盛慶紅，陳姝文，費(fèi)利佳，柳建鋒，王惠南

南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，江蘇 南京 210016

1 引 言

機(jī)載激光雷達(dá)（light detection and ranging，LiDAR）系統(tǒng)中的激光點(diǎn)云與航空影像集成是地物分類(lèi)與識(shí)別等攝影測(cè)量與遙感領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［1－3］，其首要任務(wù)是通過(guò)尋找同名特征確定點(diǎn)云與影像兩者之間的相對(duì)位姿信息。常用的特征主要有點(diǎn)特征和線(xiàn)特征。由于點(diǎn)云具有離散性，二者的配準(zhǔn)一般先將點(diǎn)云內(nèi)插成圖像，這會(huì)引入內(nèi)插誤差［4］，也可先對(duì)影像進(jìn)行密集匹配獲取點(diǎn)云，但需要較好的初值［5］。而通過(guò)直接在點(diǎn)云與影像之間匹配建筑物上的同名直線(xiàn)，不需要對(duì)點(diǎn)云進(jìn)行內(nèi)插或者對(duì)影像進(jìn)行密集匹配，避免了此階段產(chǎn)生的誤差。由于線(xiàn)特征比點(diǎn)特征更容易提取，且具有更強(qiáng)的幾何拓?fù)湫院蛶缀渭s束性［6］，因此直線(xiàn)特征廣泛應(yīng)用于空間前方交會(huì)和空間后方交會(huì)［7］、相對(duì)定向和絕對(duì)定向［8］、三維重建［9］、影像幾何糾正［10］以及配準(zhǔn)［11］等。根據(jù) LiDAR點(diǎn)云與影像中的同名直線(xiàn)以及攝影中心共面的原理，可實(shí)現(xiàn)基于線(xiàn)特征的二者配準(zhǔn)［12］，在此基礎(chǔ)上，以廣義點(diǎn)距離［13］作為相似性測(cè)度，配準(zhǔn)精度可達(dá)3.6個(gè)像素。采用共線(xiàn)條件方程作為配準(zhǔn)模型，利用線(xiàn)特征代替點(diǎn)特征，平面精度小于0.5m［14］。在LiDAR點(diǎn)云中提取建筑物邊緣上的角特征，將角點(diǎn)當(dāng)作控制點(diǎn)，利用光束法區(qū)域網(wǎng)平差解求影像的外方位元素，其平面中誤差從配準(zhǔn)前的0.96m提高到0.25m［15］。利用LiDAR點(diǎn)云與影像的直線(xiàn)特征作為配準(zhǔn)基元，將LiDAR直線(xiàn)作為控制納入三角測(cè)量，平面中誤差達(dá)到0.05m［16］。在立體像對(duì)和LiDAR數(shù)據(jù)上提取相交直線(xiàn)及交點(diǎn)，用基于光束法平差的空三測(cè)量法修正影像的外方位元素，其中誤差從0.5～2m減小到0.05m以下［17］。綜上所述，利用線(xiàn)特征進(jìn)行LiDAR點(diǎn)云與影像配準(zhǔn)，其結(jié)果是可靠的。上述方法大多采用共面條件或共線(xiàn)條件方程作為配準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型，分別采用正交旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，影像的線(xiàn)方位元素和角方位元素是分開(kāi)求解的，而外方位定向元素之間存在相關(guān)性，如Xs與φ、Ys與ω等，從而導(dǎo)致誤差方程系數(shù)矩陣的列向量之間存在近似的線(xiàn)性關(guān)系，即回歸分析中所謂的復(fù)共線(xiàn)性，在復(fù)共線(xiàn)性存在的情況下，最小二乘估計(jì)的均方差較大，不再是最優(yōu)估計(jì)。

實(shí)際上，影像的位置和姿態(tài)隨著時(shí)間一起發(fā)生變化，其分而治之的處理方式必然引入轉(zhuǎn)動(dòng)和平移的耦合誤差，因此轉(zhuǎn)動(dòng)和平移的統(tǒng)一考慮不僅可簡(jiǎn)化配準(zhǔn)模型，更能夠提高影像位姿的配準(zhǔn)精度。對(duì)偶四元數(shù)是表達(dá)剛體空間線(xiàn)變換的最簡(jiǎn)潔最有效的方式［18］，其本質(zhì)是將剛體的運(yùn)動(dòng)變換用轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)的組合，即螺旋式運(yùn)動(dòng)進(jìn)行表示。在此基礎(chǔ)上建立的Plücker直線(xiàn)幾何代數(shù)，其轉(zhuǎn)換組合等計(jì)算在數(shù)字上更穩(wěn)定，在空間線(xiàn)變換應(yīng)用中用螺旋的Plücker坐標(biāo)更加有效，已在結(jié)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域得到驗(yàn)證。在計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域，利用Plücker坐標(biāo)進(jìn)行絕對(duì)二次曲線(xiàn)的描述，消除了由于鏡頭伸縮引起的投影誤差，實(shí)現(xiàn)了不同類(lèi)型相機(jī)的自動(dòng)檢校［19］。在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)領(lǐng)域，利用Plücker直線(xiàn)坐標(biāo)描述串行連桿機(jī)構(gòu)，能同時(shí)克服奇異問(wèn)題和避免機(jī)構(gòu)煩瑣的D－H法描述［20］。在航天器探測(cè)制導(dǎo)與控制領(lǐng)域，利用Plücker直線(xiàn)方程將目標(biāo)航天器和追蹤航天器坐標(biāo)系統(tǒng)一表示，通過(guò)對(duì)偶四元數(shù)進(jìn)行相對(duì)位置和姿態(tài)的統(tǒng)一求解，避免了傳統(tǒng)算法中位置和姿態(tài)分開(kāi)求解的復(fù)雜過(guò)程，程序簡(jiǎn)潔，計(jì)算速度大大提高，節(jié)省了可貴的機(jī)上資源［21］。但到目前為止，Plücker直線(xiàn)在攝影測(cè)量領(lǐng)域中的應(yīng)用還未有報(bào)道。本文根據(jù)Plücker直線(xiàn)方程確定點(diǎn)云和影像中的同名直線(xiàn)間的相對(duì)位姿關(guān)系，利用Plücker直線(xiàn)建立共面條件方程，用對(duì)偶四元數(shù)同時(shí)考慮旋轉(zhuǎn)變換和平移變換，實(shí)現(xiàn)機(jī)載LiDAR點(diǎn)云與航空影像的高精度配準(zhǔn)。

2 基于Plücker直線(xiàn)的LiDAR點(diǎn)云與航空影像配準(zhǔn)模型

2.1 Plücker直線(xiàn)

如圖1所示，a＝ （L，M，N）是三維空間內(nèi)任意一條直線(xiàn)l的方向矢量，p是l上任意一點(diǎn)p的位置矢量，l＝ （L0，M0，N0）是l相對(duì)于原點(diǎn)O的矩矢量，由6個(gè)有序數(shù)（L，M，N，L0，M0，N0）可確定一條有向直線(xiàn)，稱(chēng)為直線(xiàn)的Plücker坐標(biāo)，用Plücker坐標(biāo)表示的直線(xiàn)稱(chēng)為Plücker直線(xiàn)。

圖1 三維線(xiàn)空間中的Plücker坐標(biāo)Fig.1 Plücker coordinate of an arbitrary line in space

由于方向矢量和矩矢量之間滿(mǎn)足以下關(guān)系［22］

因此Plücker坐標(biāo)滿(mǎn)足條件［22］

而對(duì)于任意不為0的μ，（μa，μl） 表示的是同一條直線(xiàn)，因此Plücker坐標(biāo)還滿(mǎn)足條件［22］

因此三維線(xiàn)空間中的Plücker直線(xiàn)有4個(gè)自由度。雖然三維線(xiàn)空間比三維點(diǎn)空間多了一個(gè)維度，但是三維線(xiàn)空間更易于描述直線(xiàn)的平行、相交和異面等空間位置關(guān)系［22］。

2.2 Plücker直線(xiàn)表示的空間螺旋運(yùn)動(dòng)

為了描述直線(xiàn)在三維線(xiàn)空間中的坐標(biāo)變換，一般用單位對(duì)偶矢量將Plücker直線(xiàn)表示為［22－23］，其中ε為對(duì)偶單位，滿(mǎn)足：ε2＝0，ε≠0。如圖2所示，l1圍繞螺旋軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)偶角后得到l2，則 Plücker直線(xiàn)螺旋 運(yùn)動(dòng)方程為［22］

圖2 Plücker直線(xiàn)表示的空間螺旋運(yùn)動(dòng)Fig.2 Plücker linear spiral movement of space

2.3 Plücker直線(xiàn)共面條件配準(zhǔn)方程

如圖3所示，l1為一條航空影像直線(xiàn)，l2為l1對(duì)應(yīng)的LiDAR點(diǎn)云上的空間直線(xiàn)，l1過(guò)點(diǎn)p和g，l2過(guò)點(diǎn)P和G，則l1、l2和攝影中心S共面。由于只需要任意兩個(gè)像點(diǎn)確定像方直線(xiàn)，任意兩個(gè)空間點(diǎn)確定同名空間直線(xiàn)，因此p與P、g與G并不要求是同名點(diǎn)，這是直線(xiàn)攝影測(cè)量的最大優(yōu)點(diǎn)。

p、P、G和S4點(diǎn)間的共面條件方程為［24］

式中，（XP，YP，ZP）、（XG，YG，ZG）分別為P、G在WGS－84坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；（XS，YS，ZS）是S在WGS－84坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，即影像的線(xiàn)元素；R為影像的角元素組成的旋轉(zhuǎn)矩陣；（up，vp，wp）為p在 WGS－84坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；（xp，yp）是p的像平面坐標(biāo)；f是相機(jī)焦距。

圖3 Plücker直線(xiàn)共面條件配準(zhǔn)模型Fig.3 The registration model of Plücker linear coplanar condition equation

由于式（4）的有4個(gè)自由度有2個(gè)自由度，符合影像作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)6個(gè)自由度的要求，因此可用式（4）表示Plücker直線(xiàn)l1和l2之間的旋轉(zhuǎn)和平移關(guān)系，即在幾何意義上建立了像平面坐標(biāo)系和WGS－84坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換關(guān)系，那么LiDAR點(diǎn)云與航空影像的配準(zhǔn)的關(guān)鍵是求解。設(shè)的 矩 陣 形 式 為，則l1到l2的空間螺旋運(yùn)動(dòng)可表示為［25］

式（4）在幾何意義上建立了Plücker直線(xiàn)和的關(guān)系，式（6）可建立和外方位元素的關(guān)系，再利用式（5）解算。式（5）和式（6）為Plücker直線(xiàn)共面條件配準(zhǔn)方程，將Plücker直線(xiàn)共面條件配準(zhǔn)方程線(xiàn)性化，對(duì)按照泰勒公式展開(kāi)至一次項(xiàng)，嚴(yán)密解算公式如下

式中

從式（4）中可以看出，配準(zhǔn)時(shí)的螺旋運(yùn)動(dòng)模型簡(jiǎn)潔，通過(guò)對(duì)偶四元數(shù)作用于Plücker直線(xiàn)，能同時(shí)解算旋轉(zhuǎn)與平移，避免姿態(tài)和位置間的耦合誤差，同時(shí)誤差方程式（7）采用了嚴(yán)密解算，避免了三角函數(shù)計(jì)算帶來(lái)的奇異［26］和溢出［27］問(wèn)題，從而降低了問(wèn)題處理的復(fù)雜度，提高了影像的配準(zhǔn)精度。

2.4 平差解算

將誤差方程式V寫(xiě)成矩陣形式為

式中

由于是單位對(duì)偶四元數(shù)，因此V還存在兩個(gè)約束條件［25］

對(duì)式（9）線(xiàn)性化，可得約束條件方程的矩陣形式為

式中

如果有n對(duì)同名直線(xiàn)，對(duì)每對(duì)直線(xiàn)按照式（8）可列一個(gè)誤差方程，則Plücker直線(xiàn)共面條件配準(zhǔn)方程的整體平差公式為

利用帶條件的間接平差法建立法方程式為

式中，K為過(guò)渡性數(shù)值。

2.5 精度評(píng)價(jià)

由于式（7）的常數(shù)項(xiàng)F以立方米為單位，不易判斷像點(diǎn)p是否位于SPG平面上，難以進(jìn)行精度評(píng)價(jià)。為此，可利用點(diǎn)p到SPG平面的距離k作為誤差方程式的常數(shù)項(xiàng)，則單位變?yōu)槊?，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為像素。由S、P和G構(gòu)成的平面方程為：CX＋DY＋EZ＝0，式中C、D、E的定義見(jiàn)式（7）。若像點(diǎn)p與“SPG 平面”共面，則［24］

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證本文提出的Plücker直線(xiàn)法實(shí)現(xiàn)LiDAR點(diǎn)云與航空影像配準(zhǔn)的可行性，利用德國(guó)Vaihingen區(qū)域的一幅航空影像與機(jī)載LiDAR數(shù)據(jù)進(jìn)行配準(zhǔn)試驗(yàn)，測(cè)區(qū)建筑物較密集。航空影像由美國(guó)Z／I Imaging公司的數(shù)字航測(cè)相機(jī)（digital mapping camera，DMC）獲取。DMC相機(jī)焦距為120mm，CCD像元大小為0.012mm，航高約為900m，影像地面分辨率為8cm，輻射分辨率為11位，像幅大小為7680像元×13 824像元。由Leica ALS50系統(tǒng)采集LiDAR數(shù)據(jù)，視場(chǎng)角為45°，平均飛行高度為500m，平均航帶重疊為30%，中值點(diǎn)密度為6.7點(diǎn)／m2，航帶內(nèi)平均點(diǎn)密度為4點(diǎn)／m2。測(cè)區(qū)內(nèi)有多條航帶，本試驗(yàn)中選擇與航空影像相對(duì)應(yīng)的兩條航帶LiDAR數(shù)據(jù)，同名直線(xiàn)分布如圖4所示，其中黃色線(xiàn)段表示的Plücker直線(xiàn)用于配準(zhǔn)，共17條；綠色線(xiàn)段表示的Plücker直線(xiàn)為檢查直線(xiàn)，共6條。

攝影測(cè)量中，欲進(jìn)行空間兩個(gè)直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，一般以外方位角元素φ、ω、κ系統(tǒng)，即歐拉角法來(lái)確定旋轉(zhuǎn)矩陣，是解算影像外方位元素的最常用方法［28］。試驗(yàn)中分別應(yīng)用歐拉角法和Plücker直線(xiàn)法求解影像的外方位元素，結(jié)果相同，都為XS＝653 775.55m、YS＝4 149 669.03 m、ZS＝4 784 768.31m、φ＝ －7.78°、ω＝ －40.05°和κ＝ －11.63°，驗(yàn)證了Plücker直線(xiàn)共面條件配準(zhǔn)模型的正確性。兩種方法的理論配準(zhǔn)精度對(duì)比見(jiàn)表1。從表1的結(jié)果可知，在精度評(píng)價(jià)方面，Plücker直線(xiàn)法相比歐拉角法線(xiàn)元素的中誤差略有提高，歐拉角法解算的角元素中誤差分別為0.162 016°、0.084 349°和0.100 372°，Plücker直線(xiàn)法解算的角元素中誤差分別為0.086 295°、0.059 783°和0.052 246°，相比歐拉角法分別提高了46.7%、29.1%和47.9%，平均提高了41.2%。由于Plücker直線(xiàn)法用對(duì)偶四元數(shù)代替歐拉角，避免了轉(zhuǎn)動(dòng)和平移的耦合誤差及繁瑣的三角函數(shù)運(yùn)算，因此角元素精度的提高較為顯著。在計(jì)算效率方面，Plücker直線(xiàn)法與歐拉角法的計(jì)算時(shí)間相同。

表1 理論配準(zhǔn)精度對(duì)比Tab.1 Comparison of theoretical accuracy

在點(diǎn)云上人工量取用于檢查的Plücker直線(xiàn)以及對(duì)應(yīng)影像上的直線(xiàn)，通過(guò)點(diǎn)云上Plücker直線(xiàn)在三維線(xiàn)空間中的螺旋運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)LiDAR點(diǎn)到其對(duì)應(yīng)像點(diǎn)的坐標(biāo)變換。圖5顯示了配準(zhǔn)前和配準(zhǔn)后局部區(qū)域的配準(zhǔn)效果。在LiDAR點(diǎn)云中截取建筑物屋頂點(diǎn)云，根據(jù)影像外方位元素將屋頂點(diǎn)云投影到影像上，圖中白色的點(diǎn)表示投影的屋頂點(diǎn)。圖5中共有5組圖片，每一組圖片的左邊為配準(zhǔn)前的投影結(jié)果，由于原始影像的外方位元數(shù)并不準(zhǔn)確，可以看到屋頂投影點(diǎn)與屋頂?shù)膶?shí)際位置存在較大的錯(cuò)位。右邊為配準(zhǔn)后用修正的外方位元素重新投影的結(jié)果，可以看出配準(zhǔn)之后屋頂投影點(diǎn)與屋頂?shù)膶?shí)際位置基本套合。

對(duì)圖5中5組圖像共5條檢查直線(xiàn)進(jìn)行定量分析，將點(diǎn)云直線(xiàn)利用＾q投影到影像上，分別計(jì)算它們與像方直線(xiàn)的距離，配準(zhǔn)精度見(jiàn)表2。分析表2可以發(fā)現(xiàn)，各條直線(xiàn)的誤差分別為－0.059、0.106、0.101、0.162、和0.520個(gè)像素，平均誤差為0.19個(gè)像素。

4 結(jié) 論

針對(duì)機(jī)載LiDAR點(diǎn)云與航空影像的數(shù)據(jù)融合問(wèn)題，本文提出了一種Plücker直線(xiàn)共面條件配準(zhǔn)模型。根據(jù)點(diǎn)云直線(xiàn)與影像直線(xiàn)滿(mǎn)足共面條件的原理，利用Plücker坐標(biāo)構(gòu)建共面條件方程，推導(dǎo)了Plücker直線(xiàn)共面條件方程各項(xiàng)的偏導(dǎo)數(shù)，建立了一般形式和基于距離的誤差方程式，最終確定了點(diǎn)云和影像中的同名直線(xiàn)間的相對(duì)位姿關(guān)系，獲得了影像的外方位元素。結(jié)果表明，Plücker直線(xiàn)共面條件配準(zhǔn)模型數(shù)學(xué)表達(dá)式直觀(guān)、明了，并且由于在坐標(biāo)系變換過(guò)程中統(tǒng)一考慮了旋轉(zhuǎn)和平移，避免了二者的耦合誤差，影像的角元素的理論精度平均提高了41.2%。將點(diǎn)云中的檢查直線(xiàn)投影到影像，實(shí)際誤差為0.2個(gè)像素，達(dá)到了高精度三維測(cè)圖的要求。根據(jù)Plücker直線(xiàn)方程在進(jìn)行連續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)的優(yōu)勢(shì)，下一步的研究計(jì)劃是研究序列航空影像與LiDAR點(diǎn)云的配準(zhǔn)。

表2 配準(zhǔn)精度Tab.2 Registration accuracy

圖4 同名直線(xiàn)分布圖Fig.4 Distribution of conjugate lines

圖5 配準(zhǔn)前后對(duì)比Fig.5 Comparison before and after registration

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