胡 沖 羅 豐范一飛 陳帥霖

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

基于N分隨機(jī)乘法模型的多重分形海雜波仿真

胡 沖 羅 豐*范一飛 陳帥霖

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

2分隨機(jī)乘法模型的倍乘因子的分布要求是關(guān)于1/2對稱的，所以基于此模型仿真出海雜波數(shù)據(jù)的多重分形譜函數(shù)形狀比較受限制。該文在分析2分隨機(jī)乘法模型構(gòu)造過程的基礎(chǔ)上，提出N分隨機(jī)乘法模型，它是2分隨機(jī)乘法模型的推廣，但卻突破倍乘因子分布關(guān)于1/2對稱的限制，更利于仿真具有期望形狀的多重分形譜函數(shù)的海雜波數(shù)據(jù)。理論推導(dǎo)和實驗結(jié)果均表明倍乘因子的分布決定多重分形譜函數(shù)的形狀。

目標(biāo)檢測；多重分形；海雜波；隨機(jī)乘法模型

1 引言

傳統(tǒng)的海雜波建模與仿真一般是基于海雜波的統(tǒng)計分布特性，仿真一般要求滿足時域的統(tǒng)計分布要求，頻域滿足特定的功率譜形狀[1?3]，比較有代表性的方法有球不變隨機(jī)過程法(Spherically Invariant Random Process, SIRP)和零記憶非線性變換法(Zero Memory Nonlinearity, ZMNL)等。然而自文獻(xiàn)[4]提出分形理論以來，海雜波的分形理論受到了廣泛關(guān)注[5?8]，因此有學(xué)者從分形及多重分形角度對海雜波進(jìn)行了建模、分析和仿真，其中一種模型便是2分隨機(jī)乘法模型。文獻(xiàn)[9]提出用2分隨機(jī)乘法模型對海雜波進(jìn)行建模，并從多重分形角度對其做了理論解釋，文獻(xiàn)[10,11]也根據(jù)2分隨機(jī)乘法模型的思想分析了實測海雜波的多重分形特性，文獻(xiàn)[12-14]運(yùn)用2分隨機(jī)乘法模型仿真了具有多重分形特性的海雜波，但2分隨機(jī)乘法模型的倍乘因子統(tǒng)計分布是關(guān)于1/2對稱的，這種限制不利于仿真出具有期望形狀多重分形譜函數(shù)的海雜波數(shù)據(jù)。

本文在分析2分隨機(jī)乘法模型構(gòu)造過程的基礎(chǔ)上，提出N分隨機(jī)乘法模型，該模型倍乘因子的統(tǒng)計分布沒有對稱性的限制，更有利于仿真出具有期望形狀多重分形譜函數(shù)的海雜波數(shù)據(jù)。因為2分隨機(jī)乘法模型是N分隨機(jī)乘法模型在N=2時的特殊情況，所以文中直接對N分隨機(jī)乘法模型進(jìn)行介紹，并推導(dǎo)該模型的多重分形特性，給出標(biāo)度指數(shù)與多重分形譜函數(shù)跟倍乘因子之間的關(guān)系且通過實測數(shù)據(jù)驗證了N分隨機(jī)乘法模型在N≠2時倍乘因子的非對稱性。最后通過實驗給出不同的倍乘因子統(tǒng)計分布會得出不同的非對稱多重分形譜函數(shù)，驗證了該模型的有效性。

2 N分乘法模型介紹

2.1 定義

考慮一段具有單位質(zhì)量單位長度的線段。將此線段分為等長的N份，此時每段線段對應(yīng)的尺度為N?1，同時將單位質(zhì)量按照比例r:r:…:r

12N

(r1+r2+…+rN=1且0＜ri＜1, i=1,2,…,N)分配給這N等份線段。然后對N個線段中每個線段同樣進(jìn)行這樣的長度N等分而質(zhì)量按照比例r1:r2:…:rN的分配操作，一直這樣操作下去，過程如圖1所示，此模型稱為“N分乘法模型”。 其中的比例因子r1,r2,…,rN稱為“倍乘因子”。若r1,r2,…,rN為常數(shù)c1,c2,…,cN時，則稱為“N分常乘法模型”，若r1,r2,…,rN為服從某種統(tǒng)計分布的隨機(jī)變量時，則稱為“N分隨機(jī)乘法模型”。

圖1 N分乘法模型構(gòu)造過程示意圖

2.2 模型的多重分形特性證明

N分常乘法模型在第n階段將產(chǎn)生Nn個數(shù)據(jù)。若N個常倍乘因子c1,c2,…,cN不滿足c1=c2=…=cN=1/N 時，則它是多重分形的。下面用Q階矩結(jié)構(gòu)分割函數(shù)法(Qth order Moment Structure Partition Function, Q-MSPF)[15]法來證明它的多重分形特性。

設(shè)序列{xi}, i=1,2,…,Nn是N分常乘法模型在第n階段產(chǎn)生的序列。很明顯它滿足歸一化條件

根據(jù)式(1)求序列在第n階段的配分函數(shù)χq(ε)，其中ε=N?n為第n階段的尺度[9]。

然后通過式(2)求q次相關(guān)指數(shù)τ(q)[9]：

由序列{xi}的構(gòu)造過程可知，在第n階段式(3)成立：

可將式(2)改寫為

其中a為常比例因子。由式(3)可知對于任意的尺度ε(即對于任意的h)，當(dāng)q=1時，χq(ε)=1。那么，當(dāng)q=1時取h=0得a=1。所以

式(5)兩邊取對數(shù)得到τ(q)～q 曲線的函數(shù)關(guān)系：

由式(6)可知，當(dāng)ci(i=1,2,…,N)不同時為1/N時，τ(q)～q曲線不是一條直線，因此N分常乘法模型是多重分形的[15]。

2.3 倍乘因子與標(biāo)度指數(shù)的關(guān)系

多重分形的標(biāo)度指數(shù)α(q)與其τ(q)存在的關(guān)系[9,16]為

將式(6)代入式(7)，得

不妨設(shè)c1＜c2＜c3＜…＜cN，則式(8)可寫為

或者

由式(9)和式(10)可以得出α(q)的取值范圍：

由式(11)和式(12)知，倍乘因子的分布范圍決定了標(biāo)度指數(shù)的分布范圍，由式(8)知，倍乘因子的分布形式?jīng)Q定了標(biāo)度指數(shù)的分布形式。而多重分形譜函數(shù)與標(biāo)度指數(shù)的關(guān)系為

將式(6)和式(8)代入得

由式(14)知，倍乘因子的分布也決定了多重分形譜函數(shù)的形式.

2.4 倍乘因子的統(tǒng)計分析

實測海雜波數(shù)據(jù)的倍乘因子ri(i=1,2,…,N )一般都不是常數(shù)，而是隨機(jī)的值，設(shè)其概率密度函數(shù)為p(ri)(0＜ri＜1)。當(dāng)N=2時，由于倍乘因子r與1?r在邏輯上的對稱性，所以它們有著同樣的概率密度函數(shù)p(r)并且p(r)的形狀是關(guān)于r=1/2軸對稱的[13,14]。當(dāng)N≠2時，ri與1?ri在邏輯上不存在對稱性，所以其概率密度函數(shù)p(ri)不是對稱的，但由于要滿足，所以它們往往在r=1/N處取得均值。下面采用實測數(shù)據(jù)驗證該結(jié)論的正確性。

文中采用來自加拿大McMaster大學(xué)的IPIX雷達(dá)在加拿大東海岸Dartmouth附近一個30 m高的山崖上測得的#283(19931118_035737_stareC0000. cdf)數(shù)據(jù)文件。文件中的數(shù)據(jù)集包含14個距離單元，每個距離單元由連續(xù)217個時域數(shù)據(jù)組成，共14×217個數(shù)據(jù)，每個數(shù)據(jù)由I通道和Q通道數(shù)據(jù)表示(I+jQ)。數(shù)據(jù)有兩種極化方式：水平極化發(fā)射水平極化接收(Horizontal transmission, Horizontal reception, HH)和垂直極化發(fā)射垂直極化接收(Vertical transmission, Vertical reception, VV)。實驗中的目標(biāo)是由金屬絲纏繞的直徑為1 m的錨定聚乙烯物體。有目標(biāo)距離單元為第10單元，第8、第9、第11和第12距離單元為目標(biāo)擴(kuò)展單元，其它為海雜波單元。圖2為14個距離單元一段時間的海雜波數(shù)據(jù)模值。IPIX雷達(dá)的主要參數(shù)如表1所示。

表1 IPIX雷達(dá)參數(shù)

首先需要提取實測海雜波的倍乘因子。設(shè)實測海雜波序列為X={x1,x2,…,xL},L=Nn。由序列X計算序列Y={y1,y2,…,yL/N}，使其滿足

那么可以計算出倍乘因子序列R={r1,r2,…,rL}滿足

表2 實測海雜波倍乘因子均值

表3 實測海雜波倍乘因子的偏度

3 仿真海雜波數(shù)據(jù)的多重分形特性驗證

通過本文第2部分的分析，不妨先尋求一個滿足條件的概率密度函數(shù)作為倍乘因子r的概率密度函數(shù)來仿真海雜波。對于2分隨機(jī)乘法模型，本文用對稱的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)來生成倍乘因子，對于N分隨機(jī)乘法模型，我們用非對稱的瑞利分布的概率密度函數(shù)來生成倍乘因子。但是正態(tài)分布隨機(jī)變量的取值是在(?∞,∞)之間的，瑞利分布隨機(jī)變量的取值是在(0,∞)之間的，而倍乘因子的取值是在(0,1)之間的，那么本文提出一種保留舍棄法來產(chǎn)生在特定區(qū)間服從某種分布的隨機(jī)變量的方法。

若X1和X2是[0,1]區(qū)間上的均勻分布隨機(jī)數(shù)，由式(17)和式(18)確定的隨機(jī)數(shù)Y1和Y2是相互正交的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)數(shù)

圖2 實測海雜波數(shù)據(jù)

圖3 實測海雜波數(shù)據(jù)倍乘因子統(tǒng)計分布

任意一個正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)數(shù)得到。

若X1和X2是兩個獨(dú)立均值為零的正態(tài)隨機(jī)數(shù)，則式(19)確定的隨機(jī)數(shù)Y為瑞利分布的隨機(jī)數(shù)。

任意一個瑞利隨機(jī)數(shù)可由均值為零的正態(tài)隨機(jī)數(shù)得到。

每產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)，檢驗其是否在(0,1)區(qū)間里。如果在，保留；如果不在，舍棄。直到保留點的隨機(jī)數(shù)個數(shù)達(dá)到所需的數(shù)目為止。本文給出了當(dāng)N=3時仿真產(chǎn)生的兩組不同倍乘因子分布時的海雜波數(shù)據(jù)，并對幾組仿真數(shù)據(jù)的非高斯性、長時相關(guān)性和尺度不變性進(jìn)行了驗證[17,18]，證明了仿真數(shù)據(jù)具有多重分形特性。圖4和圖5給出了其中一種倍乘因子分布時仿真產(chǎn)生的海雜波數(shù)據(jù)及其logN(Sm(q))～logN(m)曲線、τ(q)～q曲線和多重分形譜函數(shù)，圖6和圖7給出了另一種倍乘因子分布時仿真產(chǎn)生的海雜波數(shù)據(jù)及其logN(Sm(q))～logN(m)曲線、τ(q)～q曲線和多重分形譜函數(shù)。從圖4、圖5、圖6和圖7知，本文產(chǎn)生的海雜波數(shù)據(jù)具有多重分形特性。

根據(jù)本文2.3節(jié)對倍乘因子與標(biāo)度指數(shù)關(guān)系的分析，倍乘因子的統(tǒng)計分布間接影響多重分形譜函數(shù)的形狀。圖8是N=3時，不同倍乘因子分布時和其對應(yīng)的多重分形譜函數(shù)，可以看到不同分布的倍乘因子對應(yīng)不同對稱性的多重分形譜函數(shù)，當(dāng)倍乘因子分布偏左時，仿真出的海雜波的多重分形譜函數(shù)偏右，反之，當(dāng)倍乘因子分布偏右時，仿真出的海雜波的多重分形譜函數(shù)偏左，驗證了本文2.3節(jié)倍乘因子分布決定多重分形譜函數(shù)形式的結(jié)論。

4 結(jié)束語

本文提出N分隨機(jī)乘法模型仿真具有多重分形特性的海雜波，它是2分乘法模型的推廣，但卻突破了倍乘因子統(tǒng)計分布對稱性的限制，更有利于產(chǎn)生具有期望非對稱性的多重分形譜函數(shù)的數(shù)據(jù)。文中對該模型的多重分形特性做了證明，并給出了標(biāo)度指數(shù)與倍乘因子之間的關(guān)系。最后通過實驗證明運(yùn)用該方法仿真出的海雜波數(shù)據(jù)具有多重分形特性且可以根據(jù)倍乘因子的統(tǒng)計分布產(chǎn)生不同特性的多重分形海雜波數(shù)據(jù)。

圖4 第1組倍乘因子分布仿真的海雜波數(shù)據(jù)及其logN(Sm(q))～logN(m)曲線

圖5 第1組倍乘因子分布仿真海雜波數(shù)據(jù) 的τ(q)～q 曲線和其多重分形譜函數(shù)

圖6 第2組倍乘因子分布仿真的海雜波數(shù)據(jù)及其logN(Sm(q))～logN(m)曲線

圖7 第2組倍乘因子分布仿真海雜波數(shù)據(jù)的τ(q)～q 曲線和多重分形譜函數(shù)

圖8 不同分布的倍乘因子對應(yīng)不同的多重分形譜函數(shù)

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胡 沖： 男，1987年生，博士生，研究方向為海雜波特性分析與建模、海雜波背景下的目標(biāo)檢測等.

羅 豐： 男，1971年生，博士，教授，研究方向為雷達(dá)信號與信息處理、海雜波特性分析與建模、雜波背景下的目標(biāo)檢測、跟蹤與航跡關(guān)聯(lián)等.

范一飛： 男，1989年生，博士生，研究方向為海雜波特性分析與建模、海雜波背景下的目標(biāo)檢測等.

陳帥霖： 男，1986年生，博士生，研究方向為雜波背景下的目標(biāo)檢測、跟蹤及航跡關(guān)聯(lián)等.

Simulating Multifractal Sea Clutter by N-partitioned Random Multiplicative Process Model

Hu Chong Luo Feng Fan Yi-fei Chen Shuai-lin
(National Laboratory of Radar Signal Processing, Xidian University, Xi'an 710071, China)

The distribution of a multiplier of 2-partitioned random multiplicative model is symmetric about 1/2, which makes the shape of multifractal function of the simulation data be fixed. Based on the analysis of the construction process of the 2-partitioned random multiplicative model, the N-partitioned random multiplicative model is proposed, as a generalization of the 2-partitioned and it breaks the limitation that the multiplier is symmetric about 1/2. The model is more convenient to simulate data with the desired shape of multifractal function. It is proved theoretically and experimentally that the distribution of the multiplier determines the shape of the multifractal function.

Target detection; Multifractal; Sea clutter; Random multiplicative process model

TN959.72

： A

：1009-5896(2015)06-1470-06

10.11999/JEIT141042

2014-08-04收到，2014-10-20改回

國家部委基金資助課題

*通信作者：羅豐 luofeng@xidian.edu.cn