張畢西， 謝祥添,2

(1.廣東工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,廣東 廣州 510520； 2.廣東理工職業(yè)學(xué)院 管理工程系,廣東 廣州 510091)

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基于產(chǎn)品合格率隨機(jī)分布的投產(chǎn)量模型優(yōu)化

張畢西1， 謝祥添1,2

(1.廣東工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,廣東 廣州 510520； 2.廣東理工職業(yè)學(xué)院 管理工程系,廣東 廣州 510091)

當(dāng)產(chǎn)品合格率隨機(jī)分布時(shí)，建立起以投產(chǎn)綜合損失費(fèi)(欠產(chǎn)再投產(chǎn)費(fèi)，過(guò)量產(chǎn)出費(fèi)和不合格處理費(fèi))期望值為目標(biāo)函數(shù)，投產(chǎn)量為決策變量的投產(chǎn)量模型。結(jié)合產(chǎn)品合格率隨機(jī)分布不同(均勻分布和正態(tài)分布)推導(dǎo)求解了模型的最優(yōu)解，得出了產(chǎn)量與投產(chǎn)量的等式關(guān)系，據(jù)此可有效地指導(dǎo)生產(chǎn)。最后通過(guò)數(shù)值實(shí)例分析驗(yàn)證了模型的有效性。

訂單式生產(chǎn)；投產(chǎn)量；產(chǎn)品合格率；誤差函數(shù)；歐米加函數(shù)

0 引言

在以客戶(hù)為中心的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，許多企業(yè)采用了多品種、小批量、訂單式的生產(chǎn)方式[1]。在這種生產(chǎn)方式過(guò)程中，由于品種多樣，經(jīng)常調(diào)整生產(chǎn)設(shè)備和生產(chǎn)批量小，相對(duì)于大批量、標(biāo)準(zhǔn)化生產(chǎn)模式，產(chǎn)品合格品率較低，若仍以產(chǎn)品的實(shí)際產(chǎn)量作為投產(chǎn)量，會(huì)導(dǎo)致欠產(chǎn)而重復(fù)投產(chǎn)，致使成本升高和交貨期難以保證；過(guò)量生產(chǎn)又會(huì)導(dǎo)致生產(chǎn)過(guò)剩而產(chǎn)生過(guò)量處理費(fèi)用。在訂單式生產(chǎn)過(guò)程中，訂單中有一小部分產(chǎn)品是新產(chǎn)品或者重復(fù)生產(chǎn)低[2]，這類(lèi)產(chǎn)品的合格率能夠預(yù)測(cè)為一定的范圍內(nèi)出現(xiàn)，因而可以建立產(chǎn)品合格率服從均勻分布的投產(chǎn)模型。對(duì)于大部分產(chǎn)品的合格率在生產(chǎn)過(guò)程中受到大量獨(dú)立的隨機(jī)因素如原材料、設(shè)備、人員、環(huán)境等的影響，根據(jù)中心極限定理它往往近似地服從正態(tài)分布[3]。文獻(xiàn)[4]研究了產(chǎn)品的合格率服從正態(tài)分布，以損失期望值最小化為目標(biāo)，建立了產(chǎn)品計(jì)劃投產(chǎn)量?jī)?yōu)化決策模型，并針對(duì)某生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)問(wèn)題，建立了投產(chǎn)決策離散模型很好解決了該企業(yè)投產(chǎn)量的實(shí)際問(wèn)題，但是該文并沒(méi)有給出投產(chǎn)決策模型數(shù)學(xué)意義上的最優(yōu)解。本文在投產(chǎn)決策模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)費(fèi)馬定理和極值第二充分條件推導(dǎo)求解了產(chǎn)品合格率分別服從均勻分布與正態(tài)分布時(shí)的最優(yōu)解，得出了投產(chǎn)量與產(chǎn)量之間的等式關(guān)系，這對(duì)企業(yè)投產(chǎn)計(jì)劃量有一定的指導(dǎo)作用。

1 投產(chǎn)量模型

模型參數(shù)：

過(guò)量產(chǎn)出的損失費(fèi)期望值為：

(1)

s.t.riPi≥Qi

產(chǎn)量不足的損失費(fèi)期望值為：

(2)

s.t.riPi≤Qi

以投產(chǎn)綜合損失費(fèi)期望值為投產(chǎn)量決策標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品i投產(chǎn)量決策模型如下：

(3)

s.t.Pi≥0, 0≤ri≤1

2 ri～U(a,b)模型優(yōu)化

若產(chǎn)品i的合格率ri～U(a,b)則有：

(4)

把式(4)代入式(3)有：

(5)

(6)

對(duì)含未知數(shù)Pi的方程(6)求解得：

(7)

3 ri～N(u,σ2)模型優(yōu)化

3.1 產(chǎn)品i的合格率ri～N(0,12)模型求解

若產(chǎn)品i的合格率ri～N(0,12)則有：

(8)

把式(8)代入式(3)有：

(9)

式(9)中有兩種類(lèi)型的積分：

(1)在積分函數(shù)中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率函數(shù)系數(shù)含ri的，設(shè)該類(lèi)型積分為f1：

(10)

(2)在積分函數(shù)中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率函數(shù)系數(shù)不含ri的，設(shè)該類(lèi)型積分為f2：

(11)

其中b，a是積分的上下限；λ是系數(shù)；erf(x)函數(shù)為誤差函數(shù)，表達(dá)式為[5]：

(12)

根據(jù)式(10)和(11)可求式(9)化簡(jiǎn)有：

(13)

(14)

其中誤差函數(shù)erf(x)的導(dǎo)數(shù)為[5]：

(15)

t1ep+t2+t3pep=0

(16)

其中t1，t2和t3是系數(shù)，方程(16)的求解過(guò)程如下：

設(shè)：t1+t3p=z，所以p=(z-t1)/t3

(17)

其中LambertW為歐米加函數(shù)或乘數(shù)對(duì)數(shù)其表達(dá)式為[6]：

LambertW(x)eLambertW(x)=x

(18)

根據(jù)式(17)可得方程(14)的解為：

(19)

(20)

現(xiàn)設(shè)

(21)

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)LambertW(x)有兩個(gè)分支，其中主分支，當(dāng)x∈[-1/e,+∞)時(shí)，LambertW(x)>-1[6,7]，其圖像如圖1所示。

圖1 LambertW(x)實(shí)數(shù)范圍主分支

3.2 產(chǎn)品合格率ri～N(u,σ2)模型求解

若產(chǎn)品合格率ri～N(u,σ2)則有：

(22)

把式(22)代入式(3)有：

(23)

(24)

其中式(23)同樣有兩種類(lèi)型的積分：

對(duì)式(23)E(Pi)″化簡(jiǎn)有：

(25)

4 數(shù)值實(shí)例

產(chǎn)品1：

根據(jù)模型參數(shù)的定義有：S1=3000元/次，Q1=3000kg，C1r=120元/kg，C1q=180元/kg，C1g=260元/kg，r1～U(0.70,0.98)和Pi=P1，把它們分別代入式(5)有：

(26)

對(duì)上式作E(P1)與P1的關(guān)系圖，如圖2所示。期望成本E(P1)隨著P1的增加先下降后增加，存在一個(gè)最小值。

把S1=3000元/次，Q1=3000kg，C1r=120元/kg，C1q=180元/kg，C1g=260元/kg和r1～U(0.70,0.98)分別代入式(7)的Pi1有：

圖2 E(P1)與P1的關(guān)系(r1～U(0.70,0.98)) 圖3 E(P2)與P2的關(guān)系(r2～N(0.9,12))

產(chǎn)品2：

根據(jù)模型參數(shù)的定義有：S2=3500元/次，Q2=5000kg，C2r=120元/kg，C2q=180元/kg，C2g=260元/kg，r2～N(0.9,12)和Pi=P2，把它們分別代入式(23)有：

(27)

對(duì)上式作E(P2)與P2的關(guān)系圖，如圖3所示。期望成本E(P2)隨著P2的增加先下降后增加，存在一個(gè)最小值。

把S2=3500元/次，Q2=5000kg，C2r=120元/kg，C2q=180元/kg，C2g=260元/kg，r2～N(0.9,12)和Pi=P2分別代入式(24)有：

5 結(jié)束語(yǔ)

(1)通過(guò)對(duì)產(chǎn)品合格率隨機(jī)分布的投產(chǎn)量模型求解分析可知：當(dāng)合格率服從均勻分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)，存在著最優(yōu)投產(chǎn)量使得產(chǎn)品的投產(chǎn)綜合損失費(fèi)最小。

的根解將是我們研究的內(nèi)容，其中t1，t2，t3，t4，t5和t6是系數(shù)。

[1] Stevenson M, Hendry L C, Kingsman B G. A review of production planning and control: the applicability of key concepts to the make-to-order industry[J]. International Journal of Production Research, 2005, 43(5): 869- 898.

[2] Mohd S M, Hendry L.The SHEN model for MTO SMEs: a performance improvement tool[J]. International Journal of Operations & Production Management, 2003, 23(5): 470- 486.

[3] Chatterji S D. Lindeberg’s central limit theorem à la Hausdorff[J]. Expositiones Mathematicae, 2007, 25(3): 215-233.

[4] 張畢西,宋靜,關(guān)柳穎.基于訂單式生產(chǎn)下的產(chǎn)品計(jì)劃投產(chǎn)量決策[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2008,7:165-168.

[5] Erdélyi A, Magnus W, Oberhettinger F, Bateman H. Higher transcendental functions[M]. McGraw-Hill: New York, 1953.

[6] Corless R M, Gonnet G H, Hare D E G, et al. On the lambertW function[J]. Advances in Computational Mathematics, 1996, 5(1): 329-359.

[7] 龍敏,周鐵軍.Lambert W函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用[J].衡陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2001,32(6):38- 40.

[8] Shampine L F, Kierzenka J, Reichelt M W. Solving boundary value problems for ordinary differential equations in MATLAB with bvp4c[J]. Tutorial Notes, 2000, 6: 1-30.

[9] 吳專(zhuān)保.非線性方程幾種數(shù)值解法的MATLAB程序[J].寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2007,11(2):20-22.

Optimizing the Model of Quantity Putting into Production Based on Product Pass Rate Randomly Distributed

ZHANG Bi-xi1, XIE Xiang-tian1,2

(1.SchoolofManagement,GuangdongUniversityofTechnology,Guangzhou510520，China; 2.DepartmentofManagementEngineering,GuangdongPolytechnicInstitute,Guangzhou510091,China)

When the product pass rate is randomly distributed, we build up the decision-making model of quantity putting into production, which is with total loss (insufficient production and then putting into production again charges, excess output charges and unqualified handling charges) expected value as the objective function, quantity putting into production as the decision variables. We sdve the optimal solution of the model with uniform distribution or normal distribution, and obtain equation between production and cast production, which effectively guide the production plan. Finally, we use a numerical example to prove the model is valid.

make to order; quantity putting into prodution; pass rate of product; erf(x); LambertW(x)

2013- 03-11

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：適應(yīng)復(fù)雜需求的SMPEs運(yùn)營(yíng)作業(yè)系統(tǒng)管理與優(yōu)化研究(71271060)，訂單式生產(chǎn)人工作業(yè)系統(tǒng)(MTO/MOS)組織與優(yōu)化研究(70971026)； 廣東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目:復(fù)雜需求環(huán)境下小型制造企業(yè)作業(yè)系統(tǒng)組織與優(yōu)化研究(S2012010009278)；廣東理工職業(yè)學(xué)院資助項(xiàng)目: 基于復(fù)雜環(huán)境下中小型企業(yè)標(biāo)準(zhǔn)化生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)系統(tǒng)優(yōu)化研究(1321)。

張畢西(1954-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向：生產(chǎn)系統(tǒng)優(yōu)化、供應(yīng)鏈管理。謝祥添(1981-)，男，博士，講師，主要研究方向：管理科學(xué)與工程。

F2

A

1007-3221(2015)04- 0097- 08