周 成，黃高明，高 俊

（海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院，湖北 武漢430033）

在目標(biāo)輻射源所發(fā)射或者反射的信號(hào)中，含有從目標(biāo)到接收站的時(shí)差（time difference of arrival，TDOA）和 頻 差（frequency difference of arrival，F(xiàn)DOA）測(cè)量信息，結(jié)合接收站自身的位置和速度信息，可以得到關(guān)于目標(biāo)位置和速度的非線性方程組［1-4］.無(wú)源定位方程具有高度的非線性，最直接的方法是采用搜索法［5-7］對(duì)目標(biāo)的定位估計(jì)值進(jìn)行求解，即對(duì)目標(biāo)定位所有可能的取值進(jìn)行遍歷，并計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，找到最優(yōu)的目標(biāo)定位估計(jì)值［8-10］.大量研究［11-13］發(fā)現(xiàn)，搜索法在較高噪聲的條件下仍然能夠保持較高的定位精度，但是存在計(jì)算量大，不滿足實(shí)時(shí)性的缺點(diǎn)［14-15］.Lu等［16］提出了一種基于最大似然估計(jì)的泰勒算法（Taylor）.該方法將無(wú)源定位方程在估計(jì)值處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)（Taylor-Series）展開(kāi)，從而將非線性的無(wú)源定位方程轉(zhuǎn)化成線性形式.在噪聲比較小的情況下，定位精度能夠達(dá)到克拉美羅界（Cramér-Rao lower bound，CRLB）（CRLB是無(wú)偏估計(jì)器所能達(dá)到的最小估計(jì)誤差均方值），但該方法面臨初始點(diǎn)選擇敏感和不一定收斂的問(wèn)題.Ho等［17］提出了經(jīng)典的基于兩步加權(quán)最小二乘（two-step weighted least squares，兩 步WLS）的TDOA／FDOA 定位算法.此算法將非線性TDOA／FDOA 定位方程轉(zhuǎn)化成偽線性方程，再通過(guò)兩步加權(quán)最小二乘運(yùn)算，能夠快速得到解析解，在適度的高斯TDOA／FDOA 噪聲強(qiáng)度時(shí)，定位精度能達(dá)到CRLB，其在求解過(guò)程中不存在初始值選擇和收斂的問(wèn)題，運(yùn)算量也比迭代算法要小.兩步WLS算法是TDOA／FDOA 定位問(wèn)題中經(jīng)典的解析算法，具有閉合解的形式，得到了極其廣泛的運(yùn)用.

迭代法與解析法在一定情況下均會(huì)導(dǎo)出較大偏差的目標(biāo)定位估計(jì)值.這是因?yàn)闊o(wú)源定位方程是高度非線性的，為了使得方程線性化以便于求解，迭代的定位算法將目標(biāo)在初始值進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，并忽略二階及二階以上的噪聲項(xiàng)，而具有解析解的兩步WLS 定位算法還采用了偽線性化的處理思路，在第一步的WLS過(guò)程中，引入了一個(gè)與目標(biāo)定位值相關(guān)的中間量，并將其視為與目標(biāo)獨(dú)立進(jìn)行方程求解，導(dǎo)致了更大的偏差值［18］.

目前能夠有效減小定位偏差的方法主要有2種，一種是對(duì)定位算法的偏差進(jìn)行估計(jì)，再?gòu)脑撍惴ǖ亩ㄎ唤Y(jié)果中減去偏差的偏差補(bǔ)償法［17-22］，該方法在對(duì)目標(biāo)定位偏差實(shí)現(xiàn)有效估計(jì)的前提下，能夠極大地減小目標(biāo)定位偏差值；另一種是BiasRed 算法［17，22］，該方法通過(guò)在定位算法中加入新的約束條件，對(duì)定位偏差進(jìn)行約束，能夠?qū)⒍ㄎ黄钪悼刂圃谝欢ǖ姆秶鷥?nèi)，但由于新增約束條件對(duì)噪聲敏感，會(huì)對(duì)定位的方差值造成影響.

針對(duì)上述2種方法，考慮到既要最大程度的減小目標(biāo)的定位偏差，又要盡量小地影響原算法對(duì)目標(biāo)定位的方差值，本文采用偏差補(bǔ)償法.針對(duì)具有解析解的兩步WLS定位算法，提出能夠有效去除定位偏差，具有閉合解形式的無(wú)源定位算法.該算法首先對(duì)兩步WLS算法在目標(biāo)定位求解過(guò)程中的偏差值進(jìn)行依次求解，得到最終的偏差值；再?gòu)膬刹絎LS算法的定位結(jié)果中直接減去該偏差值，得到經(jīng)過(guò)偏差補(bǔ)償?shù)哪繕?biāo)定位解.

1 TDOA／FDOA 無(wú)源定位模型

考慮三維空間中的無(wú)源定位問(wèn)題.利用M 個(gè)位置和速度準(zhǔn)確已知的接收站對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位.假設(shè)各個(gè)接收站的位置為si＝［xi，yi，zi］T，速度為＝，i＝1，2，…，M，目標(biāo)的位置和速度分別為uo＝［x ，y，z ］T和.其中，（＊ ）o表示含噪量（＊ ）的真實(shí)值.在三維空間中，需要M≥4個(gè)接收站才能完成目標(biāo)定位，并且所有接收站不在同一條直線上或平面上，才能保證目標(biāo)定位的唯一性.為了表述方便又不失一般性，假設(shè)第一個(gè)接收站為基準(zhǔn)站.無(wú)源定位示意圖如圖1所示.

圖1 無(wú)源定位示意圖Fig.1 Passive localization scenario

第i個(gè)接收站到目標(biāo)的距離為

為了有效利用FDOA 信息，對(duì)式（1）求時(shí)間微分可得

對(duì)式（2）求時(shí)間微分可得

在實(shí)際應(yīng)用中，TDOA 和FDOA 觀測(cè)值存在誤差，可表示為

2 TDOA／FDOA 無(wú)源定位算法閉合解及其偏差分析

首先對(duì)文獻(xiàn)［16］所提出的TDOA／FDOA 閉合解形式的定位方法進(jìn)行介紹.然后，針對(duì)該算法，對(duì)其定位偏差進(jìn)行理論分析，得出定位的偏差值.最后，將原定位解減去偏差值的期望，得到一個(gè)有效去除定位偏差的新解.

2.1 TDOA／FDOA閉合解

文獻(xiàn)［16］所提出的兩步WLS算法在三維的情況下，至少需要5個(gè)接收站才能實(shí)現(xiàn)定位.具體的定位算法可以分為兩步加權(quán)最小二乘.為了方便后續(xù)偏差分析中公式的引用，在此僅羅列兩步WLS定位算法中必要的公式，算法的具體推導(dǎo)與實(shí)現(xiàn)請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)［16］.

1）兩步WLS定位算法的第一步結(jié)果為

2）第二步：

2.2 偏差分析

在偏差分析中，假設(shè)為小噪聲環(huán)境［17］，即測(cè)量噪聲足夠小，二階以上的噪聲項(xiàng)對(duì)目標(biāo)定位精度幾乎不產(chǎn)生影響.假設(shè)目標(biāo)不靠近任何一個(gè)接收站，確保B1對(duì)噪聲不敏感［16］.將兩步5算法每個(gè)步驟的偏差值逐一分析如下.

1）第一步的偏差值Δθ1.

將式（8）中h1、G1的值代入式（13），得

對(duì)式（14）求期望，即可求得θ1的理論偏差值.但是，由于G1中含有TDOA 和FDOA 測(cè)量噪聲，求解的過(guò)程將十分復(fù)雜.為此，先給出θ1的理論偏差值，將在附錄A 中對(duì)其進(jìn)行證明.

定理1 兩步WLS算法第一步定位結(jié)果θ1的偏差期望值為

其中，

H1（N ＋1，∶ ）和H1（2（ N ＋1） ，∶ ）分 別 表 示H1的 第 N ＋ 1 行 和 第 2 （N ＋1） 行；Q （1∶M-1，1∶M-1） 表示矩 陣Q 的1 到M-1行、1到M-1 列所組成的新矩陣；qd是一個(gè)列向量，其元素由Q（1∶M-1，1∶M-1）的對(duì)角線元素組成.E ［Δθ1］的 第 一 部 分，H1［qd，0（M-1）×1］，是由于對(duì)測(cè)量值進(jìn)行平方處理后，來(lái)自回歸量h1的二階噪聲分量；剩余部分的偏差來(lái)自于從屬變量G1中的噪聲.

2）第二步的偏差值Δθ2.

在式（10）的左右兩邊同時(shí)減去真實(shí)值θo2，得到誤差量為

將式（11）代入式（18）得

對(duì)式（19）求期望，即得到第二步的偏差值.

定理2 兩步WLS算法第二步定位結(jié)果θ2的偏差期望值為

其中，

c1和c2都是列向量，其值分別來(lái)自于C1（1∶N＋1，1∶N＋1）和C1（1∶N＋1，N＋2∶end）對(duì)角線上的元素.C1是θ1的均方誤差（mean squares error，MSE）矩陣，表示為

α、β、γ 的值以及定理2的證明將在附錄B 中進(jìn)行詳細(xì)闡述.

3）總偏差值Δθ.

目標(biāo)定位的真實(shí)值由θo表示，θo可以表示成

式中：θ為兩步WLS估計(jì)器對(duì)目標(biāo)位置和速度的估計(jì)值，Δθ為目標(biāo)估計(jì)的偏差：

在式（10）中，用uo＋Δu 替換u，用＋替換，用＋Δθ2替換θ2，可得

等式的右邊分別表示真實(shí)值、一階誤差項(xiàng)、二階誤差項(xiàng)，且有

故式（23）可以化為

式中：

對(duì)式（24）移項(xiàng)整理，得到總的偏差值為

結(jié)合式（19）和（26），可得Δθ與Δθ1的關(guān)系.

對(duì)式（26）取期望得

式中：

其中，C3是θ的協(xié)方差矩陣［16］.

式（27）是兩步WLS算法的目標(biāo)定位理論偏差值.將兩步WLS 算法對(duì)目標(biāo)定位的估計(jì)值減去其理論偏差值，就得到去除定位偏差后的目標(biāo)定位結(jié)果：

式中：θ表示兩步WLS 算法對(duì)目標(biāo)位置和速度的估計(jì)值.

在實(shí)際的求解偏差過(guò)程中，式（27）要用到目標(biāo)位置和速度的真實(shí)值，而這兩者是未知數(shù)，需要用目標(biāo)位置和速度的估計(jì)值來(lái)替換真實(shí)值進(jìn)行計(jì)算.

3 定位性能分析

對(duì)于參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，CRLB 為任何無(wú)偏估計(jì)量的方差確定了一個(gè)下限，為無(wú)偏估計(jì)量的性能提供了標(biāo)準(zhǔn).將去除定位偏差的TDOA／FDOA 的目標(biāo)定位估計(jì)的協(xié)方差與CRLB進(jìn)行比較.首先證明所提算法的目標(biāo)定位估計(jì)值是無(wú)偏的，然后求出目標(biāo)估計(jì)的協(xié)方差值，并與CRLB進(jìn)行比較.

將CRLB的表達(dá)式表述如下［16］：

式（29）到（34）詳細(xì)的證明可以參見(jiàn)文獻(xiàn)［16］.

兩步WLS算法對(duì)目標(biāo)位置和速度的估計(jì)結(jié)果可以表示為

將式（35）代入式（28）并取期望得

因此，所提出的算法對(duì)目標(biāo)的位置和速度估計(jì)是無(wú)偏的.

求目標(biāo)估計(jì)的協(xié)方差，利用式（28）和（35）可得：

將式（26）、（19）和式（A6）代入式（37），忽略二階以上的誤差統(tǒng)計(jì)量得

式中：

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了檢驗(yàn)本文所提算法的有效性，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)如下.利用6個(gè)接收站對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位，目標(biāo)位置uo＝ ［2 000，2 500，3 000 ］T，速 度＝［-20，15，40］T.6個(gè)接收站的位置和速度如表1所示.

表1 接收站的位置和速度Tab.1Position and velocity of receiver

由于TDOA 測(cè)量值與FDOA 測(cè)量值分別來(lái)自于目標(biāo)的位置信息和速度信息，兩者不相關(guān)，假設(shè)由目標(biāo)的TDOA 和FDOA 所組成的測(cè)量向量的均值為0，協(xié)方差為

式中：R 的對(duì)角元素全部為1，其余元素均為0.5［23］.σd為TDOA 測(cè)量誤差值，σf為FDOA 測(cè)量誤差值，并且假設(shè)σ2f＝0.01×σ2d［23］.對(duì)目標(biāo)的位置和速度進(jìn)行L＝10 000次的仿真實(shí)驗(yàn)，定位的精度由均方根誤差和偏差來(lái)衡量，定義為

定義TDOA 測(cè)量誤差值的分貝表示形為

針對(duì)目標(biāo)定位的均方根誤差，將兩步WLS 算法、Taylor算法、BiasRed算法以及本文所提出的算法進(jìn)行比較，如圖2和3所示.其中，Taylor算法是將目標(biāo)的真實(shí)位置和速度值作為初始值，采用高斯-牛頓迭代法對(duì)目標(biāo)的位置和速度進(jìn)行估計(jì)［15，17］.由仿真結(jié)果可得：對(duì)于目標(biāo)的位置估計(jì)，當(dāng)TDOA測(cè)量噪聲σ2d＜24dB 時(shí)，本文所提出的算法仍然能夠達(dá)到CRLB；當(dāng)σ2d≥24dB時(shí)，隨著測(cè)量噪聲增大，小噪聲的假設(shè)條件已不再滿足，本文所提出的算法與兩步WLS算法同時(shí)開(kāi)始偏離CRLB；而B(niǎo)iasRed算法在σ2d＝18dB時(shí)已經(jīng)開(kāi)始偏離CRLB，這是由于其在原兩步WLS算法中加入了新的約束條件，而該條件對(duì)噪聲較敏感造成的［17］.由于Taylor算法是將目標(biāo)的真實(shí)位置和速度值作為初始值，其定位結(jié)果一直接近CRLB.但在實(shí)際的定位環(huán)境中，初始值的選擇往往與真實(shí)值存在一定偏差，很可能出現(xiàn)無(wú)法收斂的問(wèn)題.對(duì)于目標(biāo)的速度估計(jì)，當(dāng)TDOA測(cè)量噪聲σ2d≤18dB 時(shí)，上述4種定位算法均達(dá)到了CRLB.隨著噪聲的增大，除了Taylor算法仍接近CRLB外，其余3種算法逐漸開(kāi)始偏離CRLB，其偏離的原因是由于噪聲增大之后，小噪聲的假設(shè)條件已經(jīng)不再滿足，忽略二階以上噪聲對(duì)目標(biāo)的定位產(chǎn)生了嚴(yán)重的影響.

圖2 不同定位算法對(duì)目標(biāo)位置估計(jì)的均方根誤差比較Fig.2 Comparison of RMSEs for source position estimates from different location algorithms

圖3 不同定位算法對(duì)目標(biāo)速度估計(jì)的均方根誤差比較Fig.3 Comparison of RMSE for source velocity estimates from different location algorithms

圖4 不同定位算法對(duì)目標(biāo)位置估計(jì)的偏差比較Fig.4 Comparison of bias for source position estimates from different location algorithms

圖5 不同定位算法對(duì)目標(biāo)速度估計(jì)的偏差比較Fig.5 Comparison of bias for source velocity estimates from different location algorithms

針對(duì)目標(biāo)定位的偏差，將兩步WLS算法、Taylor算法、BiasRed算法以及本文所提出的算法進(jìn)行比較，如圖4和5所示.由仿真結(jié)果可得：1）當(dāng)小噪聲假設(shè)仍然適用時(shí)，即當(dāng)本文所提出的算法未偏離CRLB時(shí)，兩步WLS算法偏差的理論分析值與實(shí)際偏差值基本一致，證明本文所提出的方法能對(duì)兩步WLS算法的偏差值進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)；2）當(dāng)噪聲足夠小、4種算法的RMSE值都能達(dá)到CRLB時(shí)，Taylor算法的目標(biāo)位置和速度估計(jì)偏差值分別比兩步WLS算法的偏差值小12dB 和4dB 左右，這是由于兩步WLS算法在求解過(guò)程中進(jìn)行偽線性化處理以及WLS估計(jì)器中的回歸量h1與從屬變量G1中的噪聲相互交迭造成的［17］；3）當(dāng)噪聲足夠小、4 種算法的RMSE值都能達(dá)到CRLB時(shí)，本文所提出的算法對(duì)目標(biāo)的位置估計(jì)偏差比兩步WLS算法要小35dB 左右，比Taylor算法小20dB 左右，比BiasRed算法小30dB左右；對(duì)目標(biāo)的速度估計(jì)偏差，比兩步WLS算法要小25dB 左右，比Taylor算法要小20dB左右，比BiasRed算法小15dB左右.這是由于在上述4種算法中，兩步WLS算法和Taylor算法并沒(méi)有進(jìn)行定位偏差抑制方面的處理，其定位偏差程度較大；BiasRed算法是在兩步WLS算法的基礎(chǔ)上，加入新的約束條件，對(duì)第一步的偏差Δθ1進(jìn)行抑制［17］，忽略了第二步的偏差Δθ2對(duì)總偏差的影響，其偏差程度較原兩步WLS算法會(huì)有所改善.本文所提出的算法是先對(duì)兩步WLS算法的目標(biāo)定位偏差值進(jìn)行估計(jì)，再?gòu)脑烙?jì)值中減去總的偏差值，在噪聲較小、偏差估計(jì)準(zhǔn)確的情況下，本算法能夠最大程度地去除定位偏差.

5 結(jié) 語(yǔ)

相比于迭代法，本文提出的去除偏差的具有閉合解形式的TDOA／FDOA 定位算法無(wú)需初始值的估計(jì)，不存在收斂的問(wèn)題.經(jīng)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，在遠(yuǎn)距離目標(biāo)和小噪聲的條件下，本文算法算法與Taylor算法、兩步WLS 算法和BiasRed算法保持同等程度的定位方差，而該算法的定位偏差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其余3種算法，證明該算法能夠有效的去除定位偏差，提高目標(biāo)的定位精度.在下一步的研究中，將會(huì)進(jìn)一步考慮在接收站自身的位置和速度參數(shù)存在誤差條件下的目標(biāo)定位偏差去除問(wèn)題.

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附錄A 定理1的證明

假設(shè)P1＝W1G1，代入式（14）得

G1可以表示為

將式（A2）代入P1＝W1G1得

式中：P1含有的二階噪聲統(tǒng)計(jì)量W1ΔG1，其與相乘之后將產(chǎn)生二階以上的噪聲項(xiàng)，在本文所假設(shè)的小噪聲環(huán)境下，其對(duì)目標(biāo)定位的影響可以忽略不計(jì).同時(shí)，在小噪聲環(huán)境下，根據(jù)Neumann展開(kāi)［24］，有

將式（A2）和（A5）代入式（A1），在小噪聲環(huán)境下，忽略二階以上的誤差統(tǒng)計(jì)量，得

利用式（A3）和跡的等式y(tǒng)TAx＝tr （Ax yT）得

將式（A4）、（A5）代入式（A6），并取期望，即得到式（15）.證畢.

附錄B 定理2的證明

盡管G2是常量，但是由于W2中有含噪量B2和G1，應(yīng)將其展開(kāi)成包含噪聲項(xiàng)Δr、Δ˙r、Δθ1表達(dá)的形式.B2可以寫(xiě)成如下形式：

將式（A4）和（B1）代入式（12），忽略高于二階的噪聲統(tǒng)計(jì)量，得W2≈Wo2＋ΔW2，

為了表達(dá)方便，令P2＝W2G2，故有

在小噪聲的假設(shè)條件下，Po-12ΔP2≈O，同樣有

將式（B3）代入式（19），忽略高于二階的誤差統(tǒng)計(jì)量，可得θ2的偏差為

式中

代入式（B2），可得

利用式（A4）和（A6），忽略高于二階的誤差統(tǒng)計(jì)量，并利用跡的等式y(tǒng)TAx＝tr （Ax yT），α 的值可以表示為

其中，

利用式（B1），可得

式中：P5＝P3Bo2，P5W ＝Wo2P5.P5W 與C1具有相同的維度，可以劃分為分塊矩陣如下

利用式（B1），可得

式中：P5B＝Bo-12P5.P5B 與C1具有相同的維度，可以劃分為分塊矩陣如下

將式（15）、（B5）、（B6）、（B8）代入式（B4），即得到θ2的偏差值表達(dá)式（20）.證畢.