用直觀和題組之鑰開困難生思維之門

易蘇勝 （江蘇省沭陽中學(xué) 223600）

運(yùn)用直觀性教學(xué)，手段開展可以豐富學(xué)生頭腦中的表象系統(tǒng)，并提高他們的聯(lián)想和想象的思維能力，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維力。在直觀教學(xué)的指導(dǎo)下，運(yùn)用變式等手段進(jìn)行題組教學(xué)，在增強(qiáng)學(xué)生邏輯推理同時(shí)，還能培養(yǎng)他們抽象思維能力。本文通過兩個(gè)實(shí)踐的案例研究，探討了直觀性教學(xué)和題組教學(xué)對(duì)困難生教學(xué)的有效性。

直觀性教學(xué) 題組教學(xué) 數(shù)學(xué)形象思維 數(shù)學(xué)思維

一、直觀性教學(xué)能讓學(xué)生與數(shù)學(xué)更加親近、收獲更多

直觀性教學(xué)是指利用學(xué)生的多種感官和經(jīng)驗(yàn)，通過多種形式的感知，把抽象的書本知識(shí)變成可以觀察、觸摸、想象的知識(shí)，達(dá)到豐富學(xué)生知識(shí)的目的。比如，實(shí)物、教學(xué)道具、多媒體展示等手段的運(yùn)用都屬于直觀性教學(xué)。

以一個(gè)語言直觀教學(xué)為例來說明：

探究：函數(shù))(xfy=滿足等式f(x +2)=-f(x)，試說明函數(shù)y=f(x)的具有什么樣的性質(zhì)？

常規(guī)教學(xué)設(shè)計(jì)：直接由f(x+2)=-f(x)推理出：f (x+2)=-f(x+4)，得到f(x+2)=-f (x+4)再得出：-f(x)=-f(x+4)得出從f(x +2)=f(x)，所以，4為函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期。

點(diǎn)評(píng)：從訪談交流中發(fā)現(xiàn)，很多教師運(yùn)用此設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué)，要求學(xué)生以邏輯推理完成理解和記憶，但很多基礎(chǔ)薄弱的困難生很難接受這一組抽象推理，即使死記住了，也很痛苦，不知道為什么這樣做，達(dá)不到方法的變通運(yùn)用。

語言直觀教學(xué)設(shè)計(jì)：

教師：回憶一下，見過類似這樣形式的式子嗎？（稍停頓后）回憶f(x+2)=f (x)表示2為函數(shù)的一個(gè)周期。周期描述的是周而復(fù)始的現(xiàn)象，此式可形象地表達(dá)為跨步為2的情況下，值重復(fù)出現(xiàn)，說明2為函數(shù)的周期。

教師：那么怎么理解f(x+2)=-f(x)的形象含義呢？

學(xué)生：跨步為2的情況下，所得值變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)；（師生合作）再跨2的話，值又變?yōu)橄喾磾?shù)；那么總共跨步為4的情況下，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因而，4是函數(shù)的一個(gè)周期。

學(xué)生：4為函數(shù)的一個(gè)周期，因?yàn)榭绮綖?時(shí)，所得值變?yōu)橄喾磾?shù)；再跨2時(shí)又變?yōu)橄喾磾?shù)，兩次相反數(shù)，值就重復(fù)出現(xiàn)了；所以跨步為4時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)。

變式2：如何理解g(x)min＞f (x)max表示函數(shù)具有什么樣的性質(zhì)呢？

學(xué)生：4為函數(shù)的一個(gè)周期，因?yàn)榭绮綖?時(shí)，所得值變?yōu)橄喾磾?shù)和倒數(shù)，再跨2時(shí)又變?yōu)橄喾磾?shù)和倒數(shù)，兩次相反數(shù)和倒數(shù)，值就重復(fù)出現(xiàn)了；所以跨步為4時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)。（條件允許的話，也可以探究和、積為定值的一般性結(jié)論）

評(píng)：此設(shè)計(jì)在開始處增設(shè)了語言直觀教學(xué)，通過邁步子的跨步作形象解釋，所有學(xué)生都很容易理解和記憶該性質(zhì)，并容易產(chǎn)生遷移，解決更為抽象的刻畫周期性質(zhì)的等式。最后讓學(xué)生通過自己的形象理解，嘗試去用符號(hào)語言證明結(jié)論，達(dá)到了形象思維和抽象思維的雙重訓(xùn)練。

二、直觀性原則指導(dǎo)下的題組教學(xué)，能增加聯(lián)想和發(fā)展想象能力

在數(shù)學(xué)思維過程中，獲得的表象只是形象思維的起步，和進(jìn)行邏輯思維一樣，要進(jìn)一步展開思維活動(dòng)，還必須通過表象進(jìn)行廣泛聯(lián)想，以獲得新思維的成果。

如已知函數(shù)f(x)=5x-1,x ∈[0,1]和函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x1∈[0,1]，總存在x0∈[-2,2]，使得g(x0)＞f(x1)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．

分析：“若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x1∈[0,1]，總存在x0∈[-2,2]，使得g(x0)＞f(x1)成立”。

這一條件很抽象，學(xué)生很難理解，處理不好，不僅此題解決不了，還可能打擊困難生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信，使他們產(chǎn)生畏懼心理。但是，如果拋棄傳統(tǒng)的抽象解析，改用語言直觀教學(xué)，通過創(chuàng)造想象，即使基礎(chǔ)再薄弱的學(xué)生都很容易理解，能增強(qiáng)他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和進(jìn)一步探究的欲望。

引導(dǎo)想象：區(qū)間想象成一個(gè)班級(jí)，區(qū)間中的數(shù)想象成班級(jí)中的學(xué)生，每一個(gè)函數(shù)值想象成一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。這樣，區(qū)間]4,0[看作4班，0x看作4班的一個(gè)學(xué)生，)(0xg就可看作這個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。同樣，區(qū)間)1,0(-看作5班，0x看作5班的一個(gè)學(xué)生，)(0xg就可看作這個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。

條件“若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x1∈[0,1]，總存在x0∈[-2,2]，使得g( x0)=f( x1)成立”，就可以想象成：“對(duì)4班任意一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，5班總存在一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與之相等”。此時(shí)，學(xué)生容易得到推理，4班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)構(gòu)成的集合應(yīng)該為5班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)構(gòu)成的集合的子集。再回到題目，學(xué)生很容易推理：因?yàn)?，若?duì)于任意的實(shí)數(shù)x1∈[0,1]，總存在x0∈[-2,2]，使得g( x)=f( x)成立，所以，f(x)=5x-1,x ∈[0,1]01的值域?yàn)間( x)=ax-1,x∈[-2,2]值域的一個(gè)子集而f (x)=5x-1,x∈[0,1]的值域?yàn)閇0,4]，則[0,4]為g( x)=ax-1,x∈[-2,2]值域的一個(gè)子集。又因?yàn)楹瘮?shù)g( x)=ax-1,x∈[-2,2]過定點(diǎn)(0,-1)得到，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

用題組滲透邏輯推理訓(xùn)練：將抽象的數(shù)量關(guān)系想象成兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)比較，非常形象，學(xué)生容易理解和拓展，豐富了他們的表象，也提高了他們?cè)僭煜胂蟮乃季S能力。如果能夠在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下面的變式訓(xùn)練，可以讓學(xué)生體驗(yàn)邏輯推理，他們智慧的火花會(huì)綻放得更徹底、更美。

變式1將“g( x0)=f( x1)”變成“g(x0)＞f(x1)”，題目如下：已知函數(shù)f(x)=5x-1,x∈[0,1]和函數(shù)g( x)=ax-1,x∈[-2,2]，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x1∈[0,1]，總存在x0∈[-2,2]，使得g(x0)＞f(x1)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．

變式2：將“g( x0)=f( x1)”變成“g(x0)＞f(x1)”，再將“總存在x0∈[-2,2]”變成“任意的x0∈[-2,2]”，題目如：已知函數(shù)f (x)=5x-1,x∈[0,1]和函數(shù)g( x)=ax-1,x∈[-2,2]，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù) x1∈[0,1]，任意的x0∈[-2,2]，使得成立g(x0)＞f(x1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

點(diǎn)評(píng)：大部分困難生能夠獨(dú)立地實(shí)現(xiàn)下面的想象，并進(jìn)行推理。

變式1：“若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x1∈[0,1]，總存在x0∈[-2,2]，使得g(x0)＞f(x1)成立”，想象成“對(duì)于4班任意一個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)，在5班都能找到數(shù)學(xué)成績(jī)比他大”。從而得到推理：5班的最高分大于4班的最高分即g(x)man＞f (x)max，轉(zhuǎn)化成最值問題。

變式2：“若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x1∈[0,1]任意的x0∈[-2,2]，使得g(x0)＞f(x1)成立”想象成“對(duì)于4班任意一個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)，在5班的任意一個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)都比他高”。從而得到推理：5班的最低分大于4班的最高分即g(x)min＞f (x)max，轉(zhuǎn)化成最值問題。

通過一式多變的題組教學(xué)，抽象的數(shù)學(xué)問題輕易化解，學(xué)生的聯(lián)想與想象能力得到提高。學(xué)生在學(xué)會(huì)思考的同時(shí)，頭腦中增加了知識(shí)儲(chǔ)備，豐富了表象系統(tǒng)，為下次數(shù)學(xué)形象思維能力的開展提供更多的素材，數(shù)學(xué)形象思維能力得到了提高。此外，在進(jìn)行變式題組訓(xùn)練時(shí)，無形中滲透了邏輯推理，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力打下了基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)問題的分析往往要以形象思維為先導(dǎo)，展開聯(lián)想，用類比、歸納等手段進(jìn)行探索，再借助各種邏輯手段進(jìn)行推理求解或證明，因而加強(qiáng)直觀性教學(xué)，豐富表象系統(tǒng)、提高聯(lián)想和想象，對(duì)于提高學(xué)生的形象思維能力是非常重要的，也是困難生更容易接受的。有了形象思維的基礎(chǔ)，再加強(qiáng)題組教學(xué)，以及其他手段，就能提高學(xué)困生的抽象思維能力，并使他們形成和發(fā)展直覺思維，進(jìn)而提高他們的整體思維能力。

[1]任樟輝.數(shù)學(xué)思維論[M].南寧：廣西教育出版社，1990．

[2]徐國森.數(shù)學(xué)中的形象思維形式[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1990（12）

（責(zé)編 趙景霞）