黃 偉

（湖北漢川一中，湖北 漢川 431600）

用摩擦角結(jié)合圖示分析求解力學(xué)中的摩擦臨界極值問(wèn)題較簡(jiǎn)單.

1 基本概念和規(guī)律

1.1 摩擦角

圖1

1.2 自鎖現(xiàn)象

圖2

如圖2可得，若沿與法線成角θ≤φ的方向?qū)物體施力F推它，則該力沿A、B接觸面切線方向的分力大小Fx＝Fsinθ＝Fytanθ，其中Fy為F沿法線方向的分量，以FN表示B對(duì)A的支持力，fm表示A、B間的最大靜摩擦力，在FN≥Fy的情況下，有Fx＝Fytanθ＜FNtanφ＝fm.

表示無(wú)論F多大，都不能使A、B間發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，這一現(xiàn)象叫“自鎖現(xiàn)象”.

同理可證明：豎直面和傾斜面上產(chǎn)生自鎖的條件和水平面的情況相同.

2 基本概念和規(guī)律的應(yīng)用

2.1 自鎖中的臨界問(wèn)題

在靜摩擦因素μ一定的情況下，實(shí)現(xiàn)自鎖有以下兩種途徑.

（1）通過(guò)控制力的方向而自鎖.

例1.（2012年高考課標(biāo)卷24題）拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具（如圖3）.設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可以忽略；拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g，某學(xué)生用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ.

（1）若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小.

圖3

（2）設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對(duì)拖把的正壓力的比值為λ.已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng).求這一臨界角的正切tanθ0.

解析：（1）由題意易知，

（2）常規(guī)解法：

聯(lián)立（1）～（3）式得

當(dāng)F無(wú)限大時(shí)右式極值為0，則

摩擦角解法：由題意，剛好開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的水平推力等于此時(shí)拖把受到的最大靜摩擦力fm，則比值λ即為拖把頭與地板間的靜摩擦因數(shù)，臨界角θ0即為靜摩擦角φ，設(shè)地板對(duì)拖把的正壓力為FN，由自鎖現(xiàn)象的結(jié)論則可得

（2）通過(guò)控制傾斜面的方向而自鎖.

圖4

例2.如圖4所示，質(zhì)量為m的物體放在斜面上，當(dāng)斜面傾角θ為30°時(shí)恰能沿斜面勻速下滑.保持θ為30°，對(duì)物體施加一水平向右的恒力F，使物體沿斜面勻速向上滑行（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）.增大θ，當(dāng)θ超過(guò)某一臨界角θ0時(shí)，則不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行，已知重力加速度為g，試求：

（1）物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ.

（2）這一臨界角θ0的大小.

（2）如圖5，設(shè)物體具有沿斜面上滑的趨勢(shì)，F(xiàn)與法線間的夾角為α，摩擦角為φ，物體受4個(gè)力，即F，mg，F(xiàn)N，f.則

圖5

由自鎖現(xiàn)象的結(jié)論可得當(dāng)α≤φ＝30°時(shí)，不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行，由幾何關(guān)系可得

2.2 平衡中的極值問(wèn)題

此類問(wèn)題分水平面和傾斜面上求極值兩種情況，方法同理，在此以水平面為例.

例3.如圖6所示，在水平地面上放有一質(zhì)量為m的物體，它與地面動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)對(duì)物體施加一拉力F，使其沿地面勻速直線運(yùn)動(dòng)，求F的最小值及方向.

解析：如圖7所示，設(shè)F與水平面夾角為θ，摩擦角為φ，物體受4個(gè)力，即mg、F、FN、f，合力為0.如圖8所示，mg一定，由摩擦角的知識(shí)可知FN與f的合力FR方向一定，則F與FR垂直時(shí)F最小.即

圖6

圖7

圖8

2.3 勻變速直線運(yùn)動(dòng)中的極值問(wèn)題

此類問(wèn)題同樣分水平面和傾斜面上求極值兩種情況，方法同理，在此以傾斜面為例.

圖9

（1）求物塊加速度的大小及到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小.

（2）拉力F與斜面的夾角多大時(shí)，拉力F最??？拉力F的最小值是多少？

解 析：（1）由題意易知，

（2）常規(guī)解法：設(shè)F與斜面間夾角為α，物塊受力如圖10所示，則

圖10

聯(lián)立（3）～（5）式得

由數(shù)學(xué)知識(shí)得

摩擦角圖解法：物塊受力如圖11所示，合力為F合＝ma，方向沿斜面向上.由摩擦角的知識(shí)可知：拉力F方向改變，摩擦角φ不變，即FN與f的合力FR方向一定，有

力的合成如圖12所示，當(dāng)F與FR垂直時(shí)，F(xiàn)最小.由幾何關(guān)系易得

α＝φ，即α＝30°.

圖11

圖12

此類平衡和勻變速直線運(yùn)動(dòng)中有摩擦力的極值問(wèn)題，都可用摩擦角圖解法，尤其是在4個(gè)力的作用下求F的最小值，引入摩擦角可將4個(gè)力等效為3個(gè)力來(lái)處理，這3個(gè)力中，F(xiàn)R方向定，另一個(gè)力大小方向定，則第3個(gè)力F與FR垂直時(shí)最小.

由此可見(jiàn)，解此類摩擦臨界極值問(wèn)題，摩擦角的圖解法與函數(shù)求極值相比，物理意義更加明確，通俗易懂.