(電子科技大學數(shù)學科學學院,四川 成都 611731)

·機電工程·

一種新超混沌系統(tǒng)的反饋控制方法研究

孫方方,雷銀彬

(電子科技大學數(shù)學科學學院,四川 成都 611731)

給出一種新的超混沌系統(tǒng),并對該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)、平衡點和吸引子相圖等動力學性質(zhì)進行分析。當系統(tǒng)取某組參數(shù)時,有2個正的Lyapunov指數(shù),進一步說明該系統(tǒng)的超混沌性。利用單一狀態(tài)線性反饋和錯位線性反饋控制方法將超混沌系統(tǒng)的混沌吸引子控制到平衡點,通過數(shù)值仿真證實該控制器的有效性。

超混沌系統(tǒng)；Lyapunov指數(shù)；反饋控制；穩(wěn)定性

Lorenz系統(tǒng)是美國科學家E.N. Lorenz于1963年發(fā)現(xiàn)的,這是首個在實驗的過程中發(fā)現(xiàn)的混沌模型[1]。自此之后,人們在該系統(tǒng)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了很多新的混沌系統(tǒng),如Chen系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)和Qi系統(tǒng)等[2]。隨著新的混沌系統(tǒng)的不斷發(fā)現(xiàn)和提出,人們對混沌現(xiàn)象的認識和研究也不斷地加深,進一步地豐富和完善了混沌理論。超混沌系統(tǒng)是在混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一門學科,它的基本特征和混沌系統(tǒng)相類似。與混沌系統(tǒng)相比較而言,超混沌系統(tǒng)具有2個或2個以上正的Lyapunov指數(shù),且其動力學行為較混沌系統(tǒng)復雜。由于超混沌系統(tǒng)的復雜性,它被廣泛用于各個領(lǐng)域且具有非常廣闊的應(yīng)用前景[3-4]。

Liu等在2004年提出一種三維自治混沌系統(tǒng)[5]。本文首先根據(jù)已有的三維Liu系統(tǒng)，通過增加一個新的變量和微分方程的方法構(gòu)造了一個新的超混沌系統(tǒng),并從系統(tǒng)的吸引子、耗散性、平衡點、Lyapunov指數(shù)及Lyapunov維數(shù)等方面分析系統(tǒng)的動力學行為,加深了對該超混沌系統(tǒng)的認識。然后利用單一狀態(tài)線性反饋控制方法對該超混沌系統(tǒng)進行控制,并用Matlab數(shù)值仿真證明控制方法使系統(tǒng)達到了穩(wěn)定狀態(tài)。

1 新的超混沌系統(tǒng)及其動力學行為

Liu等在文獻[5]中提出一種新的混沌系統(tǒng)，其模型可表示為

當a=10,b=2.5,c=40時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

對Liu系統(tǒng)進行變形,結(jié)合Lyapunov指數(shù)進行驗證修改,在第1個等式中增加非線性項yz和反饋控制器w,將第3個等式中的4x2變成xy,最后增加1個關(guān)于w的一階微分方程。由此改造后，得到新超混沌系統(tǒng)的數(shù)學模型如下所示：

(1)

其中：x=(x1,x2,x3,x4)T是狀態(tài)向量；a、b、c為系統(tǒng)參數(shù)，隨著參數(shù)的變化系統(tǒng)產(chǎn)生復雜的動力學行為。

當給出系統(tǒng)(1)中的參數(shù)取值為a=19,b=8,c=42,d=2時,利用Matlab程序設(shè)計計算出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為L1=9.23、L2=3.29、L3=-9.69、L4=-31.84,其中有2個正的Lyapunov指數(shù),且所有的Lyapunov指數(shù)之和小于零。系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為

由此可知,它滿足產(chǎn)生超混沌的幾個必要條件[5],因此系統(tǒng)(1)處于超混沌狀態(tài)。

2 系統(tǒng)(1)的動力學特性

2.1系統(tǒng)的混沌吸引子圖

在系統(tǒng)(1)中,為了展示它在各個平面的狀態(tài)，當a=19,b=8,c=42,d=2時,取初值(x0,y0,z0,w0)=(-1,0,1,1),通過計算機仿真可得系統(tǒng)(1)的超混沌吸引子及其在部分平面的投影(如圖1所示)。

(a)xyz平面相圖

(b)xyw平面相圖

(c)xy平面投影

(d)xz平面投影

(e)yz平面投影

(f)zw平面投影

2.2對稱性和不變性

為了研究其不變性,將系統(tǒng)(1)經(jīng)變換S:(x,y,z,w)→(-x,-y,z,-w)作用,可知系統(tǒng)變換前后是相同的,即系統(tǒng)(1)關(guān)于z軸對稱,且這種對稱性對于所有的參數(shù)值都成立。

2.3耗散性和吸引子的存在性

梯度公式是判斷系統(tǒng)是否為耗散的重要依據(jù)[6],系統(tǒng)(1)的梯度為

2.4平衡點和穩(wěn)定性

系統(tǒng)(1)的平衡點滿足方程

由此可求給定參數(shù)意義下的平衡點為S0(0,0,0,0),S1=(±8.8,±38.1,42,±800)。在平衡點S0處,其雅各比矩陣為

由于系統(tǒng)(1)為對稱的,所以S1和S2兩個平衡點有相似的穩(wěn)定性,在此我們只考慮S1的穩(wěn)定性。系統(tǒng)(1)在平衡點S1處的Jacobian矩陣為

3 反饋控制方法及數(shù)值仿真

在系統(tǒng)(1)的每項添加外部控制輸入ui(i=1,2,3,4),則得到新的系統(tǒng)為

(2)

3.1單一反饋控制方法

在系統(tǒng)(2)中,令u1=0,u2=-ky,u3=0,u4=0；其中k反饋系數(shù)[9]。那么新系統(tǒng)(3)為

(3)

系統(tǒng)(3)的Jacobian矩陣為

則矩陣的特征方程為

(λ+d)(λ+b)[λ2+(a+k)λ+a(k-c)]=0。

當a+k>0且a(k-c)>0,即k>c時,由特征方程解出來的特征根λ的實部均為負的[10]。根據(jù)Routh-Hurwitz判定依據(jù)可知,取參數(shù)為a=19,b=8,c=42,d=2時,系統(tǒng)(3)在平衡點S0(0,0,0,0)處為穩(wěn)定的。用Matlab程序畫圖給出了k=50時被控制各變量的穩(wěn)定軌跡,如圖2、圖3所示。

(a)x的穩(wěn)定軌跡

(b)y的穩(wěn)定軌跡

(c)z的穩(wěn)定軌跡

(d)w的穩(wěn)定軌跡

(a)x的穩(wěn)定軌跡

(b)y的穩(wěn)定軌跡

(c)z的穩(wěn)定軌跡

(d)w的穩(wěn)定軌跡

3.2錯位反饋控制方法

在系統(tǒng)(2)中，令u1=-ky,u2=0,u3=0,u4=0,其中k反饋系數(shù)。那么系統(tǒng)(2)變?yōu)?/p>

(4)

系統(tǒng)(3)的Jacobi矩陣為

則矩陣的特征方程為

(λ+d)(λ+b)(λ2+aλ+ck-ca)=0,

當a>0和ck-ca>0時, 即k>a時,系統(tǒng)(4)的零平衡點局部漸進穩(wěn)定。若參數(shù)取值a=19,b=8,c=42,d=2,當k>19時,零點穩(wěn)定,其狀態(tài)變量如圖3所示。

4 結(jié)論

本文構(gòu)造了一個新的超混沌系統(tǒng),并利用Matlab數(shù)值模擬分析了該超混沌系統(tǒng)較低維混沌系統(tǒng)更為復雜的動力學行為,進而證實了其較高的保密性,在通信保密方面有實際的用途[11-12]。利用線性反饋控制方法,設(shè)計了簡易的控制器將系統(tǒng)的運動軌跡控制到了不穩(wěn)定的平衡點處,數(shù)值仿真結(jié)果表明運用該方法對此超混沌系統(tǒng)控制效果較好，且設(shè)計簡易,用時較短。

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(編校：葉超)

ResearchontheFeedbackControlofaNovelHyperchaoticSystem

SUN Fang-fang,LEI Yin-bin

(SchoolofMathematics,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,Chengdu611731China)

A novel hyperchaotic system is reported in the paper, and the Lyapunov exponents, equilibrium, phase diagram and other dynamic behaviors of the system are analyzed. When the system is set up with certain parameters, it has two positive Lyapunov exponents, which further shows the system is hyperchaotic. Ordinary feedback control and dislocated linear feedback control are used to suppress hyperchaos to the unstable equilibrium. Numerical simulations results show the effectiveness of the proposed controller.

hyperchaotic system； Lyapunov exponent； feedback control； stability

2014-05-17

孫方方(1989—)，女，碩士研究生，主要研究方向為混沌判定及控制。

TN7

：A

：1673-159X(2015)06-0027-05

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.06.006