江偉 劉嬋

摘 要：該文采用2014年全國大學生數(shù)學建模競賽B題的數(shù)據(jù)，在對折疊桌的穩(wěn)定性、用料等方面做出科學性分析的基礎(chǔ)上，建立以用料和桌面重心為優(yōu)化目標的優(yōu)化模型Ⅰ，并使用MATLAB編程求解，結(jié)果為：最外側(cè)桌腿的長度為73cm，平板的長度為150cm，最外側(cè)桌腿與地面的夾角為66.7°，并使用該模型對問題一中折疊桌進行了優(yōu)化，驗證了優(yōu)化模型Ⅰ的正確性。另外，設(shè)計了一個桌面形狀為橢圓形的創(chuàng)意平板折疊桌并使用MATLAB編程求解出最優(yōu)化加工參數(shù)，并使用Solidwokes軟件畫出了該折疊桌的動態(tài)變化圖。

關(guān)鍵詞：優(yōu)化模型 最優(yōu)加工參數(shù) 穩(wěn)固性

中圖分類號：TS665 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）02（c）-0045-02

1 優(yōu)化目標分析

分析折疊桌的重心、桌腿的開槽的長度、桌腳與地面的夾角之間的關(guān)系，可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律。

（1）平板折疊后重心越低，即鋼筋的位置越低，穩(wěn)定性越好。

（2）平板折疊后開槽長度越長，穩(wěn)定性越好，但用料會增加。

（3）平板折疊后桌腳與地面夾角越大，穩(wěn)定性越好，但用料增多。

綜上所述，可知折疊桌的穩(wěn)定性和用料不可能同時達到最優(yōu)，只能根據(jù)實際情況設(shè)計出最優(yōu)模型。

2 優(yōu)化模型的建立與求解

首先先找到平板長度以及第一根桌腿邊緣到鋼筋的長度（也可以看成是鋼筋的高度）的約束條件，不失一般性的情況下，假設(shè)桌面厚度為=3，為保證木條根數(shù)為整數(shù)，故取=2cm。

約束條件①：

由于三角形的斜邊大于直角邊可以得到如下關(guān)系：

（1）

約束條件②：

想要穩(wěn)固性好，但用料又最省，即最中間木條桌腿的長度等于第一根桌腿從桌面到鋼筋的長度，也就是說滿足方程組（2）。

（2）

約束條件③：

畫出折疊桌第一根桌腿與最中間桌腿的幾何投影圖如圖2。

當桌腳與地面的角度θ與半徑固定時，在與垂直情況下距離最短，折疊桌的用材最省，參數(shù)滿足方程（3）。

（3）

由此可得折疊桌設(shè)計加工參數(shù)優(yōu)化模型：

約束目標：

約束條件：

（Ⅰ）

當桌面高度和平板尺寸，木條寬度給定時，可以找到使桌面達到最穩(wěn)定狀態(tài)時鋼筋的位置，例如，在問題一中，=53cm，平板尺寸為120×50×3，=2.5cm由（2）式可求出≈17.44cm，這時鋼筋的位置最低，折疊桌的重心也最低，因而穩(wěn)固性最好，但相對來說開槽長度是最長的，在第一問中給出的折疊桌從桌腿邊緣到鋼筋的長度為28.75>17.44，因此穩(wěn)固性沒有達到最優(yōu)，但開槽長度較短，加工較為方便。

現(xiàn)在我們給定=70cm，=80cm則由式（1）得出平板長度a>138cm，利用MATLAB軟件編程求解優(yōu)化模型Ⅰ可得：=73cm（最外側(cè)桌腿的長度），=150cm（平板的長度），=66.7°（最外側(cè)桌腿與地面的夾角），也就是說在給定平板寬度和桌面高度時，上述結(jié)果為用料相對最省、穩(wěn)固性最好的折疊桌面設(shè)計加工參數(shù)最優(yōu)值。

3 創(chuàng)意折疊桌設(shè)計

要根據(jù)用戶給定指標設(shè)計疊桌邊緣線形狀（如設(shè)計成橢圓形等形狀），考慮到制作成本、實用性、美觀程度和穩(wěn)定性的因素，設(shè)計了一款桌面形狀為橢圓形的折疊桌：平板長度為145cm，寬度為50cm，桌面高度為53cm時，使用MATLAB軟件編程求解可得橢圓形折疊桌最優(yōu)加工參數(shù)見表1、2、3。

為了連續(xù)的觀察折疊桌折疊時的變化，使用SolidWorks軟件，使用上述設(shè)計加工參數(shù)數(shù)據(jù)，可畫出該折疊桌的動態(tài)變化過程的示意圖，見圖3。

4 結(jié)語

該文根據(jù)客戶的設(shè)計要求，在對折疊桌設(shè)計加工參數(shù)做優(yōu)化時綜合考慮了用料省和穩(wěn)固性好這兩個因素來建立模型，使用軟件編程求解模型的最優(yōu)參數(shù)值，具有很強的實用性和推廣性。

參考文獻

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