同濟大學數學系 徐清悅

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有限體積法定價歐式看跌期權

同濟大學數學系 徐清悅

摘要：基于線性有限元空間，可以構造出歐式看跌期權定價模型的兩種穩(wěn)定的全離散有限體積格式。并且通過數值實驗的結果表明，有限體積法的定價是一種穩(wěn)定且高效的方式。

關鍵詞：歐式看跌期權 有限體積格式 數值實驗

有限體積法最早由我國學者李榮華教授以廣義差分法的名稱提出[1]，目前已和有限差分法、有限元法一樣，成為當今重要的三大偏微分方程(PDE)數值方法之一。由于該方法具有格式構造簡單、數值精度高、網格剖分靈活和易于處理復雜的邊界條件的特點，更重要的是可以保持某些物理量局部守恒性，因此在計算流體力學等領域有著十分廣泛的應用。

近年來，有限體積法也被眾多學者應用于期權定價問題的計算中，并且受到了廣泛的關注和研究[2-6]。其中，文獻[2-3]采用的是一種被稱之為“Fitted fi nite volume method”的離散方法對期權定價模型進行離散，最后得到期權的價格。而文獻[4]對“stochastic volatility”模型的對流項和擴散項分別采用有限體積法和有限元法離散，并結合懲罰函數法得到期權的價格。然而“Fitted”有限體積法并沒有直接建立在有限元空間上的離散，因此該方法并不是真正意義上經典的有限體積法，其更像是積分插值法的特殊改進。經典的有限體積法定價美式期權可以參考文獻[5-6]。

雖然歐式期權有著顯示的定價公式，但是很多時候人們更愿意采用先進的數值方法結合計算機技術進行科學計算。因此，本文詳細討論了一類經典的、更加簡單直接的有限體積法求解歐式看跌期權的定價模型，并建立了兩種穩(wěn)定的全離散有限體積元格式。最后用數值實驗表明該方法具有非常高的數值精度和計算效率。

1　歐式看跌期權模型

對于歐式看跌期權，邊界條件是：終止條件是：

其中，收益函數為：

E代表敲定價格。

2　有限體積格式

邊界條件仍為(2)式。

經有限體積元離散， 則半離散有限體積格式(5)對應的矩陣形式為：

其中，

下面考慮方程(3)的全離散有限體積格式。假設時間方向上步長為，則對應如下均勻網格剖分：

或者等價于：

其中，

3　數值實驗

下面我們通過數值實驗來進行驗證。對于離散后的代數系統，均采用超松弛(SOR)迭代法計算，松弛因子取經驗值，容許誤差為。令模型(1)中參數：

表1　有限體積法與BS定價公式的比較

由表1可知，兩種全離散有限體積格式的計算都是精確的，數值結果都隨著網格剖分數的增大而變得更加精確，而Crank-Nicolson格式的數值效果要好于隱式歐拉格式。

4　結語

本文考慮了歐式看跌期權定價模型的兩種穩(wěn)定的全離散有限體積格式，采用了超松弛(SOR)迭代法來求解離散后的代數系統。

數值實驗的結果表明，我們所構造的有限體積格式在期權定價中是穩(wěn)定且高效的，而Crank-Nicolson格式的數值效果要優(yōu)于隱式歐拉格式。由于線性有限體積元法的檢驗函數空間取為分片常數函數空間，因此其計算量明顯少于有限元方法，并具有較高的數值精度，數值實驗也驗證了這一點，因此該方法是期權定價中的一種很好的數值離散方法。

參考文獻

[1] Li R H，Chen Z Y，Wu W．Generalized difference methods for differential equations： Numerical analysis of finite volume methods[M]．New York：Marcel Dekker，2000．

[2] Huang C S，Huang C H，Wang S． A fitted finite volume method for the Valuation of Options on Assets with Stochastic Volatilities[J]．Comput，2006，77(3)．

[3] Zhang K，Wang S．Pricing options under jump diffusion processes with fitted finite volume method[J]．Appl．Mathe．Comput，2008，201(4)．

[4] Zvan R，Forsyth P A，Vetzal K R．Penalty methods for American options with stochastic volatility[J]．J．Comput．Appl．Mathe，1998，91(2)．

[5] 甘小艇，殷俊鋒．有限體積法定價美式期權[J]．應用數學與計算數學學報，2014，28(3)．

[6] 甘小艇，殷俊鋒．二次有限體積法定價美式期權[J]．計算數學，2015，37(1)．

中圖分類號：F224.9

文獻標識碼：A

文章編號：2096-0298(2015)07(c)-155-03