吳仁愿，曹國華，岳 嶺

（1.中國礦業(yè)大學(xué)，徐州 221116；2.東南電梯股份有限公司，蘇州 215100）

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和社會的不斷進(jìn)步，樓層越來越高，曳引電梯也日益朝著大高度高速度發(fā)展。振動(dòng)是影響電梯舒適性的重要因素，對于高速電梯尤為重要。因此，對曳引電梯提升動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究，在設(shè)計(jì)階段掌握曳引電梯的振動(dòng)情況具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

國內(nèi)外專家學(xué)者對曳引電梯的提升動(dòng)力學(xué)做了諸多研究，文獻(xiàn)[1～4]建立電梯系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型時(shí)忽略了曳引鋼絲繩本身的質(zhì)量，而將其僅僅看作一個(gè)隨鋼絲繩懸掛長度變化的彈簧-阻尼器；文獻(xiàn)[5, 6]將每一段鋼絲繩被分割為若干個(gè)具有時(shí)變參數(shù)的質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)，各參數(shù)均隨著電梯轎廂的運(yùn)動(dòng)而變化，建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)要考慮曳引鋼絲繩的每一段離散質(zhì)量，因此方程組的維數(shù)要增加很多，當(dāng)鋼絲繩分割的段數(shù)越多，模型就越真實(shí)，但計(jì)算量呈幾何級數(shù)的增加。采用瑞利方法能量原則對曳引繩的質(zhì)量進(jìn)行處理。

1 動(dòng)力學(xué)模型的建立

本文建立的曳引比為1:1的電梯機(jī)械系統(tǒng)7自由度動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖中：m1、J1、r1分別為曳引輪的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)半徑；m2、J2、r2分別為導(dǎo)向輪的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)半徑；m30為對重質(zhì)量，m3x為對重側(cè)補(bǔ)償鏈的質(zhì)量，m3為對重及對重側(cè)補(bǔ)償鏈的總質(zhì)量；m40為轎架質(zhì)量，m4x為轎架側(cè)補(bǔ)償鏈和隨行電纜的質(zhì)量，m4為轎架及轎架側(cè)補(bǔ)償鏈和隨行電纜的總質(zhì)量；m50為轎廂質(zhì)量，m5x為載重質(zhì)量，m5為轎廂及載重的總質(zhì)量；kT、cT分別為曳引系統(tǒng)抗扭剛度、等效轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼；k10、c10分別為曳引機(jī)底座橡膠及曳引機(jī)處承重梁的等效剛度、等效阻尼；k1t、c1t分別為曳引輪與導(dǎo)向輪之間的曳引繩的等效剛度、等效阻尼；k2、c2分別為導(dǎo)向輪處承重梁的等效彈簧剛度、等效阻尼；k3t、c3t分別為對重側(cè)曳引繩的等效彈簧剛度、等效阻尼；k30、k40為繩頭彈簧的彈簧剛度；c30、c40為繩頭彈簧的等效阻尼；k4t、c4t分別為轎廂側(cè)曳引繩的等效彈簧剛度、等效阻尼；k5、c5分別為轎廂底部減振橡膠的等效彈簧剛度、等效阻尼；x1～x5分別為m1～m5的振動(dòng)線位移；φ1、φ2分別為曳引輪和導(dǎo)向輪的振動(dòng)角位移。

圖1 曳引電梯動(dòng)力學(xué)模型

對于該系統(tǒng)，采用拉格朗日(Lagrange)方程建立其動(dòng)力學(xué)方程，有：

式中，T、D和U分別為系統(tǒng)的動(dòng)能、耗散函數(shù)和勢能；qi和Qi分別為對應(yīng)于第i個(gè)自由度的廣義位移和廣義外力。

系統(tǒng)的動(dòng)能包括所有慣性元件的動(dòng)能及曳引繩的動(dòng)能，對于曳引繩的動(dòng)能，下面采用瑞利法進(jìn)行處理。轎廂側(cè)曳引繩的靜位移如圖2所示，假設(shè)轎廂側(cè)曳引繩的變形是均勻的。因此，在距離轎廂y處曳引繩的位移與速度分別為：

圖2 轎廂側(cè)曳引繩的靜位移

在電梯運(yùn)行過程中，轎廂側(cè)曳引繩l1的動(dòng)能為：

同理可得曳引輪與導(dǎo)向輪之間的曳引繩l2的動(dòng)能為：

同理可得對重側(cè)曳引繩l3的動(dòng)能為：

因此，系統(tǒng)的總動(dòng)能T為：

系統(tǒng)的耗散函數(shù)D為：

系統(tǒng)的總勢能U為：

將上述結(jié)果代入方程(1)并整理成如下矩陣形式：

式中，[M]、[C]、[K]分別為系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣、廣義阻尼矩陣和廣義剛度矩陣；{}Q分別為系統(tǒng)的廣義加速度、廣義速度、廣義位移及廣義外力向量。其中，系統(tǒng)的廣義位移向量為用求虛功的方法可求得系統(tǒng)非有勢力的廣義外力向量為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣[M]、阻尼矩陣[C]和剛度矩陣[K]分別為：

式中，E、A分別為曳引繩的彈性模量、等效橫截面積；l1為轎廂側(cè)曳引繩的長度；l2為曳引輪與導(dǎo)向輪之間的曳引繩的長度；l3為對重側(cè)曳引繩的長度。

2 動(dòng)力學(xué)模型的求解

上述式(2)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

寫成如下方程組的形式：

根據(jù)上式，可統(tǒng)一表示為：

由上式，可通過數(shù)值方法計(jì)算廣義坐標(biāo)值Y，從而可確定轎廂的振動(dòng)加速度和振動(dòng)速度等。

3 實(shí)例仿真

下面本文以東南電梯股份有限公司生產(chǎn)的礦用電梯樣機(jī)為例，求解該曳引電梯系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。該電梯的配置參數(shù)如表1所示。

表1 礦用電梯樣機(jī)配置參數(shù)

該電梯采用梯形速度曲線，轎廂的運(yùn)動(dòng)加速度如圖3所示。

圖3 轎廂的運(yùn)動(dòng)加速度

根據(jù)表1中的參數(shù)，采用Newmark-β法(?=1/2, β=1/4)求解可得曳引電梯在空載上行時(shí)轎廂轎架及對重的振動(dòng)加速度隨行程的變化如圖4所示。

圖4 轎廂上行時(shí)電梯系統(tǒng)的響應(yīng)

由以上仿真結(jié)果，可以分析得到如下結(jié)論：

1）綜合分析圖3～圖4，發(fā)現(xiàn)在轎廂運(yùn)動(dòng)加速度不光滑的時(shí)刻，振動(dòng)加速度往往突然增大，在以后規(guī)劃電梯加速度曲線時(shí)宜采用光滑的加速度曲線，如正弦曲線。

2）由圖4可知，轎廂及對重的振動(dòng)加速度在井道頂部時(shí)要比井道底部時(shí)小，這是由于在井道頂部時(shí)曳引繩的等效彈簧剛度比在底部時(shí)大，這也體現(xiàn)了電梯提升系統(tǒng)的時(shí)變特性。

4 結(jié)束語

本文采用瑞利法處理電梯曳引繩的質(zhì)量，建立了曳引比為1:1的斜行電梯機(jī)械系統(tǒng)7自由度動(dòng)力學(xué)模型，并闡述了曳引電梯系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的求解方法，最后以礦用電梯樣機(jī)為例運(yùn)用MATLAB軟件編程求得該電梯系統(tǒng)轎廂及對重振動(dòng)加速度的變化規(guī)律，對于電梯系統(tǒng)的減振設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值。

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