繆 清

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 云南 昆明 650500)

帶p(x)-雙調(diào)和算子的四階橢圓型問題的多解性

繆 清

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 云南 昆明 650500)

利用極值原理結(jié)合山路定理研究了一類帶Navier邊值條件的四階橢圓型問題至少存在兩個(gè)非負(fù)、非平凡的弱解.

p(x)-雙調(diào)和算子; Navier邊值條件; 多解性; 山路定理

0 引言

令Ω為RN(N≥1)中的具有光滑邊界的有界子集,本文討論了一類p(x)-雙調(diào)和方程的多解性,

(1)

近年來,雙調(diào)和問題的解的存在性和多解性引起了許多學(xué)者的興趣[1-4]. 由于p(x)-雙調(diào)和算子是非齊次的,因此很多適用于p-雙調(diào)和算子的方法則不能直接應(yīng)用于p(x)-雙調(diào)和算子.Yin[1]利用Ricceri’s三臨界點(diǎn)定理,推廣了Li[2]的結(jié)果,研究了p(x)-雙調(diào)和問題

的多解性.Li[3]利用了等價(jià)的Ricceri’s三臨界點(diǎn)定理,研究了問題帶Navier邊值條件的p(x)-雙調(diào)和問題的多解性.Kong[4]應(yīng)用臨界點(diǎn)定理研究當(dāng)非線性項(xiàng)f(x,u)為b(x)|u|γ(x)-2u-c(x)|u|β(x)-2u時(shí)p(x)-雙調(diào)和問題非平凡解的存在性.Amrouss[5]應(yīng)用了Ricceri變分原理研究了不同邊值條件下p(x)-雙調(diào)和問題的多解性.

本文我們主要考慮問題(1)中當(dāng)非線性項(xiàng)為

時(shí),其中1

1 預(yù)備知識(shí)及引理

令

當(dāng)空間Lp(x)(Ω)賦予如下范數(shù)時(shí)

則(Lp(x)(Ω),|·|p(x))為Banach空間,稱之為廣義的Lebesgue空間.定義空間Wm,p(x)(Ω),

Wm,p(x)(Ω)={u∈Lp(x)(Ω)|Dαu∈Lp(x)(Ω),|α|≤m},

范數(shù)‖u‖a,‖u‖,|Δu|p(x).在X中是等價(jià)的[7].為表述方便,記X中的范數(shù)為‖u‖a.

(c)‖u‖a→0?ρ(u)→0.

2 主要結(jié)果

定義1u∈X稱為問題(1)的弱解如果對任意的v∈X滿足

定義函數(shù)Jλ:X→R為

Jλ(u)=Φ(u)-λΨ(u),

其中

則函數(shù)Jλ∈C1(X,R),且有

因此,Jλ的臨界點(diǎn)為問題(1)的弱解.如果u∈X為Jλ的臨界點(diǎn),則有

因此可以得到u≥0.

引理1[4]存在常數(shù)λ1>0,使得

引理2 函數(shù)Jλ是強(qiáng)制的,且有下界.

證明因?yàn)?

則對任意的λ>0,存在常數(shù)Cλ使得

其中λ1在引理1中給出,因此,對所有的‖u‖>1,有

因此Jλ是強(qiáng)制的,且有下界.

由引理2可知,存在u1∈X為函數(shù)Jλ的全局最小值.接下來的結(jié)果將說明當(dāng)λ>0充分大時(shí),u1≠0.

引理3 存在λ*>0,當(dāng)λ≥λ*時(shí)有infu∈XJλ(u)<0.

證明令Ω0為Ω的一個(gè)緊子集,且|Ω0|>0.選取實(shí)數(shù)t0>1使得

由于

因此,存在充分大的λ*>0,使得對任意的λ∈[λ*,∞),有Jλ(u0)<0.進(jìn)而當(dāng)λ≥λ*充分大時(shí),有Jλ(u1)<0,u1為問題(1)非負(fù)、非平凡弱解.

接下來將證明當(dāng)λ>λ*時(shí),函數(shù)Jλ滿足山路定理的幾何結(jié)構(gòu),問題存在第二個(gè)弱解u2∈X.

引理4 存在ρ∈(0,‖u1‖a),常數(shù)γ>0,使得u∈X,‖u‖a=ρ有Jλ(u)≥γ.

因此可得

因?yàn)?0,ρ<‖u1‖a,使得對任意的u∈X,‖u‖a=ρ有Jλ(u)≥γ>0.

引理5 函數(shù)Jλ滿(PS)條件.

證明令um?X使得

(2)

其中X*為X的對偶空間.因?yàn)楹瘮?shù)Jλ是強(qiáng)制的,由式(2)可知,{um}是有界的.因此存在一個(gè)子列記為{um}弱收斂到u∈X,因此{(lán)um}在Lq(Ω),Lr(Ω)中強(qiáng)收斂到u∈X.

由Holder不等式,可得

另一方面,由式(2)可知

(4)

由式(2)～(4)可知

limm→∞Φ′(um)(um-u)=0

(5)

由于{um}弱收斂到u∈X,則有

limm→∞Φ′(u)(um-u)=0

(6)

由式(5)和式(6),可知

limm→∞(Φ′(um)-Φ′(u))(um-u)=0.

因?yàn)棣怠?X→X′為型,則可得{um}強(qiáng)收斂到u∈X.因此函數(shù)Jλ滿足(PS)條件.

證明由引理2和引理3,問題存在一個(gè)非負(fù)非平凡的弱解u1.記

其中

L:={l∈C([0,1],X):l(0)=0,l(1)=u1},

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[責(zé)任編輯：李春紅]

MultipleSolutionsforaFourthOrderEllipticProblemwithap(x)-BiharmonicOperator

MIAO Qing

(School of Mathematics and Computer Science, Yunnan Minzu University, Kunming Yunnan 650500, China)

Using the minimum principle combined with the mountain pass theorem, wo obtain at least two non-negative,non-trivial weak solutions to a fourth order elliptic problem with ap(x)-biharmonic operator and the Navier boundary conditions.

p(x)-biharmonic; navier boundary condition; multiple solutions; mountain pass theorem

2015-01-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11461083); 云南省應(yīng)用基礎(chǔ)研究資助項(xiàng)目(2013FD031)

繆清(1984-),女,云南馬龍人,講師,博士，研究方向?yàn)槠⒎址匠碳捌鋺?yīng)用． E-mail: miaoqing-0404@163.com

O175.6

: A

: 1671-6876(2015)02-0095-05