古希臘學(xué)者亞里斯多德說過：“思維自疑問和驚奇開始?！睙o理數(shù)的產(chǎn)生印證了此話千真萬確。
　　1.橫空出世
　　公元前五世紀(jì)，希臘人希伯斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了正方形對角線和邊之比（）不能用有理數(shù)表示，他成了世界上第一個發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的人，他驚奇地把這個偉大的發(fā)現(xiàn)告訴了他的同伴，但當(dāng)時學(xué)術(shù)界畢達哥拉斯學(xué)派則認(rèn)為自然數(shù)是上帝創(chuàng)造的，萬物都由自然數(shù)以及它們的比（分?jǐn)?shù)）構(gòu)成的，希伯斯的發(fā)現(xiàn)動搖了該理論。
　　2.家族人丁興旺
　　是無理數(shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)，如0.1011001…，但無限循環(huán)小數(shù)（如0.01010101…）不是無理數(shù)，而是它的胞兄——有理數(shù)。、、…是開方開不盡的數(shù)，是無理數(shù)。而=8，=5，=2都是有理數(shù)。因此，凡是帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)。?仔（?仔=3.14159…）、e（e=2.7128…）是常數(shù)，卻是無理數(shù)。無理數(shù)通常以根號形式出現(xiàn)；也以對數(shù)形式出現(xiàn)，如lg 3、lg5；還以三角函數(shù)形式出現(xiàn)，如lg cos18°23′、sin78°18′2″…
　　無理數(shù)可以通過運算轉(zhuǎn)化成有理數(shù)。如（+）（-）=1，e÷=5。
　　無理數(shù)家族人丁興旺，人才濟濟，它和有理數(shù)組成實數(shù)大家庭，而每一個實數(shù)可在實數(shù)軸上找到一個點“對號入座”；反之，實數(shù)軸上的每個點又可在實數(shù)家族中找到唯一的一個數(shù)與之對應(yīng)。于是實數(shù)家族中每個數(shù)和實數(shù)軸上的每個點形成了數(shù)與形的一一對應(yīng)關(guān)系，下面我們介紹無理數(shù)家族中三個重要成員：e，?仔，。
　　無理數(shù)e、?仔都是通過取極限得到的數(shù)，因此又叫超越數(shù)。如果以e為底取對數(shù)就叫自然對數(shù)，它給數(shù)值計算帶來方便。如2的自然對數(shù)記為ln2。
　　圓周率?仔更是妙趣橫生，為了不斷提高?仔的精確值，中外數(shù)學(xué)家們做了大量艱苦卓絕的工作。最早是我國數(shù)學(xué)家祖沖之（公元429~500年）通過計算圓內(nèi)接正24 576邊形，得到?仔的不足近似值：肭數(shù)≈3.14159261，過剩近似值：盈數(shù)=3.14159271，還找到兩個近似分?jǐn)?shù)，約率和密率。
　　16世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家盧爾夫用畢生精力，耗盡心血，把?仔計算到小數(shù)點后面第35位，死后他的墓碑上就刻著這個數(shù)。2002年，日本東京大學(xué)金田康正教授利用計算機算到小數(shù)點后1.24萬億位。
　　更有趣的是背誦圓周率也成了各國人民的愛好。我國橋梁專家茅以升在80歲高齡仍能背誦到小數(shù)點后面100位。1988年，南京市方家巷小學(xué)一年級學(xué)生周婷婷能背到小數(shù)點后面1 000位。
　　2006年，日本60歲的原口證在千葉縣木更津市的一個公共會議大廳里從上午9時一直持續(xù)到次日凌晨1時28分，總計16個小時，成功背誦了圓周率小數(shù)點后10萬位。
　　3.黃金數(shù)光芒四射
　　希臘歐多克斯（公元前408~355年）曾提出：能否用一個點把一條線段分成大小兩段，使小段與大段的長度之比恰好等于大段長度與全長之比，這個比值為≈0.618，意大利畫家達·芬奇稱此比值為“黃金分割比”，此數(shù)又叫“黃金數(shù)”。
　　歷年來有關(guān)黃金數(shù)的中考題層出不窮，例如，如圖，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD為∠ABC的平分線，則的值等于______。
　　解析頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形。因為AB=AC，∠A=36°，所以∠ABC=∠C=72°。因為BD是∠ABC的平分線，所以∠CBD=36°，∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=72°。則△BCD也為黃金三角形，又知AD=BD=BC，可得△ABC∽△BCD，則有=。而CD=AC-AD，代入得=，即==-1。令=x，則x=-1。解得x=。因為＞0，所以=。
　　黃金數(shù)與人體健康有著密切關(guān)系，醫(yī)學(xué)專家通過研究后發(fā)現(xiàn)，飯吃六七成（即0.618）飽的人幾乎不得胃病，吃0.618份粗糧、0.382份細(xì)糧更適合人體需求，人體運動和靜養(yǎng)如果呈現(xiàn)0.618的比例關(guān)系，就構(gòu)成了最佳的養(yǎng)生之法。人們喜歡春天，因為春天溫度在22~24 ℃之間，這是由于人體的正常體溫是攝氏37 ℃，而0.618×37 ℃=22.8 ℃，因為在此溫度內(nèi)，人體的生理活動都處于最佳狀態(tài)。
　　人體結(jié)構(gòu)的美妙之處在于處處體現(xiàn)黃金數(shù)。肚臍是人體整個軀體的“黃金分割點”，咽喉是從頭頂?shù)蕉悄毜狞S金分割點，膝蓋是從肚臍到腳底的黃金分割點，肘關(guān)節(jié)是從肩關(guān)節(jié)到中指尖的黃金分割點，上肢長度與下肢長度之比以及下肢長度與身長之比都近似于0.618。所以，達·芬奇的著名油畫《蒙娜麗莎》就多處運用了黃金數(shù)來構(gòu)圖，大量的事實證明：人體結(jié)構(gòu)越接近于黃金數(shù)，體態(tài)就越優(yōu)美。
　　4.黃金數(shù)的應(yīng)用非常廣泛
　　一些名畫作者總是把畫安排在畫面的0.618處。
　　一些建筑，如埃及金字塔、巴黎圣母院、古希臘雅典的他農(nóng)神廟、印度的泰姬陵、法國的埃菲爾鐵塔……都與0.618息息相關(guān)。
　　二胡的“千金”處于弦線的黃金分割處時，奏出的樂曲最美。
　　有經(jīng)驗的報幕員總是站在舞臺長的0.618處。
　　在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)方面廣泛使用的優(yōu)選法中的黃金分割法（0.618法），由數(shù)學(xué)家華羅庚于1970年在全國推廣，且很快取得了顯著的經(jīng)濟效益。
　　不僅如此，黃金數(shù)還在國防、科學(xué)技術(shù)、設(shè)計、工程等各個方面都有著極其廣泛的應(yīng)用，充分展示了它的神奇功能。