高文婷

（同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海200092）

1 代數(shù)U（n）

設(shè)v是不定元，令A(yù)＝Z[v，v－1].k是一個(gè)包含l′次本原單位根ε的域，其中l(wèi)′≥3.設(shè)l＞1且

特別地，當(dāng)v取值ε時(shí)，k可以看成一個(gè)A－模.根據(jù)文獻(xiàn)[1]，記U（n）是 Q（v）上gln的量子包絡(luò)代數(shù)，生成元是Ei，F(xiàn)i（1≤i≤n－1）和K±1j（1）≤j≤n）.對于m，t∈N和c∈Z，令

根據(jù)文獻(xiàn)[2－3]，令UA（n）為由所有Ki生成的U（n）的A－子代數(shù).令Uk（n）＝UA（n）?Ak，仍使用相同的符號來記Ei，F(xiàn)i，Kj在Uk（n）中的像.根據(jù)文獻(xiàn)[2]，令是由所有Ei，生成的Uk（n）的k－子代數(shù).文獻(xiàn)[1]給出了代數(shù)的生成元和關(guān)系式表現(xiàn).

2 q－Schur代數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[4]，令A(yù)q（n）由n2個(gè)不定元cij（1≤i，j≤n）生成的k－代數(shù)，其中q＝ε2，滿足以下關(guān)系式：

則Aq（n）具有余代數(shù)結(jié)構(gòu)

記Aq（n，r）為Aq（n）的r次齊次部分，對所有的r，Aq（n，r）是Aq（n）的子余代數(shù)，因此Aq（n，r）＊是k－代數(shù)，稱為q－Schur代數(shù).

對于A＝（aij）∈Ξ，令

根據(jù)文獻(xiàn)[4]，集合｛cA｜A∈Ξr｝形成了Aq（n，r）的一組基.若ξA：＝（cA）＊，得到q－Schur代數(shù)的一組對偶基｛ξA｜A∈Ξr｝.

令UA（n，r）是文獻(xiàn)[5]中定義的A上的代數(shù)，它有一組正規(guī)A－基｛[A]｝A∈Ξr.記Uk（n，r）＝UA（n，r）?Ak，根據(jù)文獻(xiàn)[4，6]，有

記U（n，r）＝UA（n，r）?AQ（v），給定r＞0，A∈Ξ±，j＝（j1，j2，…，jn）∈Zn，定義

其中Ξ0（或0）為Ξ（或）中的對角矩陣構(gòu)成的子集合，D是對角矩陣，根據(jù)文獻(xiàn)[5]有下面的結(jié)果.

定理1U（n）與U（n，r）之間有一個(gè)代數(shù)滿同態(tài)ζr：U（n）U（n，r），滿足

記ei，fi，kj分別是Ei，F(xiàn)i，Kj在ζr下的像，其中1≤i≤n－1，1≤j≤n.記Λ（n，r）＝｛λ＝（λ1，λ2，…，r）＝｛λ∈Λ（n，r）｜λ1≥λ2≥…≥λn｝.對于t＝（t1，t2，…，tn）∈Nn，令

3 小q－Schur代數(shù)uq（n，r）

在文獻(xiàn)[6]中已經(jīng)證明ζr（UA（n））＝UA（n，r），因此ζr誘導(dǎo)了一個(gè)滿同態(tài)：

令hi＝（0，…，0，1i，0，…，0）∈Zn，αi＝hi－h(huán)i＋1.根據(jù)文獻(xiàn)[7]，有如下結(jié)論.

（1）若存在μ∈Λ（n，r）使得且μi＋1≥1，則；否則

（2）若存在μ∈Λ（n，r）使得且μi≥1，則

4 主要結(jié)果

以下假定n＝2，l′＝6，從而，研究6次單位根時(shí)小q－Schur代數(shù)uq（2，r）的生成元與關(guān)系式，有如下結(jié)果：

命題2（1）r≥1且r≠5，6，7，8時(shí)，uq（2，r）由e，f和生成，其中，并且滿足如下關(guān)系：

把由命題2（1）（或者命題2（2））中的生成元與關(guān)系式定義的代數(shù)記作s′.令s′＋，s′－，s′0分別是由在s′中生成的子代數(shù).根據(jù)關(guān)系①～④（或者⑤～ ⑧），s′＝s′＋s′0s′－.s′可 由

4.1 r＝1，2，3，4

引理1r分別取值1，2，3，4時(shí)，集合M′：＝，其中μ∈Λ（2，r），滿足均張成s′.

證明 首先，根據(jù)關(guān)系①～④，s′由張成，其中其 次，對 于，其中μ∈Λ（2，r），滿足｝中的

元素，均可由M′中的元素表示.

（1）對于r＝1，根據(jù)關(guān)系②，a，b∈｛0，1｝.

因此結(jié)論成立.

（2）對于r＝2，根據(jù)關(guān)系②，a，b∈｛0，1，2｝.

余下的由關(guān)系④知結(jié)論成立.

（3）對于r＝3，根據(jù)關(guān)系②，a，b∈｛0，1，2｝.

因此結(jié)論成立.

（4）對于r＝4，根據(jù)關(guān)系②，a，b∈｛0，1，2｝.

因此結(jié)論成立.

因此結(jié)論成立.

命題4r分別取值1，2，3，4時(shí)，均有代數(shù)之間的同構(gòu)s′≌uq（2，r）滿足并且M′是uq（2，r）的一組基.

證明 當(dāng)r分別取值1，2，3，4時(shí)，在uq（2，r）中，關(guān)系①～④成立.從而得到代數(shù)滿同態(tài)η：s′→uq（2，r）滿足η（e）＝e，η（f）＝f，.根據(jù)文獻(xiàn)[1]，當(dāng)r分別取值1，2，3，4時(shí)，經(jīng)計(jì)算可分別得到dimuq（2，r）等于4，10，18，27；而相應(yīng)地，＃M′分別等于4，10，18，27，因此命題得證.

4.2 r＝5，6，7，8

引理2r分別取值5，6，7，8時(shí)，集合M′：＝，其中μ∈Λ（2，r），滿足張成s′.

證明 首先，根據(jù)關(guān)系⑤～⑧，s′由張成，其中a，b∈ ｛0，1，2｝，.其次，對于，其中μ∈Λ（2，r），滿足中的元素，均可由M′中的元素表示.

（1）對于r＝5

余下的由關(guān)系⑧知，結(jié)論成立.

因此結(jié)論成立.

（4）對于r＝8

命題5r分別取值5，6，7，8時(shí)，均有代數(shù)之間的同構(gòu)s′≌uq（2，r）滿足并且M′是uq（2，r）的一組基.

證明 在uq（2，r）中，關(guān)系⑤～⑧成立.

在uq（2，5）中，關(guān)系⑨顯然成立.

在uq（2，6）中，有同理可得到，所以關(guān)系⑨對于r＝7成立.

從而當(dāng)r分別取值5，6，7，8時(shí)，均有代數(shù)滿同態(tài)η：s′uq（2，r）滿足根據(jù)文獻(xiàn)[1]，當(dāng)r分別取值5，6，7，8時(shí)，經(jīng)計(jì)算可分別得到dimuq（2，r）等于36，44，50，53；而相應(yīng)地，＃M′分別等于36，44，50，53，因此命題得證.

4.3 r＝9，10，11，12，13，14

根據(jù)文獻(xiàn)[1]經(jīng)計(jì)算可得到，dimuq（2，9）＝dimuq（2，10）＝ dimuq（2，11）＝dimuq（2，12）＝dimuq（2，13）＝dimuq（2，14）＝54.可知這6個(gè)小q－Schur代數(shù)的基有一個(gè)統(tǒng)一“形式”，其中a，b∈｛0，1，2｝.但是它們的生成元不一樣，不難得出它們的生成元與關(guān)系式.

4.4 r＞14

根據(jù)文獻(xiàn)[8]知，取n＝2，l′＝6，則有，當(dāng)r≥9時(shí)，uq（2，r）≌uq（2，r＋6）.再結(jié)合文獻(xiàn)[8]知，當(dāng)r＞14時(shí)，uq（2，r）的生成元與關(guān)系式可以由uq（2，9），uq（2，10），uq（2，11），uq（2，12），uq（2，13），uq（2，14）中得到.

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