復(fù)習(xí)指的是教師指導(dǎo)學(xué)生溫習(xí)已經(jīng)學(xué)過的教材，以強化知識記憶，加深理解，融會貫通，從而使知識系統(tǒng)化.它不是對原有舊知識進行機械性重復(fù)和再現(xiàn)，是孔子所說的“溫故而知新”，是華羅庚先生在《高等數(shù)學(xué)引論》的序言里寫的“熟書生溫，似乎在復(fù)習(xí)，但把新東西講進去了……，找另一條線索把舊東西重新貫穿起來”[1]的一個再創(chuàng)造過程，使得學(xué)生在復(fù)習(xí)舊知識、舊方法的同時又收獲了新知識、新方法.因此，復(fù)習(xí)課的設(shè)計要有一條線索來貫穿，這條線索能激活己有知識、方法，并能帶出新知識、新方法.

1 以新的知識內(nèi)容為線索貫穿舊知識

新知識指的是在新授課中沒學(xué)或不宜講的知識.學(xué)生對這些新知識認知還沒成熟，或知識點的區(qū)別與聯(lián)系還不夠系統(tǒng).如一個單元多個概念的出現(xiàn)，象人教A版必修5中的《解三角形》、《數(shù)列》，《不等式》，選修23中的《隨機變量的分布列》;概念的進一步深化、拓展等，象必修1中的《函數(shù)概念》、《函數(shù)的應(yīng)用》，必修2中的《圓與方程》，選修21中的《圓錐曲線與方程》等等.這些只能在一個單元學(xué)習(xí)完畢，在單元復(fù)習(xí)課中，把這些新授課中沒學(xué)的新知識作為貫穿舊知識的紐帶，使得學(xué)生看似在復(fù)習(xí)，但把新東西學(xué)進去了.下面以《隨機變量的分布列》的章節(jié)復(fù)習(xí)的設(shè)計為例來說明.可以通過比較二項分布與超幾何分布的關(guān)系來復(fù)習(xí)，超幾何分布和二項分布這兩種離散型隨機變量的概率分布表面上看來風馬牛不相及，但通過一節(jié)章末復(fù)習(xí)課，發(fā)現(xiàn)這兩種分布可以通過有無“返回”，隔離正品和次品等方法來互相轉(zhuǎn)換，也可把二項分布看作超幾何分布的極限，它們的期望和方差之間也存在這種極限關(guān)系.下面是《超幾何分布和二項分布復(fù)習(xí)課》的設(shè)計.

超幾何分布和二項分布是新課標人教版選修23第二章《隨機變量的分布列》中的核心內(nèi)容.教材通過幾個生活中的實例讓學(xué)生認識兩種模型所刻畫的隨機變量的各自特點，從而建立兩種新模型.但在實際建模過程中有些學(xué)生往往容易把超幾何分布與二項分布孤立起來，也甚至有些學(xué)生把兩個模型完全混淆，很難談得上靈活運用兩模型解決一些實際問題.因此，此章復(fù)習(xí)，可以通過比較二項分布與超幾何分布的關(guān)系來復(fù)習(xí).

環(huán)節(jié)一 學(xué)生回顧兩個概念.

環(huán)節(jié)二 通過定義比較兩者最本質(zhì)的區(qū)別.

發(fā)現(xiàn)：兩者最本質(zhì)的區(qū)別是二項分布的隨機變量發(fā)生的概率是等可能的，而超幾何分布概型的隨機變量X發(fā)生的概率不是等可能的.導(dǎo)致兩者不同的根源在于超幾何分布是不放回抽取，而二項分布則是有放回地抽取.

環(huán)節(jié)三 提出問題

若將條件做些許改變，兩者能融會貫通嗎？

1）若將有放回的抽取改為不放回，那么超幾何分布將轉(zhuǎn)化為二項分布嗎？

2）當產(chǎn)品的數(shù)量N巨大時，超幾何分布將非常接近二項分布嗎？

環(huán)節(jié)四 解決問題

問題1

1）現(xiàn)有兩臺在兩地獨立工作的雷達，每臺雷達發(fā)現(xiàn)飛行目標的概率分別為09和085，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標的雷達臺數(shù)為X，求EX

2）設(shè)有mkg水，其中含有n個大腸桿菌.現(xiàn)任取1kg水檢驗，設(shè)其中含大腸桿菌的個數(shù)為X，試求EX，DX.

3）在含有5件次品的100件產(chǎn)品中，任取3件，求：

（1）取到次品數(shù)X的分布列

（2）至少取到1件次品的概率

4）在某年級的聯(lián)歡會上設(shè)計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同.一次從中摸出5球，至少摸到三個紅球就中獎，求中獎的概率.

通過4個小題讓學(xué)生回顧超幾何分布與二項分布相關(guān)的問題，感受有放回抽取與不放回抽取的不同.

問題2

1）從含有3件次品的100個燈泡中，有放回地抽取一個燈泡進行檢測，連續(xù)取3次，用ξ表示次品數(shù)，求ξ的分布列.

2）從一批數(shù)量巨大的紅酒中隨機抽取20瓶進行質(zhì)量檢測，若這批紅酒的合格概率為95%，隨機變量ξ表示這20件產(chǎn)品中的不合格數(shù)，求隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ.

3）現(xiàn)在有一批數(shù)量很大的汽車輪胎，其中次品2%，現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出100件進行檢測，設(shè)其次品數(shù)為ξ，求Eξ和Dξ.

通過3個小例子讓學(xué)生感受到超幾何分布與二項分布的聯(lián)系，通過改變抽取方式或者讓總體的容量無限大時，超幾何分布就可以近似地理解成二項分布.

環(huán)節(jié)五 拓展提升

為了將學(xué)生對超幾何分布和二項分布的理解上升到更高的層次，給出這樣一個結(jié)論：設(shè)隨機變量X服從超幾何分布H（n，M，N），則當N→+∞時，X近似的服從二項分布B（n，p），即CrMCn-rN-MCnN≈Crnprqn-r，其中p=MN，q=1-p.

環(huán)節(jié)六 概括總結(jié)

1.我們把次品都放入一個次品袋，把正品放入一個正品袋，若摸到正品袋中的產(chǎn)品看作“成功”，摸到次品袋中的產(chǎn)品看作“失敗”，每次摸球的過程中“成功”與“失敗”的概率相等，且每次試驗都是相互獨立的，這正是典型的二項分布，由此用二項分布去刻劃其概率分布列.兩種分布僅“一袋之隔”，將正品和次品隔離，則超幾何分布將成為二項分布.

2.超幾何分布和二項分布這兩種離散型隨機變量的概率分布從表面上看來風馬牛不相及，但通過本節(jié)課的設(shè)計，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)兩種分布列相關(guān)知識的同時，也讓學(xué)生了解了這兩種分布列可以通過有無“放回”、隔離正品和次品等方法來互相轉(zhuǎn)換，也可把二項分布看作超幾何分布的極限，它們的期望和方差之間也存在這種極限關(guān)系.

在新授課中，大部分學(xué)生看待超幾何分布與二項分布是停留在區(qū)別上，而不是關(guān)系上，通過此復(fù)習(xí)課，學(xué)生不僅回顧了《隨機變量的分布列》的整章內(nèi)容，且收獲了全新的知識.

2 以新的推理、思想方法為線索歸納、整理舊知識

數(shù)學(xué)是一門邏輯推理的學(xué)科，思想方法是高中數(shù)學(xué)課程的主線，很多復(fù)習(xí)課可以以新的推理或思想方法為線索進行設(shè)計，推理包括歸納推理、類比推理、演繹推理.思想方法包括數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、建模思想、分類討論思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想等.例如《等差數(shù)列的復(fù)習(xí)課》可以以函數(shù)的思想方法為線索復(fù)習(xí)等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，《計數(shù)原理的復(fù)習(xí)》中可以利用數(shù)列思想進行復(fù)習(xí)，扇形染色問題中的數(shù)列方法、走樓梯—斐波拉契數(shù)列方法調(diào)換座位—貝努利裝錯信問題、傳球問題—縱向考慮的遞推思想、幾何問題—等差數(shù)列的應(yīng)用.《等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)習(xí)課》可以運用類比推理為線索，先復(fù)習(xí)等差數(shù)列的性質(zhì)，再運用類比思想復(fù)習(xí)等比數(shù)列，在選修21的《圓錐曲線與方程》章節(jié)復(fù)習(xí)中通過圓的性質(zhì)類比得到橢圓、雙曲線、拋物線等一系列性質(zhì).下面來看《等差數(shù)列的復(fù)習(xí)課》的教學(xué)設(shè)計，它是以函數(shù)的思想方法為線索復(fù)習(xí)等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).

教學(xué)目標

讓學(xué)生學(xué)會利用等差數(shù)列的概念來判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，能利用等差數(shù)列的性質(zhì)特征解決一些簡單數(shù)列問題.

學(xué)會利用函數(shù)的觀點來研究數(shù)列，認識等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式均為特殊的一次函數(shù)與二次函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生利用函數(shù)思想解決數(shù)列問題的能力.

讓學(xué)生體會到數(shù)列與函數(shù)不分家，數(shù)形不分家，享受數(shù)學(xué)的美.

教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：等差數(shù)列的判斷及其性質(zhì)的應(yīng)用

教學(xué)難點：利用函數(shù)思想認識等差數(shù)列，解決數(shù)列相關(guān)問題

教學(xué)過程

引例 請你給出兩個整數(shù).

問題1 若這兩個數(shù)依次是等差數(shù)列{an}的第3項、第7項，你能寫出an嗎？

追問：為什么給出兩項就能確定an？

設(shè)計意圖 引出等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n-1）d，并認識到點（n，an）是直線上的離散點.

問題2 若數(shù)列{an}滿足an=pn+q（p、q是常數(shù)），求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

設(shè)計意圖 回顧定義，學(xué)會用定義來證明等差數(shù)列.

問題3 若數(shù)列{an}滿足2an=an-1+an+1（n≥2）記Sn=a1+a2+…+an，且a4=4，則可求（ ?）值

A.S6 ? B.S7 ? C.S8 ? D.S9

設(shè)計意圖 復(fù)習(xí)等差中項，學(xué)會用2an=an-1+an+1（n≥2）證明等差數(shù)列.

追問：為什么S7與a1，d都無關(guān)？

設(shè)計意圖 揭示等差數(shù)列的幾何背景，加深對核心概念的理解.

問題4 若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2=S8=4.

（1）求S10的值;（2）求Sn的最大值.

設(shè)計意圖 通過一題多解，復(fù)習(xí)等差數(shù)列的兩個前n項和公式，鞏固等差數(shù)列的性質(zhì)，認識到點（n，Sn）是拋物線上的離散點.滲透函數(shù)方程和數(shù)形結(jié)合思想.

問題5 若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn=An2+Bn（A，B是常數(shù)），求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

變式 若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S12=84，S20=460.求S28的值.

設(shè)計意圖 揭示等差數(shù)列的前n項和的本質(zhì)特征，進一步加深對核心概念的理解.

利用函數(shù)思想來設(shè)計《等差數(shù)列的復(fù)習(xí)》，讓學(xué)生從一次函數(shù)的角度認識等差數(shù)列通項公式，從二次函數(shù)角度來認識等差數(shù)列前n項和公式，不僅有效地復(fù)習(xí)了等差數(shù)列中的核心知識點，同時又讓學(xué)生對數(shù)列的認識上升到更高的層次，也培養(yǎng)了學(xué)生用函數(shù)的觀點來認識數(shù)列問題的意識.

原有的舊問題的解決往往有固定模式，而以新的知識、推理、思想方法為線索歸納、整理舊知識會讓學(xué)生從另一個角度來理解數(shù)學(xué)問題，使得要解決的問題更加立體化，同時也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識是融會貫通的[2].

參考文獻

[1] 華羅庚.高等數(shù)學(xué)引論[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] 張維忠.基于課程標準的數(shù)學(xué)教學(xué)研究[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2013.

作者簡介 夏曉華，女，1971年生，浙江省永嘉縣人，教育碩士，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師.曾獲浙江省第五屆教育科學(xué)研究優(yōu)秀成果三等獎，浙江省優(yōu)秀教師、溫州市名師及溫州市勞動模范 .發(fā)表論文10余篇.