn)位于軸承數(shù)據(jù)空間中的內(nèi)在流形結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[2]等利用流形學(xué)習(xí)的方法提取故障信息，取得了不錯(cuò)的效果。流形學(xué)習(xí)方法是以數(shù)據(jù)最近鄰域的個(gè)數(shù)和本質(zhì)維數(shù)或降維維數(shù)已知為前提，降維效果嚴(yán)重依賴于對(duì)這些參數(shù)的選擇，但目前流形學(xué)習(xí)中最近鄰域的個(gè)數(shù)和本質(zhì)維數(shù)如何確定是一個(gè)有待研究的問(wèn)題，而且它們是定義在訓(xùn)練樣本上的，還不能有效處理新測(cè)試樣本。

針對(duì)流形學(xué)習(xí)面臨的上述問(wèn)題，提出了基于低秩鑒別投影的軸承故障特征提取方法。低秩表示同時(shí)考慮到類間的差異性和類內(nèi)的同一性，因而能準(zhǔn)確描述數(shù)據(jù)的全局結(jié)構(gòu)，低秩鑒別投影算法擁有低秩表示的良好數(shù)據(jù)全局結(jié)構(gòu)表達(dá)能力和一定的判別結(jié)構(gòu)表達(dá)能力[3]，并且能夠得到顯示的投影矩陣，泛化能力強(qiáng)。

1 低秩鑒別投影

1.1 低秩表示的基本思想

假設(shè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本由X=[x1,x2,…,xn]構(gòu)成，低秩表示[3-5]的目的是尋求訓(xùn)練集中每一個(gè)獨(dú)立的數(shù)據(jù)向量作為所有數(shù)據(jù)向量的線性組合表示，考慮到實(shí)際數(shù)據(jù)采集過(guò)程中的噪聲干擾，低秩表示模型可以表示為

(1)

式中：W為系數(shù)矩陣;‖W‖*為矩陣W的核范數(shù)，即該矩陣奇異值之和；參數(shù)a>0；E2,1為噪聲矩陣的l2,1范數(shù)，用來(lái)描述噪聲的類型，在此用來(lái)模型化受大噪聲干擾的樣本。(1)式的最優(yōu)解可利用非精確增廣拉格朗日乘子法求解[6]。

1.2 低秩鑒別投影算法

低秩鑒別投影算法[7-8]的思想是：首先求出(1)式的最優(yōu)解W并將其分解為類內(nèi)表示、類間表示和噪聲3個(gè)部分；然后盡量使類間散度足夠大，類內(nèi)散度和噪聲散度足夠??；最后尋找一個(gè)投影矩陣，使數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)線性投影后的低秩結(jié)構(gòu)保持不變，且低維空間聚類效果更好。

(2)

假設(shè)經(jīng)過(guò)線性轉(zhuǎn)換后低秩結(jié)構(gòu)保持不變，則

y=PTx，

(3)

(4)

式中：P為投影矩陣。

在變換空間中，類內(nèi)散度可描述為

(5)

其中類內(nèi)散度矩陣為

(6)

類間散度可以描述為

(7)

其中類間散度矩陣為

同時(shí)，為了使數(shù)據(jù)更好的分布，希望投影后的噪聲越小越好，因此要使(4)式中PTei,j的范數(shù)最小化，即

(9)

X(I-W)(I-W)TXT。

(10)

則最優(yōu)投影的判別準(zhǔn)則為

(11)

式中：I為單位矩陣；r為組合參數(shù)，用于平衡類內(nèi)散度與噪聲散度。為了更容易地估計(jì)參數(shù)，簡(jiǎn)便計(jì)算，定義一個(gè)聯(lián)合矩陣，令

(12)

判別準(zhǔn)則轉(zhuǎn)化為

(13)

低秩鑒別投影算法步驟為：

1)給定c類數(shù)據(jù)集X，用非精確增廣拉格朗日乘子法計(jì)算最優(yōu)相似矩陣W。

2 基于低秩鑒別投影的故障特征提取方法

2.1 高維特征空間構(gòu)建

將上述時(shí)域特征和頻域特征組成N×D的故障診斷高維特征空間。每種軸承狀態(tài)數(shù)據(jù)抽取50 組樣本，則全體狀態(tài)樣本數(shù)N=200；高維特征數(shù)D=16。每種狀態(tài)下抽取25組樣本作為訓(xùn)練樣本D1，其余的作為測(cè)試樣本D2。

2.2 參數(shù)a和r的確定

2.3 稀疏表示分類器

信號(hào)的稀疏表示[9-10](Sparse Representation)是指將信號(hào)在特定的原子庫(kù)中進(jìn)行分解，如果原子庫(kù)中的原子與信號(hào)的主要成分相似，則僅需要少數(shù)原子的線性組合就能很好地逼近原始信號(hào)。

選取y中第i類別的訓(xùn)練樣本為Ai=[ai1,ai2,…,ain]∈Rm×n，則具有共同類別屬性的測(cè)試樣本βi∈Rm就可以近似表示為第i類訓(xùn)練樣本的線性組合，即

βi=xi1ai1+xi2ai2+…+xinain,

(14)

xi,j∈R;ai,j∈Rm；xi=[xi1,xi2,…,xin]。

式中：xi為樣本βi在訓(xùn)練樣本Ai下的稀疏表示系數(shù);aij為第i類別下的第j個(gè)樣本。

定義一個(gè)由y中4類訓(xùn)練樣本集構(gòu)成的完整樣本字典A=[A1，A2，A3，A4]，則測(cè)試樣本β在字典A下可表示為

β=Ax。

(15)

考慮數(shù)據(jù)噪聲的情況下，稀疏表示問(wèn)題可以表述為

(16)

對(duì)于測(cè)試樣本β，可以通過(guò)優(yōu)化目標(biāo)(16)式求出其稀疏表示系數(shù)x，即得到測(cè)試樣本在全局表示下的稀疏表示。實(shí)際應(yīng)用中，由于噪聲與模型錯(cuò)誤，其非零元素通常會(huì)散布于較多類別間。為通過(guò)x完成分類工作，可采用分類函數(shù)

minri(y)=β-Aδi(x)2；i=1,2,3,4，

(17)

式中：函數(shù)δi表示保留第i類元素，其余元素置0。

3 實(shí)例分析

3.1 試驗(yàn)對(duì)象

選擇美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)電氣工程實(shí)驗(yàn)室的軸承試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析驗(yàn)證。軸承型號(hào)SKF6205,通過(guò)電火花加工單點(diǎn)損傷，損傷部位直徑為0.036 mm，采樣頻率為48 kHz。試驗(yàn)?zāi)M軸承在1 797 r/min時(shí)，鋼球故障、內(nèi)圈故障、外圈故障、正常工作共4種工作狀態(tài)。

3.2 特征提取的對(duì)比分析

為了驗(yàn)證提出方法的提取效果，選擇PCA、等距映射(ISOMAP)流形學(xué)習(xí)方法進(jìn)行對(duì)比分析。均提取前3個(gè)主分量，使提取效果可視化。

3.2.1 PCA的特征提取

經(jīng)PCA提取的前3個(gè)主分量為P1～P3，軸承的4種狀態(tài)樣本在三維子空間的分布如圖1所示。

圖1 PCA特征提取效果

由圖可知，內(nèi)圈故障樣本與鋼球故障樣本重疊比較嚴(yán)重，并且分布較分散。有1個(gè)鋼球故障樣本與正常故障樣本重疊，相對(duì)來(lái)說(shuō)，正常樣本與外圈故障樣本聚類質(zhì)量更良好。這是由于鋼球故障表現(xiàn)為隨機(jī)的沖擊分量，包含沖擊分量的樣本與內(nèi)圈故障樣本接近。由此可見，PCA方法對(duì)軸承故障樣本的聚類效果不太理想。

3.2.2 等距映射流形學(xué)習(xí)算法特征提取

等距映射流形學(xué)習(xí)算法的主要思想是利用局部鄰域距離近似地計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)間的流形測(cè)地距離，并將高維數(shù)據(jù)間測(cè)地距離作為其本質(zhì)低維表示間歐氏距離的不變特征量，進(jìn)而完成數(shù)據(jù)降維。仿真試驗(yàn)中，通過(guò)ISOMAP提取的3個(gè)主分量為L(zhǎng)1～L3，軸承的4種故障狀態(tài)樣本在三維子空間上的分布如圖2所示，其中鄰域K=5。

圖2 ISOMAP特征提取效果

由圖可知，正常狀態(tài)樣本和外圈故障狀態(tài)樣本有較好的聚類效果，而內(nèi)圈故障狀態(tài)樣本分布較遠(yuǎn)、個(gè)別樣本與滾動(dòng)體故障狀態(tài)樣本發(fā)生重疊。由于ISOMAP屬于非線性的流形學(xué)習(xí)算法，很好地揭示了高維數(shù)據(jù)的非線性結(jié)構(gòu)，聚類性能相對(duì)于PCA得到了一定的提高，但I(xiàn)SOMAP的基本假設(shè)是全局等距映射和凸的數(shù)據(jù)空間，實(shí)際應(yīng)用中難以滿足。

3.2.3 低秩鑒別投影的特征提取

設(shè)置參數(shù)尋優(yōu)范圍:a為2～8，r為2-4～2-1，搜索步長(zhǎng)為0.5。參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果如圖3所示，圖中水平面坐標(biāo)分別取參數(shù)a，r的以2為底的對(duì)數(shù)，圖中顯示了低秩鑒別投影算法利用不同的參數(shù)對(duì)(a，r)所對(duì)應(yīng)的軸承工作狀態(tài)識(shí)別正確率。由圖可知，當(dāng)a=5.656 9，r=0.062 5時(shí)，狀態(tài)識(shí)別率最高，因此，可以選擇上述最優(yōu)參數(shù)值作為L(zhǎng)RDP的參數(shù)值提取軸承故障信息。

圖3 參數(shù)尋優(yōu)3D圖

選擇參數(shù)a=5.656 9，r=0.062 5，通過(guò)LRDP提取的3個(gè)主分量為K1～K3，軸承4種狀態(tài)樣本在三維子空間中的分布如圖4所示，由圖可知，LRDP完全準(zhǔn)確地識(shí)別了軸承的不同故障狀態(tài)，可以用于軸承故障診斷。

圖4 LRDP特征提取效果

4 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種基于低秩鑒別投影的故障特征提取方法，并與網(wǎng)格搜索法、稀疏表示分類器組合起來(lái)對(duì)算法中參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。經(jīng)仿真表明，低秩鑒別投影算法能夠準(zhǔn)確地描述數(shù)據(jù)的全局結(jié)構(gòu)和判別結(jié)構(gòu)，對(duì)于軸承故障特征提取是一種有效的特征提取算法。