陳立群，　姜文安

關(guān)于內(nèi)共振壓電能量采集器

陳立群a，b，c，姜文安b

（上海大學(xué)a.力學(xué)系，上海200444；b.上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所；c.上海市力學(xué)在能源工程中的應(yīng)用重點實驗室，上海200072）

內(nèi)共振可以加強(qiáng)壓電能量采集器.忽略電量的耦合，導(dǎo)出了內(nèi)共振條件的解析表達(dá)式，與考慮電量耦合的精確情形相比，誤差很小.數(shù)值計算輸出電壓的均方根表明，用該方法設(shè)計的內(nèi)共振壓電能量采集器在Gauss白噪聲、2階濾波產(chǎn)生的色噪聲、窄帶色噪聲和指數(shù)相關(guān)色噪聲激勵下，都有良好的性能.

內(nèi)共振；能量采集；隨機(jī)激勵

振動型能量采集器近年來成為研究熱點［1］，其中壓電能量采集更受到廣泛關(guān)注［2］.振動型能量采集的工作原理是共振，因此只能采集特定頻率成分的能量.如何使能量采集器在更廣泛的外激勵頻率上工作成為改進(jìn)能量采集效果的關(guān)鍵問題.解決該問題的一種途徑是引入非線性，利用非線性振動系統(tǒng)的軟特性或硬特性擴(kuò)寬能量采集器工作頻率范圍，相關(guān)工作在文獻(xiàn)［3］中有全面評述.這些工作都未涉及內(nèi)共振的應(yīng)用，而內(nèi)共振也是非線性振動的突出特性.本文作者近期工作應(yīng)用內(nèi)共振的特性壓電能量采集器［4］和磁電式能量采集器［5］，分析內(nèi)共振時，先要確定線性派生系統(tǒng)的頻率，由此導(dǎo)出內(nèi)共振時系統(tǒng)參數(shù)需要滿足的條件.能量采集器系統(tǒng)的特點是機(jī)械量和電量互相耦合，因此只能用數(shù)值方法得到內(nèi)共振時的特定參數(shù)［4］，而無法得到內(nèi)共振條件的顯式表達(dá).文獻(xiàn)［5］中分析磁電式能量采集器時，忽略了電量耦合對頻率的影響.本文研究壓電式能量采集器，忽略電量耦合而得到內(nèi)共振條件的解析表達(dá)式.與以往結(jié)果［4］比較，誤差很小.數(shù)值仿真表明，在不同的隨機(jī)激勵下，該方法設(shè)計的內(nèi)共振能量采集器比其他幾種設(shè)計有更好的能量采集效果.

1　力學(xué)和數(shù)學(xué)模型

壓電式振動型能量采集器如圖1所示［4］，以平衡位置為坐標(biāo)原點，兩個質(zhì)量為m1和m2的物塊相對于框架的位移分別為x1和x2，正方向向上，帶壓電環(huán)節(jié)的主質(zhì)量m1通過剛度系數(shù)為k1的彈簧和黏性阻尼系數(shù)為c1的阻尼器與框架連接，主質(zhì)量m1上還通過剛度系數(shù)為k2的彈簧和黏性阻尼系數(shù)為c2的阻尼器連接附加質(zhì)量m2.3塊磁鐵，2塊固定在框架上，1塊固定在質(zhì)量m1上，作用力方向如圖1所示.壓電部分，電阻、電容、輸出電壓和機(jī)電耦合系數(shù)分別為Rl、C、υ和θ.盡管系統(tǒng)的機(jī)械部分有2個自由度，但只有1個電回路，因此仍然是單模態(tài)的能量采集器.

圖1　壓電式振動型能量采集器Fig.1　Apiezoelectricvibrationbasedenergyharvester

2　內(nèi)共振條件

式（1）～（3）給出非線性振動系統(tǒng)，若該系統(tǒng)的線性派生系統(tǒng)固有頻率成比例時，又可能出現(xiàn)內(nèi)共振.在式（1）、（2）中略去非線性項、阻尼項和激勵項，并忽略機(jī)電系統(tǒng)之間的耦合，得

系統(tǒng)的頻率方程為

即解得固有頻率為

若有實數(shù)λ使得2個固有頻率之間具有關(guān)系

則由式（8）可導(dǎo)出

3　不同類型隨機(jī)振動的采集能量

為說明內(nèi)共振的優(yōu)越性，在不同隨機(jī)激勵下計算壓電能量采集器輸出電壓的均方根值：壓電能量采集器考慮3種兩自由度情形.固定參數(shù)m1=1.0，m2=0.2，k1=1.0，c1=0.01，c2= 0.005，a=1.0，b=0.5，θ=0.05，Rl=200和C= 0.1.兩自由度情形，通過k2的選擇使得2個固有頻率ω2／ω1比為3和大于或小于3的無理數(shù)（見表1）.作為比較，也考慮2種單自由度情形.1種不附加質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，即m2=0，k2=0，c2=0，此時ω1= 1.4142；另1種將質(zhì)量m2直接固定在m1上，即質(zhì)量由m1變?yōu)閙1+m2，此時ω1=1.2910.

不忽略電量耦合時，文獻(xiàn)［4］中得到了出現(xiàn)1∶3內(nèi)共振所需要的參數(shù)值和相應(yīng)的前2階固有頻率，兩者比較如表2所示.因此忽略電量耦合產(chǎn)生的影響很小.

表1　兩自由度能量采集器的不同參數(shù)Tab.1　Different parameters of the 2degreeoffreedom energy harvester

表2　電量耦合的影響Tab.2　The effects of electric coupling

數(shù)值仿真中，初始條件選為系統(tǒng)平衡位置，即）在給定初始條件下，可以用4階Runge-Kutta法數(shù)值求解式（1）～（3）.

3.1白噪聲激勵

基礎(chǔ)激勵為標(biāo)準(zhǔn)差為σf的隨機(jī)激勵f（t）［7］.輸出電壓均方根值隨標(biāo)準(zhǔn)差的變化如圖2所示.當(dāng)σf＞0.07，內(nèi)共振導(dǎo)致最大的輸出電壓.而當(dāng)σf＜0.07時，內(nèi)共振的優(yōu)勢不明顯.這可能是因為激勵太小而不足以引發(fā)系統(tǒng)中的非線性效應(yīng).

3.22階濾波定義的色噪聲激勵

色噪聲隨機(jī)激勵f（t）由2階濾波

定義［8］，式中：Ω為中心頻率；β為帶寬；ξ（t）為零均值和特定標(biāo)準(zhǔn)差σξ的白噪聲.中心頻率是影響能量采集的關(guān)鍵因素.當(dāng)σξ=0.12和β=0.5時輸出電壓均方根隨中心頻率的變化如圖3（a）所示，對于不同的設(shè)計，第1線性派生頻率在1.274 3和1.414 2之間變化.由圖可知，內(nèi)共振產(chǎn)生的輸出電壓在靠近第1外共振，即1.0＜Ω＜2.0時遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他設(shè)計，而且這一優(yōu)點也保持到超過第2外共振，直到Ω=4.5.當(dāng)Ω=2.0和β=0.5時輸出電壓隨色噪聲強(qiáng)度的變化如圖3（b）所示，色噪聲強(qiáng)度用式（13）中的白噪聲ξ（t）的標(biāo)準(zhǔn)差表示σξ.結(jié)果表明，內(nèi)共振導(dǎo)致最大的輸出電壓，只有在2個小區(qū)間［0.045，0.065］和［0.135，0.150］例外.帶寬也影響輸出電壓，如圖3（c）所示.除0.30和0.35之間的小帶寬外，內(nèi)共振導(dǎo)致最大的輸出電壓，特別是在0.6和0.9之間的帶寬，優(yōu)勢更明顯.

圖2　不同參數(shù)下輸出電壓均方根隨Gauss白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的變化Fig.2　The averaged rootmeansquare output voltage versus the standard deviation of Gaussian white noise for different parameters

圖3　不同參數(shù)下輸出電壓均方根隨色噪聲（13）中心頻率、強(qiáng)度和帶寬的變化Fig.3　The averaged rootmeansquare output voltage versus the center frequency，intensity and bandwidth of colored noise（13）for different parameters

3.3窄帶噪聲激勵

考慮如下形式的窄帶噪聲激勵［9］

式中：A＞0為確定性振幅；Ω為中心頻率；ρ為頻率帶寬；W（t）為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程滿足（t）=ξ（t）；ξ（t）為零均值和特定標(biāo)準(zhǔn)差σξ的Gauss白噪聲.不同參數(shù)下中心頻率Ω對輸出電壓均方根值Vrms的影響如圖4（a）所示，其中ρ=0.2和A=0.8.內(nèi)共振導(dǎo)致最寬的外共振頻率范圍，該范圍覆蓋了另2種兩自由度系統(tǒng)和2種單自由度系統(tǒng)的外共振范圍；對于變化的中心頻率，除個別例外，內(nèi)共振也得到最大的輸出電壓.當(dāng)Ω=2和A=0.8時，不同參數(shù)下輸出電壓均方根隨頻率帶寬的變化，如圖4（b）所示.在大部分頻率帶寬上，內(nèi)共振產(chǎn)生的電壓最大.

3.4指數(shù)相關(guān)噪聲激勵

指數(shù)相關(guān)色噪聲激勵f（t）由Ornstein-Uhlenbeck方程定義［6］.式中：γ為噪聲帶寬；ξ（t）為零均值和特定標(biāo)準(zhǔn)差σξ的Gauss白噪聲.式（15）中白噪聲ξ（t）的標(biāo)準(zhǔn)差σξ可表示色噪聲強(qiáng)度.當(dāng)γ=0.5時，不同參數(shù)下激勵強(qiáng)度σξ對輸出電壓均方根Vrms的影響見圖5（a）.除了激勵強(qiáng)度非常小的情形，內(nèi)共振都產(chǎn)生最大的輸出電壓.給定σξ=0.2，在不同參數(shù)下，對于變化的帶寬γ，內(nèi)共振都給出最大的輸出電壓，如圖5（b）所示.

圖4　不同參數(shù)下輸出電壓均方根隨窄帶色噪聲（14）中心頻率和頻率帶寬的變化Fig.4　The averaged rootmeansquare output voltage versus the center frequency and frequency bandwidth of narrowband colored noise（14）for different parameters

圖5　不同參數(shù)下輸出電壓均方根隨指數(shù)相關(guān)色噪聲強(qiáng)度和帶寬的變化Fig.5　The averaged rootmeansquare output voltage versus the intensity and bandwidth of exponentially correlated noise for different parameters

4　結(jié)　語

本文研究一類非線性壓電能量采集器的設(shè)計中內(nèi)共振的作用.通過忽略電量對機(jī)械系統(tǒng)的影響，得到了內(nèi)共振條件的顯式表達(dá).數(shù)值仿真表明，在Gauss白噪聲、2階濾波給出的色噪聲、窄帶色噪聲和指數(shù)相關(guān)色噪聲4種激勵下，處于內(nèi)共振的能量采集器輸出電壓高于非內(nèi)共振的情形.

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（編輯呂丹）

On lnternal Resonance Piezoelectric Energy Harvesters

CHEN Liquna，b，c，JIANG Wen’anbb.S
（a.Department of Mechanics，Shang hai 2004 44，China；b.Shang hai Institute of Applied Mathematics and Mechanics；c.Shanghai Key Laboratory of Mechanics in Energy Engineering，Shanghai University，Shanghai 200072，Chin

Internal resonance can enhance piezoelectric energy harvesting. The explicit expression of internal resonance condition was derived via neglecting electric coupling.Compared with the exact vales with the account for the coupling，the errorswere small. Numerical calculations of averaged root-meansquare output voltages revealed that the piezoelectric energy harvester design via the approach performed well stimulated by the Gaussian white noise，the colored noise defined by a second-order filter，the narrow band noise，and exponentially correlated noise.

internal resonance；energy harvesting；random excitations

O 322

A

1671-7333（2015）03-0207-05

10.3969／j.issn.1671-7333.2015.03.001i

2015-04-13

國家自然科學(xué)基金重點資助項目（11232009）

陳立群（1963-），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為非線性動力學(xué)，連續(xù)體振動等.E-mail：lqchen＠staff.shu.edu.cn