黨曉圓,馬冬梅,楊傳燕,李 潔（重慶郵電大學(xué)移通學(xué)院,重慶 401520）

MATLAB在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用

黨曉圓,馬冬梅,楊傳燕,李 潔
（重慶郵電大學(xué)移通學(xué)院,重慶 401520）

摘 要：討論了控制系統(tǒng)分析穩(wěn)定性的必要性，闡述了系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念，介紹了李亞普諾夫第一法和李亞普諾夫第二法，分析了兩種方法的優(yōu)缺點，給出了現(xiàn)代控制理論中李亞普諾夫主穩(wěn)定性定理，論述了主穩(wěn)定性定理在穩(wěn)定性判定中的應(yīng)用，最后以可控直流電源供電給直流電機傳動系統(tǒng)為例，利用MATLAB提供的Lyapunov函數(shù)P=lyap(A,N)對此系統(tǒng)穩(wěn)定性進行了分析，介紹了利用MATLAB判定穩(wěn)定性的方法。

關(guān)鍵詞：穩(wěn)定性；李亞普諾夫第二法；MATLAB

0 引言

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常工作的前提。從工程應(yīng)用的角度來看，一個系統(tǒng)只有穩(wěn)定了，研究分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和靜態(tài)性能才有意義。系統(tǒng)運動穩(wěn)定性分為基于輸入輸出描述的外部穩(wěn)定性和基于狀態(tài)空間描述的內(nèi)部穩(wěn)定性。在一定條件下，內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性才存在等價關(guān)系。現(xiàn)代控制理論是基于狀態(tài)空間描述的，狀態(tài)空間描述不僅包含了系統(tǒng)外部特性的描述，而且還揭示了系統(tǒng)的內(nèi)部特性。如何兼顧系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的穩(wěn)定性和外部特征的穩(wěn)定性成為一個問題。李亞普諾夫基于狀態(tài)平衡點穩(wěn)定的研究恰好統(tǒng)一了系統(tǒng)內(nèi)外穩(wěn)定性的討論。李亞普諾夫方法同時適用于線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，時變系統(tǒng)和時不變系統(tǒng)，連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)。當(dāng)已知一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或狀態(tài)空間描述時，可以對其系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析，但是當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時，穩(wěn)定性分析和計算的工作量比較大，運用具有強大科學(xué)計算能力和可視化編程功能的MATLAB軟件，可以為控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析提供很大的方便。

1　 穩(wěn)定性的基本概念

一個多世紀(jì)以前，俄國力學(xué)家A.M.李亞普諾夫（A.M.Lyapunov）在1892年發(fā)表的《運動穩(wěn)定性的一般問題》論文中，首先提出了運動穩(wěn)定性的一般理論。這一理論把由常微分方程組描述的動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法區(qū)分為本質(zhì)上不同的兩種方法，現(xiàn)在稱為李亞普諾夫第一法和李亞普諾夫第二法。

李亞普諾夫第一法也稱為間接法，屬于小范圍穩(wěn)定性分析，基本思路是通過對線性化系統(tǒng)特征方程根的分布情況判斷穩(wěn)定性。此方法僅指出了原非線性系統(tǒng)和一次線性化方程之間穩(wěn)定性的等價關(guān)系，沒有解決真實非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定，僅涉及到平衡點處小范圍的穩(wěn)定性，沒有提及大范圍的穩(wěn)定性問題。但是，在工程應(yīng)用實際中，總是希望控制系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。

李亞普諾夫第二法也稱為直接法，屬于大范圍漸近穩(wěn)定性分析，從能量的觀點對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行研究。即系統(tǒng)運動的進程總是伴隨能量的變化，如果做到使系統(tǒng)能量變化的速率始終保持為負(fù)，也就是使運動進程中能量為單調(diào)減少，那么系統(tǒng)受擾運動最終必定會返回到平衡狀態(tài)，且在平衡點處能量減少到最小值。此法不必求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程，就能對其在平衡點處的穩(wěn)定性進行分析和做出判斷，給出的是真實非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論，適用于線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。

2 李亞普諾夫主穩(wěn)定性定理

在李亞普諾夫第二法的穩(wěn)定性結(jié)論中，大范圍漸近穩(wěn)定判別定理具有基本的重要性。由于穩(wěn)定性與外界擾動無關(guān)，所以考察具有普遍性的連續(xù)時間非線性時變自由系統(tǒng)：

對于非線性系統(tǒng)主穩(wěn)定性定理給出了關(guān)于在大范圍內(nèi)穩(wěn)定性的信息，但是只是系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定的充分條件而非充要條件，若不能找到合適的李亞普諾夫函數(shù)就不能得出該系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的任何結(jié)論。對于一個給定的系統(tǒng)，李亞普諾夫函數(shù)不是唯一的，如果系統(tǒng)在平衡點漸近穩(wěn)定，那么具有所要求性質(zhì)的李亞普諾夫函數(shù)一定是存在的。

3　 基于MATLAB分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性

李亞普諾夫主穩(wěn)定性定理判斷穩(wěn)定性的關(guān)鍵是尋找一個滿足條件的李亞普諾夫函數(shù)，但是，一般地，尋找李亞普諾夫函數(shù)比較困難。當(dāng)李亞普諾夫第二法應(yīng)用于線性時不變系統(tǒng)時，利用李亞普諾夫方程討論穩(wěn)定性更為方便適用。

設(shè)線性時不變系統(tǒng)為

該系統(tǒng)在平衡點大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個正定實對稱矩陣N（通常選擇為單位矩陣），存在一個正定的實對稱陣P，使得ATP+PA=-N。該方程稱為李亞普諾夫方程。標(biāo)量函數(shù)V(x)=xTPx就是一個李亞普諾夫函數(shù)。此時利用MATLAB提供的Lyapunov函數(shù)P=lyap(A,N)就能找到正定實對稱陣P，進而可以判斷出系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

下面以可控直流電源供電給直流電機傳動系統(tǒng)為例，基于MATLAB進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

按結(jié)構(gòu)圖建立系統(tǒng)的Simulink仿真結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

其階躍響應(yīng)如圖3所示。

由圖3可知系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

接下來使用命令語句驗證此系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

程序段如下：

程序運行結(jié)果：

ans=

72.5392

ans=

0.0606

ans=

0.8254

System is stable

4　 結(jié)論

使用MATLAB對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析，簡單方便且高效，尤其是對高階系統(tǒng)分析或已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時，大大減少了計算量，提高了系統(tǒng)研究分析效率。

參考文獻：

[1]趙廣元. MATLAB與控制系統(tǒng)仿真實踐[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社,2012.

[2]汪紀(jì)鋒，黨曉圓，張毅.現(xiàn)代控制理論[M].北京：人民郵電出版社,2013.

[3]羅斌，馮輝，唐義峰.MATLAB軟件在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與仿真中的應(yīng)用[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2010,28(04):530-533.

基金項目：重慶郵電大學(xué)移通學(xué)院校級電氣工程及其自動化特色專業(yè)建設(shè)項目（XJZY1501）

作者簡介：黨曉圓（1983-），女，甘肅張掖人，碩士，講師，從事電氣工程及自動控制教學(xué)，嵌入式系統(tǒng)及測控系統(tǒng)應(yīng)用研究。