孫秀清

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院 基礎(chǔ)部，江蘇 鎮(zhèn)江 212016)

一類分形插值曲面的構(gòu)造方法

孫秀清

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院 基礎(chǔ)部，江蘇 鎮(zhèn)江 212016)

主要介紹矩形域上一類分形插值曲面的構(gòu)造方法，并對分形插值曲面的連續(xù)性進(jìn)行嚴(yán)格的證明。

仿射分形插值函數(shù)；壓縮因子 ；分形插值曲面

1986年，Barnsley[1-2]基于迭代函數(shù)系理論首先提出了分形插值函數(shù)的概念，它為數(shù)據(jù)擬合、函數(shù)逼近和計(jì)算機(jī)應(yīng)用等提供了一種新的工具。多年來，許多學(xué)者對分形插值曲面的構(gòu)造方法展開了廣泛討論，現(xiàn)有文獻(xiàn)已經(jīng)做了很多的工作，取得了豐碩的成果。文獻(xiàn)[3]構(gòu)造了在三維空間里一類多參數(shù)分形插值曲面。文獻(xiàn)[4]構(gòu)造了一例分段連續(xù)系統(tǒng)，并用迭代函數(shù)系來表示，進(jìn)而研究它的分形特征。以上研究在迭代函數(shù)系中使用的都是常數(shù)壓縮因子。文獻(xiàn)[5]研究了一類分形插值曲面的中心變差，為這類分形插值曲面的分形維數(shù)的計(jì)算提供了基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[6]考慮了多邊形區(qū)域上過任意插值點(diǎn)的自仿射分形插值曲面。文獻(xiàn)[7]證明了，在矩形區(qū)域上，當(dāng)邊界插值點(diǎn)共線時，迭代函數(shù)系的不變集是連續(xù)的插值曲面。文獻(xiàn)[8]構(gòu)造了有相同壓縮因子的迭代函數(shù)系， 提出了等距插值時新的構(gòu)造分形插值函數(shù)的方法。文獻(xiàn)[9]構(gòu)造了一類具有函數(shù)垂直尺度因子的迭代函數(shù)系，這類迭代函數(shù)系與傳統(tǒng)迭代函數(shù)系相比，在生成分形插值曲面時更加方便，對插值結(jié)點(diǎn)要求的條件也更簡單。事實(shí)上，這些構(gòu)造方法都給出了一些限制條件，如插值點(diǎn)共線、壓縮因子相等，Dalla[10]解除邊界插值節(jié)點(diǎn)共線和壓縮因子相等的限制，給出了一種新穎的構(gòu)造方法。本文所研究的分形插值曲面的構(gòu)造方法，放寬了邊界插值結(jié)點(diǎn)、壓縮因子相等這些限制條件，使得插值方法更加靈活，分形插值曲面的應(yīng)用更具靈活性和普適性。

1 仿射分形插值函數(shù)

給定閉區(qū)間

I=[a,b]。

令

{(xi,yi):i=0,1,…,m}

是I×R上的插值結(jié)點(diǎn)集,m∈N+且m≥2。其中

a=x0

是I的1個分劃。定義線性映射

Li(x)=aix+bi,

滿足條件

Li(a)=xi-1,

Li(b)=xi,

s=max{|Si|:i=1,2,…,m}<1

叫做垂直壓縮因子,我們定義映射

I×R→R,

Fi(x,z)=siz+cix+di,

滿足條件

Fi(a,z0)=zi-1,

Fi(b,zm)=zi,

其中i=1,2,…,m。我們得到仿射映射I×R→I×R:

(1)

其中

(2)

且i=1,2,…,m,則構(gòu)成1個插值結(jié)點(diǎn)是

{(xi,zi):i=0,1,…,m}

的迭代函數(shù)系

{I×R;ωi,i=1,2,…,m}。

(3)

根據(jù)參考文獻(xiàn)[1-2],我們可以得到下面的定理。

定理1設(shè){I×R;ωi,i=1,2,…,m}是雙曲迭代函數(shù)系,則存在唯一的不變集

K?R2。

它是I上f的連續(xù)函數(shù)的圖像,插值結(jié)點(diǎn)集是

{(xi,zi):i=0,1,…,m}。

即

K={(x,z):z=f(x),x∈I},

其中

f(xi)=zi,

i=0,1,2,…,m。如果

并且插值結(jié)點(diǎn)不在1條直線上,那么K的計(jì)盒維數(shù)就是滿足方程

(4)

的唯一解D,否則

dimB(K)=1。

通常情況下,f處處不光滑,f的計(jì)盒維數(shù)大于1。f是仿射映射ωi(i=1,2,…,m)生成的迭代函數(shù)系,那么f叫做仿射分形插值函數(shù)。

定理2f是迭代函數(shù)系{I×R;ωi,i=1,2,…,m}生成的仿射分形插值函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)f滿足方程

f(Li(x))=Fi(x,f(x)),

(5)

其中x∈I,i=1,2,…,m。

定理3假設(shè)壓縮因子

|si|<1,

i=1,2,…,m,兩組插值結(jié)點(diǎn)集

{(xi,zi):i=0,1,…,m}，

f和g是對應(yīng)的仿射分形插值函數(shù),則

(6)

其中

‖f-g‖∞=max{|f(x)-g(x)|:x∈I}。

證明令x∈I。假設(shè)x∈[xi-1,xi]。根據(jù)定理2,

因?yàn)?/p>

又因?yàn)?/p>

s=max{|Si|:i=1,2,…,m}<1≤

同理

因此,記

即

2 構(gòu)造分形插值曲面

令

G=[a,b]×[c,d]

是R2上的矩形域,

{(xi,yj,zi,j):i=0,1,…,m;j=0,1,…,n}

是R3上的一組數(shù)集,其中

a=x0

c=y0

令ui(y)(i=0,1,…,m)是

J=[c,d]

上的(m+1)次連續(xù)函數(shù),滿足插值條件

ui(yj)=zi,j,

其中j=0,1,…,m。

對于任意y∈[a,b]和數(shù)集{(xi,ui(y)):i=0,1,…,m},根據(jù)上述仿射分形插值函數(shù)的構(gòu)造方法,能得到插值結(jié)點(diǎn)集是{(xi,ui(y)):i=0,1,…,m}的仿射分形插值函數(shù)gy(x),那么有

gy(xi)=ui(y),

i=0,1,2,…,m。

令

f(x,y)=gy(x),

(x,y)∈[a,b]×[c,d]。

那么f(x,y)是[a,b]×[c,d]上的一個二元函數(shù),并且滿足插值條件

f(xi,yj)=zi,j,

其中i=0,1,2,…,m,j=0,1,2,…,n。

定理4f是G=[a,b]×[c,d]上的一個連續(xù)函數(shù)。

得到

i=0,1,2,…,m。根據(jù)函數(shù)f(x,y)的構(gòu)造方法和定理3,有

令

δ=min{δ1,δ2}，

對于

可以得到

因此函數(shù)f(x,y)在G上是連續(xù)的。

引理對于任意的x∈[a,b],如果截面z=f(x,y),y∈[c,d]是由迭代函數(shù)系

生成的仿射分形插值函數(shù),其中

那么截面

z=f(Li(x),y),

y∈[c,d]也是一個由迭代函數(shù)系

生成的仿射分形插值函數(shù),其中

證明對于任意的y∈[yj-1,yj],因?yàn)榻孛?/p>

z=f(·,y),

都是[a,b]的仿射分形插值函數(shù),據(jù)定理2得

f(Li(x),y)=Fi,j(x,f(x,y))=

sif(x,y)+ci,yx+di,j,

(7)

(8)

因?yàn)榻孛?/p>

z=f(x,·)

是閉區(qū)間[c,d]上的仿射分形插值函數(shù),是由迭代函數(shù)系

生成的,那么

又根據(jù)方程(7)和(8)得

(9)

因?yàn)?/p>

z=f(xk,·),

i=0,1,2,…,m,是[c,d]上的仿射分形插值函數(shù),根據(jù)定理2得

結(jié)合方程(9)得

其中Ai,j,Bi,j,Ci,j和Di,j在y上相互是獨(dú)立的。因此

z=f(Li(x),·)

也是一個仿射分形插值函數(shù)。完成引理的證明。

定理5如果ui(y),i=0,1,2,…,m是閉區(qū)間[c,d]上的仿射分形插值函數(shù),那么對于任意的x∈[a,b],f(x,·)也是閉區(qū)間[c,d]上的仿射分形插值函數(shù)。

證明對于任意的固定點(diǎn)x∈[a,b],令

z=g(y)

是閉區(qū)間[c,d]上的仿射分形插值函數(shù),插值結(jié)點(diǎn)集是

{(yj,f(x,yj)):j=0,1,2,…,n},

壓縮因子是

需要證明對于任意的y∈[c,d],

f(x,y)=g(y)。

顯而易見,存在連續(xù)的{i1,i2,…,ik,…},其中ik∈{1,2,…,m},那么

xk=Li1°Li2°…°Lik(x0)→x,(k→∞)。

因?yàn)閒(x0,·)是閉區(qū)間[c,d]上的仿射分形插值函數(shù),根據(jù)引理,截面f(xk,·),k=1,2,3,…是閉區(qū)間[c,d]上的仿射分形插值函數(shù),壓縮因子是

因?yàn)閒(·,yj),j=0,1,…,n在閉區(qū)間[a,b]上是連續(xù)的,對于任意的ε>0,存在N∈Z+,如果k>N,有

|f(xk,yj)-g(yj)|=|f(xk,yj)-f(x,yj)|<ε,

j=0,1,…,n,則任意的y∈[c,d]和k>N,根據(jù)定理3,

|f(xk,y)-g(y)|≤‖f(xk,y)-g‖∞≤

說明

根據(jù)定理4,定理5證明完畢。

[1] BARNSLEY M F. Fractal functions and interpolation[J].Constr Approx,1986(2):303-329.

[2] BARNSLEY M F. Fractal everywhere[M].New York: Academic Press,1988:17-18.

[3] 江镅,馮志剛.一類多參數(shù)分形插值曲面[J].成都信息工程學(xué)院學(xué)報(bào),2009,24(6):616-618.

[4] 戴俊.一例分段連續(xù)系統(tǒng)的分形特征[J].江蘇科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,20(5):37-40.

[5] 孫秀清.基于分形插值函數(shù)生成的分形插值曲面的中心變差[J].鎮(zhèn)江高專學(xué)報(bào),2014,27(3):44-47.

[6] GERONIMO J S,HARDIN D. Fractal interpolation surfaces and a related 2-D multiresolution analysis [J]. Journal of Mathematical Analysis and Application,1993,176 (2) :561-586.

[7] DALLA L. Bivariate fractal interpolation functions on grids[J]. Fractals,2002,10 (1):53-58.

[8] ROBERT M. The minkowski dimension of the bivartiate fractal interpolation surfaces [J].Chaos Solition and Fractal, 2006(27):1147- 1156.

[9] 彭濤.一類具有函數(shù)垂直比例因子的分形插值曲面[J].江蘇科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,24(6):615-618.

[10] BOUBOULIS P，DALLA L. Fractal interpolation surfaces derived from fractal interpolation functions[J]. Math Anal Appl,2007 (336):919-936.

〔責(zé)任編輯： 盧 蕊〕

Aconstructionmethodofaclassoffractalinterpolationsurfaces

SUNXiu-qing

(Basic Courses Department，Zhenjiang Branch of Jiangsu Joint Vocational and Technical College， Zhenjiang 212016，China)

A construction method of fractal interpolation surface on a rectangular domain with arbitrary interpolation nodes is introduced. The continuity of the bivariate functions corresponding to this type of fractal interpolation surfaces is proved.

affine fractal interpolation function; vertical scaling factors; fractal interpolation surface

2014-12-05

國家自然基金會資助項(xiàng)目(51079064)

孫秀清(1978—)，女，吉林松原人，講師，碩士，主要從事數(shù)學(xué)分形插值函數(shù)研究。

O186.1

： A

：1008-8148(2015)02-0055-04