倪曉艇，劉飛，裴曠怡，孟慶濤，張鋼

(上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072)

永磁軸承具有無(wú)污染、低功耗的優(yōu)點(diǎn),符合我國(guó)節(jié)能環(huán)保、低碳經(jīng)濟(jì)的發(fā)展需求。然而，永磁軸承技術(shù)理論還不完善，故應(yīng)用并不廣泛。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)永磁軸承進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[1-2]建立了一個(gè)微型永磁軸承的解析模型，通過(guò)模擬計(jì)算和自動(dòng)編程產(chǎn)生優(yōu)化軟件來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)微型永磁軸承中永磁環(huán)的尺寸和布局。文獻(xiàn)[3]針對(duì)一種斥力型徑向永磁軸承進(jìn)行優(yōu)化分析，計(jì)算出磁環(huán)的軸向總長(zhǎng)度、氣隙參數(shù)及徑向剛度之間的關(guān)系，提出了提高徑向剛度的優(yōu)化方法。

永磁軸承磁力及剛度計(jì)算是永磁軸承研究與設(shè)計(jì)過(guò)程中的重要環(huán)節(jié)。由于目前永磁軸承的設(shè)計(jì)理論和技術(shù)尚不成熟，尚無(wú)統(tǒng)一的計(jì)算永磁軸承承載能力和剛度的解析數(shù)學(xué)模型[4-5]。針對(duì)永磁軸承磁力和剛度的計(jì)算方法主要為等效磁荷法、靜態(tài)磁路法、矢量磁位法、虛位移法和分子電流法等。

文獻(xiàn)[4]用分子電流法探討了軸向永磁軸承的剛度特性，驗(yàn)證了分子電流法的工程應(yīng)用性。但常見(jiàn)的兩環(huán)軸向永磁軸承工作狀態(tài)下兩環(huán)旋轉(zhuǎn)軸線發(fā)生徑向偏移不可避免，偏移會(huì)對(duì)永磁軸承軸向和徑向承載力產(chǎn)生影響。文獻(xiàn)[6]基于分子電流法建立考慮徑向偏移的軸向永磁軸承的磁力解析模型，并推導(dǎo)出含有四重積分的解析計(jì)算式。下文采用一種近似的蒙特卡洛法[7-8](又稱M-C法)來(lái)求解方程，進(jìn)一步探討考慮徑向偏移情況下的軸向永磁軸承力學(xué)特性。

1 基于分子電流法的磁力解析模型

典型徑向偏移為e0的軸向永磁軸承如圖1所示。假定永磁環(huán)軸向均勻充分磁化且達(dá)到飽和狀態(tài)，則根據(jù)分子電流法可知：兩永磁環(huán)之間的磁力可等效成下磁環(huán)內(nèi)外側(cè)表面a，b上的閉合電流環(huán)路與上磁環(huán)內(nèi)外側(cè)表面c,d上的閉合電流環(huán)路之間的磁力矢量和。兩永磁環(huán)磁化方向相反，且中心軸相互平行，下磁環(huán)內(nèi)外徑分別為R1,R2，上磁環(huán)內(nèi)外徑分別為R3,R4，兩磁環(huán)中心線相對(duì)位移距離為e0，下磁環(huán)厚度為L(zhǎng)1，上磁環(huán)厚度為L(zhǎng)2，兩磁環(huán)間隙為L(zhǎng)。表面a,b,c,d分布有環(huán)形電流，且a和d，c和b表面上的環(huán)形電流流向相同。定義下磁環(huán)表面電流強(qiáng)度為i1，上磁環(huán)表面電流強(qiáng)度為i2，l1為下磁環(huán)外表面上任一假想電流環(huán)的長(zhǎng)度，p為電流環(huán)上的任意一點(diǎn)，q為上磁環(huán)外表面d上的任意一點(diǎn)。分子電流模型如圖2所示，α,β分別為點(diǎn)p和點(diǎn)q在各自坐標(biāo)系中與x(x′)軸的夾角，r為點(diǎn)p到點(diǎn)q的矢徑，x為q點(diǎn)距上磁環(huán)下端面的距離。

圖1 經(jīng)典的軸向永磁軸承結(jié)構(gòu)圖

圖2 分子電流模型圖

磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(1)

式中:μ0為真空磁導(dǎo)率，H/m；I為感應(yīng)電流，A；B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，T；dI為細(xì)導(dǎo)線電流回路I中的電流元；er為元電流單位距離。

p點(diǎn)的元電流在q點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(2)

dl1=(-R2sinαdα)i+(R2cosαdα)j，

r=(R4cosβ+e0-R2cosα)i+(R4sinβ-R2sinα)j+zk,

式中：i，j，k分別為x，y，z軸3個(gè)方向的單位矢量。

由(2)式可得下磁環(huán)外表面所有元電流的矢量和在q點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(zsinα)j+(R2-R4cos(α-β)-

(3)

q點(diǎn)的元電流在磁場(chǎng)中的力為

dF=i2d(l2×B)dx，

(4)

dl2=(R4sinβdβ)i+(-R4cosβdβ)j，

(5)

把(3) ，(5)式代入(4)式中，并且對(duì)d面上的所有元電流進(jìn)行積分便可以得到b,d面之間的力為

(Mi+Nj+Ok)dαdβdzdx，

(6)

對(duì)于永磁軸承，一般用Hc1,Hc2代替i1,i2,表示磁場(chǎng)強(qiáng)度。

力Fbd在x，y，z方向上分力分別為

(7)

(8)

(9)

同理可求a和b,c,d面間的軸向磁力分別為

(10)

(11)

(12)

對(duì)于空間中任一分子環(huán)形電流的流向考慮了逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向，故公式所列的磁力表達(dá)式均帶正負(fù)號(hào)，不再考慮兩側(cè)面間的磁力為吸力或斥力的因素。

下磁環(huán)對(duì)上磁環(huán)總的軸向磁力，即該永磁軸承的軸向承載力為

Fa=Fzbd+Fzac+Fzad+Fzbc，

(13)

計(jì)算數(shù)值表示兩磁環(huán)磁力大小，符號(hào)則為力的方向。符號(hào)為正，表示磁力向上為斥力；符號(hào)為負(fù)，表示磁力向下為吸力。

軸向剛度為

(14)

當(dāng)軸向剛度為正時(shí)，隨軸向位移增加，軸向承載力也增加，則軸向自由度穩(wěn)定；反之，軸向剛度為負(fù)，軸向不穩(wěn)定。

另外，可求得ac面、ad面、bc面之間的徑向磁力為

(15)

(16)

(17)

下磁環(huán)對(duì)上磁環(huán)沿x方向的徑向磁力，即該永磁軸承的徑向承載力為

Fr=Fxbd+Fxac+Fxad+Fxbc。

(18)

徑向剛度為

(19)

當(dāng)徑向剛度為正時(shí)，隨徑向位移增加，徑向承載力也增加，則徑向自由度穩(wěn)定；反之，徑向剛度為負(fù)，徑向不穩(wěn)定。

2 磁力解析模型的計(jì)算步驟

2.1 積分算法的選取

根據(jù)分子電流法建立永磁軸承的磁力解析模型，推導(dǎo)出永磁軸承的磁力四重積分解析表達(dá)式，采用蒙特卡洛方法求解。

2.2 基于蒙特卡洛算法的編程計(jì)算

采用MATLAB進(jìn)行編程計(jì)算，其中，N為采樣大小；e0為初始偏移量；s為偏移步階；a[i]為磁環(huán)間作用力的各分力值數(shù)組；被積函數(shù)f1,f2,f3,f4分別為磁力解析模型中ab面、ac面、ad面、bc面之間磁力表達(dá)式中被積函數(shù)；V1,V2,V3,V4分別表示樣本中所有滿足積分區(qū)域E的點(diǎn)求得的磁力和；Mul為積分變量上下限差值的累積值。計(jì)算步驟如圖3所示。

圖3 蒙塔卡洛法計(jì)算磁力過(guò)程

3 實(shí)例分析

3.1 分子電流法與其他常用方法的對(duì)比

文獻(xiàn)[9]對(duì)用于小型風(fēng)力發(fā)電機(jī)中的軸向永磁軸承進(jìn)行了承載試驗(yàn)，使用等效磁荷法、分子電流法、有限元法和試驗(yàn)法所得到的軸向載荷力學(xué)特性曲線如圖4所示。

圖4 力學(xué)特性曲線對(duì)比圖

由圖4可知，雖運(yùn)用等效磁荷法建立的磁力解析模型較完善，但求解結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相差較大，不適合精確計(jì)算，工程應(yīng)用可作為初步計(jì)算；有限元法較為準(zhǔn)確，但由于有限元需經(jīng)過(guò)建模、網(wǎng)格劃分、加載邊界和載荷等步驟，在進(jìn)行簡(jiǎn)單磁環(huán)的磁力分析時(shí)，比較繁瑣，因此有限元法適用于磁環(huán)較多、結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的情況；分子電流法雖然不及有限元法分析準(zhǔn)確，但可以看出其分析結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)也非常吻合，同時(shí)采用蒙特卡洛積分算法進(jìn)行編程減少了求解步驟，因此在進(jìn)行簡(jiǎn)單磁環(huán)結(jié)構(gòu)的磁力分析時(shí)，分子電流法顯示出結(jié)果準(zhǔn)確、計(jì)算方便的優(yōu)勢(shì)，可進(jìn)行簡(jiǎn)單磁環(huán)結(jié)構(gòu)的軸向、徑向力求解。

3.2 實(shí)例分析

永磁軸承參數(shù)如下：R1=38 mm，R2=50 mm，R3=38 mm，R4=50 mm，L1=L2=12 mm，磁介質(zhì)中的磁場(chǎng)強(qiáng)度Hc1=Hc2=918 266 A/M，真空磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H/m。初始軸向間隙L0=3 mm，分別討論徑向偏移e0=0，1，2，3 mm時(shí)該軸承的力學(xué)特性。

e0=0 mm時(shí)，軸向承載力及剛度隨軸向位移z的變化曲線分別如圖5、圖6所示。隨軸向位移z增加，承載力逐漸增大，且軸向承載力為正，表明軸向穩(wěn)定。由圖6可以看出，軸向剛度并不是一個(gè)固定值，而是隨軸向位移z增加而逐漸增大，這是由于兩磁環(huán)距離越近，磁感線密度增大，同時(shí)磁感線分布密度的增大幅度也變大，所以剛度增加。但是，無(wú)論軸向位移z如何變化，軸向承載力始終為正，這說(shuō)明此類軸向軸承只能承受單向軸向載荷。

圖5 軸向承載力曲線圖

圖6 軸向剛度曲線圖

e0=0 mm時(shí)虛擬徑向承載力及其剛度的變化曲線分別如圖7、圖8所示。由圖7可知，虛擬徑向承載力很小，且隨著軸向位移z增加而逐漸減小、由正變負(fù)，這表明該永磁軸承徑向不承載且不穩(wěn)定。由圖8可知，隨著軸向位移z增加，徑向剛度逐漸增加且剛度值很小、由負(fù)變正，因此其徑向不穩(wěn)定，故必須采用其他輔助支承使其徑向穩(wěn)定。

圖7 虛擬徑向承載力曲線圖

圖8 虛擬徑向剛度曲線圖

4種不同偏移情況下軸向和虛擬徑向承載特性曲線分別如圖9、圖10所示。由圖9可知，隨偏移距離變大，軸向承載力整體下降，但在偏移量固定情況下，承載力隨著位移的增大而增大的趨勢(shì)是不變的，因此當(dāng)磁環(huán)存在偏移時(shí)，該結(jié)構(gòu)磁軸承軸向承載力變化趨勢(shì)保持不變，但承載能力有所降低。由圖10可知，隨著偏移量的增加，徑向承載力均為負(fù)值，且其絕對(duì)值不斷增大，表明其徑向不穩(wěn)定性增強(qiáng)；相同的偏移量下，該磁軸承的虛擬徑向承載力變化更明顯。

圖9 不同偏移情況下軸向承載特性曲線

圖10 不同偏移情況下虛擬徑向承載特性曲線

4 結(jié)論

1)根據(jù)分子電流法建立了考慮徑向偏移量影響的永磁軸承的磁力解析模型，推導(dǎo)出永磁軸承四重積分的磁力解析表達(dá)式。采用蒙特卡洛方法求解，相對(duì)省時(shí)、簡(jiǎn)單。

2) 通過(guò)實(shí)例分析表明，偏移量對(duì)軸向永磁軸承的軸向和徑向承載能力會(huì)有一定影響，偏移量增加會(huì)降低軸向承載能力，增加徑向承載的不穩(wěn)定性。

3)徑向偏移對(duì)虛擬徑向承載能力影響更大，必須采用其他輔助支承使其徑向穩(wěn)定且能承載。