王 健夏春晨王建剛梁建秀王 姣

（1.山西省汾河中下游水務(wù)管理局 山西太原 030002；2.武漢大學(xué)水利水電學(xué)院 湖北武漢430072；3.太原市水利勘測(cè)設(shè)計(jì)院 山西太原 030002）

0 引言

在工程實(shí)踐中，常常要用非恒定流的原理對(duì)河道、水庫(kù)或渠道等水流進(jìn)行計(jì)算，以掌握其水面線和流量等數(shù)據(jù)，為工程設(shè)計(jì)、洪水預(yù)報(bào)、水庫(kù)調(diào)度、潰壩洪水演進(jìn)計(jì)算等提供科學(xué)依據(jù)和計(jì)算基礎(chǔ)[1]。在實(shí)際情況中，對(duì)一些簡(jiǎn)單的工程，可以利用恒定流計(jì)算，但有時(shí)僅靠這些計(jì)算往往不能反映實(shí)際情況，如山區(qū)河流等河道地形變化復(fù)雜時(shí)，水流非恒定，可能會(huì)出現(xiàn)急流、緩流、臨界流交替的急變情況，此時(shí)適用于漸變流的傳統(tǒng)恒定非均勻水流數(shù)學(xué)模型可能無(wú)法滿足工程需要。

為解決這一問(wèn)題，需要利用理論嚴(yán)謹(jǐn)、計(jì)算精度較高的非恒定流原理。本文基于完整的圣維南方程，開(kāi)發(fā)了自然河道一維水流數(shù)學(xué)模型，采用有限體積的思想[2-3]，利用SLIC（Slope Limiter Centred Scheme）數(shù)值格式[4]來(lái)計(jì)算自然河道的水面線及其他水力要素。該數(shù)值方法不僅適用于恒定或非恒定流，均勻或非均勻流，而且可以計(jì)算跨臨界流的急緩流交替的急變情況，能夠在實(shí)際中得到較為廣泛的運(yùn)用。

1 自然河道一維水流數(shù)學(xué)模型

1.1 控制方程

天然河道斷面通常呈現(xiàn)為具有灘地和主槽的復(fù)式斷面，如圖1所示。傳統(tǒng)方法求解自然河道斷面阻力時(shí)，將斷面分割成獨(dú)立的幾個(gè)子斷面分別求解，這很顯然忽略了各子斷面之間的動(dòng)量交換作用，因此，這樣得到的綜合糙率是存在一定誤差的。本文基于完整的一維圣維南方程組，利用最新發(fā)展的斷面綜合糙率和動(dòng)量通量計(jì)算模式[5]，建立河道一維水流數(shù)學(xué)模型，為河流工程實(shí)踐提供技術(shù)基礎(chǔ)。

假定水的密度不變并且沒(méi)有橫向入流的情況下，一維圣維南方程組如下：

圖1 自然河道斷面示意圖

按照最近提出的計(jì)算模式，河道斷面動(dòng)量修正系數(shù)和綜合糙率表達(dá)式

其中：y為河寬方向；P為濕周，其他系數(shù)表示如下：

其中：h為當(dāng)?shù)厮?；n為當(dāng)?shù)夭诼?；hm為參考點(diǎn)水深，一般取為斷面最大水深；nm為參考點(diǎn)糙率；R為待定參數(shù)，與灘地類(lèi)型有關(guān)：

對(duì)于光滑灘地：R=0.7987-1.1955Dr+0.5138（10）

對(duì)于粗糙灘地：R=-1.799+0.0885Dr+0.5704（11）

其中：Dr=（H-hmc）/H為灘地相對(duì)水深；hmc為主槽水深。

1.2 數(shù)值格式

將式（1）、（2）寫(xiě)成守恒型方程組：

雅格比矩陣A（U）有兩個(gè)特征值：

將式（12）進(jìn)行離散

為了使計(jì)算穩(wěn)定，時(shí)間步長(zhǎng)需要滿足科朗條件：

即科朗數(shù)Cr＜1，λmax為由雅格比矩陣求得的最大特征值。

該數(shù)值格式方法基于有限體積的思想，能夠捕捉到激波，解決在部分河段出現(xiàn)急變流的情況，同時(shí)也適用于求解漸變流問(wèn)題。

2 算例分析

2.1 非恒定流水力計(jì)算

對(duì)一斷面形態(tài)如圖1的自然河道[5]，總長(zhǎng)為100 km，其中主槽深hmc=5 m；河底寬b=20 m，水面寬B=400 m；左右灘地寬bl=br=175 m；灘地及主槽邊坡Sfp=Smc=3.0；灘地及主槽糙率nfp=nmc=0.03；河道底坡Sb=0.000 2；x=0 m時(shí)水位z=4 m。對(duì)于非恒定流，上游來(lái)流為對(duì)數(shù)皮爾遜Ⅲ流量過(guò)程如圖2，初始流量為Q0=120 m3/s，在t=900 min時(shí)達(dá)到峰值流量Qmax=1200m3/s。下游為給定的水位流量關(guān)系，如式（24）所示，其中Hn為初始下游水位，Hn=4.5 m。初始各斷面為恒定流狀態(tài)下的水深。

圖2 上游流量過(guò)程線

對(duì)于圣維南方程式（1）-（2），定義修正圣維南方程的 β、n0通過(guò)式（3）-（4）進(jìn)行計(jì)算，傳統(tǒng)圣維南方程通過(guò)β≈1，n0=0.03計(jì)算，結(jié)合SLIC數(shù)值格式計(jì)算并比較兩者在上述條件下代表斷面的水位隨時(shí)間變化情況，如圖3所示。本文采用的數(shù)值計(jì)算格式與曹志先教授[5]不同，但計(jì)算結(jié)果相一致。

圖3 代表斷面水位過(guò)程比較圖

當(dāng)流量逐漸增大，水流剛剛漫灘時(shí)，水面突然展寬，濕周、水力半徑等水力要素均會(huì)發(fā)生突變，導(dǎo)致流速突然減小。從圖3中可以看出當(dāng)灘地水深很小，利用傳統(tǒng)圣維南方程求解會(huì)帶來(lái)計(jì)算問(wèn)題[6]，在退水過(guò)程中表現(xiàn)較為明顯，出現(xiàn)了水位不連續(xù)的現(xiàn)象，而基于修正的圣維南方程的計(jì)算結(jié)果則較為理想的改善了這一情況。這體現(xiàn)了利用修正圣維南方程進(jìn)行自然河道水力計(jì)算的優(yōu)越性。

2.2 涑水河段水力計(jì)算

涑水河流域發(fā)源于絳縣的陳村峪，河流總長(zhǎng)為195 km。流域范圍包括聞喜縣、夏縣、鹽湖區(qū)、臨猗縣、永濟(jì)市的絕大部分和絳縣、萬(wàn)榮縣的一部分。根據(jù)河道特性可將涑水河分為四個(gè)河段：呂莊水庫(kù)以上河段長(zhǎng)54 km，河型為“V”字形，縱坡1/70。呂莊水庫(kù)至上馬水庫(kù)段長(zhǎng)41km，為復(fù)式斷面，復(fù)槽最寬處達(dá)1600m，主槽10～20 m，縱坡1/700；上馬水庫(kù)至伍姓湖段長(zhǎng)64 km，為人工開(kāi)挖，窄深式，縱坡為1/850；伍姓湖至入黃口段長(zhǎng)37 km，縱坡為1/4 000，河床比較穩(wěn)定。

研究河段為陳村峪～楊家園水庫(kù)河段，該河段位于涑水河上游，其中有紫家峪和冷口峪支流匯入，因此將該研究河段分為三個(gè)小河段分別進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)《山西省運(yùn)城市涑水河重點(diǎn)河道治理工程初步設(shè)計(jì)報(bào)告（陳村峪～伍姓湖入口）》和《山西省運(yùn)城市涑水河重點(diǎn)河道治理工程初步設(shè)計(jì)圖紙（陳村峪～上馬水庫(kù)）》得到計(jì)算河段設(shè)計(jì)洪峰流量成果表，如表1所示。同時(shí)分析以下三種情況：設(shè)計(jì)情況，在設(shè)計(jì)洪峰流量條件下，在設(shè)計(jì)圖紙中標(biāo)注的設(shè)計(jì)河床高程以及設(shè)計(jì)水位數(shù)據(jù)；計(jì)算情況（修正法），在設(shè)計(jì)洪峰流量條件下，河床高程數(shù)據(jù)同設(shè)計(jì)情況，但未獲得計(jì)算河段準(zhǔn)確的斷面數(shù)據(jù)，因此采用從紙質(zhì)的設(shè)計(jì)圖紙中量取的斷面形態(tài)數(shù)據(jù)，采用修正的圣維南方程和SLIC數(shù)值格式計(jì)算水位；計(jì)算情況（傳統(tǒng)法），除糙率采用傳統(tǒng)綜合糙率法計(jì)算外，其它同計(jì)算情況（修正法）。

表1 陳村峪～楊家園水庫(kù)各區(qū)間設(shè)計(jì)洪峰流量成果表（P=5%）

首先，采用設(shè)計(jì)情況的數(shù)據(jù)進(jìn)行復(fù)核，該河段的佛氏數(shù)圖如圖4所示。從圖中可以看出，在陳村峪～楊家園水庫(kù)上游河段的佛氏數(shù)大于1、等于1和小于1的情況均有出現(xiàn)，說(shuō)明出現(xiàn)了急流或者急緩流交替的急變情況，在這樣的情況下，僅適用于漸變流假設(shè)條件下的恒定非均勻流數(shù)值模型理論顯然存在缺陷。因此需采用本文提出的基于完整的一維圣維南方程并結(jié)合SLIC數(shù)值計(jì)算格式求解該河段的水面曲線。

圖4 陳村峪～楊家園水庫(kù)河段佛氏數(shù)圖

圖5 陳村峪～楊家園水庫(kù)河段水深圖

圖6 陳村峪～楊家園水庫(kù)河段水位圖

圖7 陳村峪～楊家園水庫(kù)河段傳統(tǒng)法與修正法水深比較圖

在設(shè)計(jì)情況和計(jì)算情況（修正法）下的水深、水位結(jié)果如圖5、圖6所示。從圖中可以看出，設(shè)計(jì)水位與計(jì)算水位的趨勢(shì)相對(duì)一致，但是個(gè)別斷面差距較大，水深差值最大值出現(xiàn)在樁號(hào)為30+000前后的河床陡坎處，地形發(fā)生較大的突變。同時(shí)，考察計(jì)算情況（修正法）和計(jì)算情況（傳統(tǒng)法）下的水深結(jié)果，如圖7所示，兩者計(jì)算結(jié)果差異非常小，在該計(jì)算河段中綜合糙率估算方法對(duì)水深差異的影響幾乎可以忽略。因此，引起水深差異主要原因一方面來(lái)自水力學(xué)數(shù)值模型的差異，另一方面還有地形的影響，由于無(wú)法獲得計(jì)算河段準(zhǔn)確的斷面數(shù)據(jù)，只能利用紙質(zhì)設(shè)計(jì)圖紙中量取估計(jì)的斷面形態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，這使得計(jì)算斷面與實(shí)際設(shè)計(jì)斷面數(shù)據(jù)存在了較大差異。

由于涑水河上游出現(xiàn)跨臨界流的急變流情況，利用經(jīng)過(guò)修正一維圣維南方程，并采用SLIC數(shù)值格式求解水力要素，解決涑水河上游河段出現(xiàn)跨臨界流的急緩流交替情況下的水力計(jì)算問(wèn)題，將最新的現(xiàn)代計(jì)算水力學(xué)理論運(yùn)用于實(shí)際工程計(jì)算中，體現(xiàn)了其優(yōu)越性和先進(jìn)性。

3 結(jié)論

在實(shí)際河道工程計(jì)算中，往往需要對(duì)水流流態(tài)進(jìn)行判斷，當(dāng)水流中出現(xiàn)急流、緩流、臨界流共存急變流情況下，傳統(tǒng)恒定非均勻水流數(shù)學(xué)模型的適用性就值得商榷。本文基于完整的圣維南方程和有限體積數(shù)值計(jì)算格式，開(kāi)發(fā)了自然河道一維水流數(shù)學(xué)模型，可廣泛適用于恒定或非恒定、均勻或非均勻以及急流、緩流和臨界流共存的河流之水力計(jì)算。對(duì)涑水河的實(shí)例（數(shù)值模擬）研究顯示了其適用性與優(yōu)越性。

［1］劉 洋.幾種水面線推算方法的比較［J］.人民黃河，2011，33（2）:51-53.

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