楊亞輝,李會(huì)榮（陜西國(guó)防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西　戶縣　710300）

圓度誤差處理模型及算法研究

楊亞輝,李會(huì)榮
（陜西國(guó)防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西戶縣710300）

介紹了圓度誤差處理的四種基本數(shù)學(xué)模型，并介紹了其對(duì)應(yīng)的誤差處理算法，提出圓度誤差算法研究方向。

圓度；誤差處理；算法

在加工回轉(zhuǎn)類工件時(shí)，受工件材料、切削刀具、機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)等因素的影響，零件將產(chǎn)生圓度誤差。因此，圓度誤差是評(píng)定回轉(zhuǎn)類工件加工精度的一項(xiàng)重要指標(biāo)。在誤差測(cè)量過(guò)程中，可以通過(guò)半徑變化量測(cè)量或坐標(biāo)測(cè)量獲取誤差原始數(shù)據(jù)，再通過(guò)一定的評(píng)定方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，就可獲得誤差結(jié)果。借助于計(jì)算機(jī)技術(shù)處理誤差，可得到較為準(zhǔn)確的誤差結(jié)果，處理誤差的計(jì)算機(jī)算法已成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。

1　概述

圓度是表示零件上圓的要素實(shí)際形狀，與其中心保持等距的情況，即通常所說(shuō)的圓整程度。圓度誤差就是實(shí)際圓偏離理想圓的狀況，其誤差區(qū)域用包容實(shí)際圓上各點(diǎn)的兩同心圓環(huán)表示，并且同心圓環(huán)半徑差為最小，該半徑差即為圓度誤差值，如圖1所示。

2　數(shù)學(xué)模型

在獲取實(shí)際圓上各測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù)后，可以采用最小區(qū)域法、最小二乘法、最大內(nèi)接圓法和最小外接圓法這四種數(shù)據(jù)處理模型。圓度誤差的評(píng)定應(yīng)按最小區(qū)域法。常用的近似方法有最小外接圓法、最大內(nèi)接圓法以及最小二乘法。

在對(duì)圓度誤差處理過(guò)程中，評(píng)定基準(zhǔn)圓用方程表示為：

用di表示圓上各實(shí)際測(cè)量點(diǎn)到評(píng)定基準(zhǔn)圓圓心的距離：

圓度誤差結(jié)果用f表示如下：

式中，用dmax表示實(shí)際圓上各測(cè)量點(diǎn)到評(píng)定基準(zhǔn)圓圓心的最大距離；用dmin表示實(shí)際圓上各測(cè)量點(diǎn)到評(píng)定基準(zhǔn)圓圓心的最小距離。

2.1最小區(qū)域法

用最小包容法來(lái)評(píng)定圓度誤差，是用符合最小包容區(qū)域的包容圓作為評(píng)定基準(zhǔn)圓，其符合交叉準(zhǔn)則，即兩同心圓包容實(shí)際圓，并且至少有四個(gè)測(cè)量點(diǎn)內(nèi)外相間地分布在兩個(gè)圓周上，如圖2所示。

根據(jù)式（2）、（3）得到函數(shù)

其關(guān)鍵是得到最小區(qū)域圓圓心（x0，y0）坐標(biāo)，根據(jù)（3）式即可求出圓度誤差值。

2.2最小二乘法

所謂最小二乘圓，是指實(shí)際圓上各測(cè)量點(diǎn)到評(píng)定基準(zhǔn)圓的圓周距離的平方和為最小。以最小二乘圓為評(píng)定基準(zhǔn)圓，以其圓心為圓心做實(shí)際圓的外接圓和內(nèi)接圓包容實(shí)際圓，該內(nèi)接圓、外接圓的半徑差為圓度誤差值。如圖3所示。

設(shè)最小二乘圓的方程式為（1），得到函數(shù)：

求解函數(shù)的最小值，會(huì)得到最小二乘圓心（x0，y0）及最小二乘半徑r，用（3）式可以計(jì)算出圓度誤差值。

2.3最小外接圓法

采用最小外接圓法評(píng)定圓度誤差，是以外接于實(shí)際圓且半徑為最小的圓作為評(píng)定基準(zhǔn)圓。以相同的圓心做實(shí)際圓的內(nèi)接圓，兩同心圓的半徑差即為圓度誤差。該基準(zhǔn)圓要滿足的條件：實(shí)際圓上至少有兩點(diǎn)或三點(diǎn)通過(guò)基準(zhǔn)圓，如為兩點(diǎn)通過(guò)，則兩點(diǎn)的連線為基準(zhǔn)圓的直徑；如三點(diǎn)通過(guò)，則三點(diǎn)連線應(yīng)形成銳角三角形，并且實(shí)際圓上的所用點(diǎn)被該基準(zhǔn)圓包容。如圖4所示。

由式（2）、（3）得到函數(shù)

式（6）經(jīng)優(yōu)化求解，會(huì)求出最小外接圓心坐標(biāo)（x0，y0），用（3）式可以計(jì)算出圓度誤差值。

2.4最大內(nèi)接圓

采用最大內(nèi)接圓法評(píng)定圓度誤差，是以內(nèi)接于實(shí)際圓且半徑為最大的圓作為評(píng)定基準(zhǔn)圓。以相同的圓心做實(shí)際圓的外接圓，兩同心圓的半徑差即為圓度誤差。該基準(zhǔn)圓要滿足的條件：實(shí)際圓上至少有兩點(diǎn)或三點(diǎn)通過(guò)基準(zhǔn)圓，如為兩點(diǎn)通過(guò)，則兩點(diǎn)的連線為基準(zhǔn)圓的直徑；如三點(diǎn)通過(guò)，則三點(diǎn)連線應(yīng)形成銳角三角形，并且實(shí)際圓上的所用點(diǎn)被該基準(zhǔn)圓包容。如圖5所示。

由式（2）、（3）得到函數(shù)

式（7）經(jīng)優(yōu)化求解，會(huì)求出最大內(nèi)接圓心坐標(biāo)（x0，y0），用（3）式可以計(jì)算出圓度誤差值。

3　誤差評(píng)定算法

3.1最小區(qū)域法

最小區(qū)域法評(píng)定圓度的核心問(wèn)題是求出評(píng)定基準(zhǔn)圓的圓心坐標(biāo)，采用二位搜索法，程序設(shè)計(jì)思路如下：

（1）選擇交替的四個(gè)點(diǎn)作為控制點(diǎn)，交叉連直線，求兩直線的斜率K1和K2。

（2）做兩條直線的垂直平分線，得到交點(diǎn)

求解方程組，得到交點(diǎn)坐標(biāo)O（x，y）。

（3）設(shè)定交點(diǎn)坐標(biāo)O（x，y）為圓心，做一組同心圓。

（4）判定實(shí)際圓上其它測(cè)量點(diǎn)是否在同心圓區(qū)域內(nèi)，如在，將相應(yīng)數(shù)據(jù)記錄；如實(shí)際圓上任一測(cè)量點(diǎn)不在同心圓區(qū)域內(nèi)，則不符合評(píng)定準(zhǔn)則，則選取的四點(diǎn)組合無(wú)效。

（5）重復(fù)步驟（1）到（4），知道符合評(píng)定準(zhǔn)則的測(cè)量點(diǎn)所有組合完成。

（6）對(duì)第四步記錄的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果中最小的即為圓度誤差值。

其流程圖如圖6所示。

3.2最小二乘法

在采用最小二乘法評(píng)定圓度誤差時(shí)，首先求出最小二乘圓圓心（x0，y0）坐標(biāo)：

在上式中：

在求出最小二乘圓圓心（x0，y0）坐標(biāo)后，有（2）、（3）式可得到圓度誤差值。

由于在推導(dǎo)圓心的過(guò)程中，有時(shí)需要對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行多次變換，當(dāng)滿足圓心坐標(biāo)足夠小時(shí)，方可結(jié)束坐標(biāo)變換。如圖7所示為其程序框圖。

3.3最小外接圓

在采用最小外接圓法評(píng)定圓度誤差時(shí)，可按兩種情況進(jìn)行分析：條件a，直線準(zhǔn)則，有兩點(diǎn)與基準(zhǔn)圓接觸，且兩點(diǎn)的連線是基準(zhǔn)圓的直徑；條件b，三角形準(zhǔn)則，有三點(diǎn)與基準(zhǔn)圓接觸，且三點(diǎn)的連線構(gòu)成銳角三角形。

在滿足條件a或b的條件下形成評(píng)定基準(zhǔn)圓，如果實(shí)際圓上所有測(cè)量點(diǎn)都在該基準(zhǔn)圓的內(nèi)部，那么該基準(zhǔn)圓就是最小外接圓。如圖8所示為求解程序流程圖。

3.4最大內(nèi)接圓

最大內(nèi)接圓法求解圓度誤差的過(guò)程可參照最小外接圓法，在此不再贅述。

4　結(jié)論

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展及新國(guó)標(biāo)的頒布，圓度誤差評(píng)定計(jì)算機(jī)化已成為趨勢(shì)；最小二乘法容易實(shí)現(xiàn)，已在圓度儀等設(shè)備上得到應(yīng)用；圓度處理的算法還需進(jìn)一步優(yōu)化，尤其是未來(lái)采用測(cè)量信號(hào)分離、濾波等，對(duì)測(cè)量結(jié)果精度有更高要求時(shí)顯得尤為重要。

[1]李柱,徐振高,蔣向前.互換性與測(cè)量技術(shù)----幾何產(chǎn)品技術(shù)規(guī)范與認(rèn)證GPS[M].北京:高等教育出版社,2004(12).

[2]甘永立.幾何量公差與檢測(cè)[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2010,1(09).

[3]GB/T7235-2004產(chǎn)品幾何量技術(shù)規(guī)范（GPS）評(píng)定圓度誤差的方法半徑變化量測(cè)量[S].北京：中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社,2004(11).