于常娟，張明路，劉慶玲，劉欣媛

（1.河北工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300130；2.廊坊師范學(xué)院 數(shù)信學(xué)院，廊坊 065000）

0 引言

普通的仿生機器人腿部一般具有根關(guān)節(jié)、髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)三個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，腿部末端位置如果確定，那么腿部位姿也隨之唯一確定[1,2]，本文突破以往六足仿生機器人運動模式單一和固定的局限，提出了一種具有變形能力的六足仿生機器人，和普通六足仿生機器人的區(qū)別是每個腿又設(shè)計了一個變形關(guān)節(jié)，從而使腿部能以不同的姿態(tài)到達同一位置，因此增加了六足機器人腿部運動的多樣性和靈活性，以及對不同地形適應(yīng)的能力，該機器人可根據(jù)地形的情況模仿不同動物行走的方式和姿態(tài)，如螃蟹、蜘蛛和壁虎等動物。

傳統(tǒng)的D-H方法的局限性在于只能表示關(guān)于x軸和z軸的轉(zhuǎn)動和移動，不能表示關(guān)于y軸的運動。由于該六足仿生機器人腿部具有沿y軸的移動，所以不能直接應(yīng)用傳統(tǒng)的D-H方法進行運動學(xué)建模。而旋量方法可以表示任意方向的轉(zhuǎn)動和移動，且只需建立基礎(chǔ)坐標系S和工具坐標系T兩個坐標系，運算過程較D-H法簡單。利用旋量理論計算機器人的雅克比矩陣可避免對運動學(xué)位姿正解求導(dǎo)，簡化了計算，并且避免了D-H法的奇異性問題。

因此采用旋量方法和指數(shù)積公式建立可變形腿的運動模型，計算腿部的正解和逆解以及雅可比矩陣。劉亞軍等運用旋量方法建立操作臂串聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)模型，得到該操作臂的16組運動學(xué)逆解的解析解[3]。胡典傳等利用傳統(tǒng)D-H分析方法建立裝夾機械手的運動學(xué)模型[4]。錢東海等基于旋量理論建立6自由度機器人運動學(xué)模型并利用Paden-Kahan子問題得到其逆解算法[5]。張小俊等基于旋量法對連續(xù)體搜救機器人運動學(xué)分析并計算其雅克比矩陣[6]。許晨等利用旋量理論建立多運動體航天器的運動學(xué)模型[7]。

1 可變形六足機器人本體結(jié)構(gòu)

該可變形六足仿生機器人的六條結(jié)構(gòu)相同腿部對稱分布在機體的兩側(cè)。和普通六足機器人不同，可變形六足仿生機器人每條腿除了具有根關(guān)節(jié)、髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)外還有一個變形關(guān)節(jié)，這樣每條腿具有四個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)。當(dāng)變形關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角發(fā)生變化時可以改變腿部行走的模式，完成多運動模式行走的功能，如模擬蜘蛛、螃蟹和壁虎等不同昆蟲或哺乳動物的行走模式，具有多運動模式能力有利于增強六足機器人對未知環(huán)境的適應(yīng)性和可通過性。圖1為六足可變形仿生機器人的樣機。

圖1 六足仿生機器人樣機

2 建立腿部運動學(xué)模型

機器人單腿示意圖如圖2所示。機身1與構(gòu)件2連接處有兩個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)根關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)，根關(guān)節(jié)1繞z軸正方向轉(zhuǎn)動，髖關(guān)節(jié)2繞y軸負方向轉(zhuǎn)動，構(gòu)件2與構(gòu)件3由膝關(guān)節(jié)3連接也繞y軸負方向轉(zhuǎn)動，構(gòu)件3與構(gòu)件4由變形關(guān)節(jié)4連接。

2.1 正運動學(xué)分析

建立基礎(chǔ)坐標系o-xyz，原點o在腿與機身的接觸點。腿部初始位置：構(gòu)件2和構(gòu)件3都與x軸重疊，方向向右，構(gòu)件4沿y軸正方向。構(gòu)件2、構(gòu)件3和構(gòu)件4的長度分別為l2、l3和l4。

初始位置時四個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的軸線方向和位置如表1所示。

表1 各關(guān)節(jié)的螺旋軸線方向和位置

圖2 機器人單腿示意圖

轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)變換矩陣：

θi為各轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動角度，hi為各螺旋運動的節(jié)距，由于各關(guān)節(jié)沒有沿各軸線方向移動，所以hi都為0。足端相對于基礎(chǔ)坐標系o-xyz的位姿矩陣為：

其中g(shù)TS(0)為足端在初始時刻相對基礎(chǔ)坐標系位姿矩陣：

其中，p(0)為初始時刻足端在基礎(chǔ)坐標系下的坐標。ci、si分別是 cos(θi)和sin(θi)的縮寫，c23、s23分別是cos(θ2+ θ3)和s i n(θ2+ θ3)的縮寫。

足端的坐標為：

2.2 逆運動學(xué)分析

式(1)兩邊同時右乘gTS-1(0)得：

點q3同時在關(guān)節(jié)3和關(guān)節(jié)4的軸線上，式(3)兩邊同時右乘q3得：

解得：

把θ1和θ2的值代入式(3)得：

2.3 正解和逆解的驗證

設(shè) θ1= π /6，θ2= π /6，θ3= π /4，θ4= π /6；

則根據(jù)式，足端相對于基礎(chǔ)坐標系o-xyz的位姿矩陣為gTS(θ)，其中：

根據(jù)逆解式(4)～式(7)解得：

逆向運動學(xué)的輸出是正向運動學(xué)的輸入，說明利用旋量理論與指數(shù)積方法建立腿部運動學(xué)模型正確。

3 雅可比矩陣求解

為機器人足端瞬時空間速度（相對慣性坐標系的速度），(θ)為機器人相對慣性坐標系的雅可比矩陣。為機器人腿部各關(guān)節(jié)相對慣性坐標系的角速度。

傳統(tǒng)方法是對正向運動學(xué)求導(dǎo)得到雅可比矩陣但是求導(dǎo)過程復(fù)雜。而利用旋量理論描述雅可比矩陣計算自然簡單，并且結(jié)果有明確的幾何特征。

其中：

因此，不必對正解求微分就能求出機器人足端的雅可比矩陣，這大大簡化了雅可比矩陣的計算量，并且避免了傳統(tǒng)方法可能存在的奇異性問題。

四個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的初始時刻運動旋量Plücer射線坐標為：

四個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的當(dāng)前時刻運動旋量Plücer坐標為：

六足仿生機器人腿部相對慣性坐標系的雅可比矩陣[8]。

4 MAPLE仿真

機器人腿部構(gòu)件的參數(shù)l1=2cm，l2=20cm，l3=15cm，l4=10cm。當(dāng)各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的空間角速度（相對慣性坐標系）=（10，20，10，20）時，根據(jù)式(2)，機器人足端相對慣性坐標系的三個方向位移變化如圖3所示。

圖3 機器人足端位移變化曲線

根據(jù)式(8)，得到機器人足端瞬時空間速度：

其中為足端物體坐標系相對慣性坐標系的角速度，如圖4所示。

圖4 足端坐標系空間角速度變化曲線

為機器人腿部最末構(gòu)件上的經(jīng)過慣性坐標系原點的點相對慣性坐標系的速度如圖5所示。

圖5 足端通過慣性坐標系原點的空間速度變化曲線

5 結(jié)論

基于指數(shù)積和旋量理論為六足可變形仿生機器人的腿部建立了運動學(xué)模型，并計算得到足端位姿正解的解析解，利用經(jīng)典消元理論和Paden-Kahan子問題方法計算其運動學(xué)的解析逆解。根據(jù)旋量理論推導(dǎo)出腿部的雅可比矩陣，并利用MAPLE軟件對足端的位置和速度進行仿真，驗證了運動學(xué)模型和雅可比矩陣的正確性。

[1] Donghoon Son,Dongsu Jeon, Woo Chul Nam,Doyoung Chang, TaeWon Seo,Jongwon Kim.Gait planning based on kinematics for a quadruped gecko model with redundancy[J].Robotics and Autonomous Systems,2010,58:648-656.

[2] 孟偲,王田苗,丑武勝,官勝國,裴葆青.仿壁虎機器人的步態(tài)設(shè)計與路徑規(guī)劃[J].機械工程學(xué)報,2010,46(9):32-37.

[3] 劉亞軍,黃田.6R操作臂逆運動學(xué)分析與軌跡規(guī)劃[J].機械工程學(xué)報,2012,48(3):9-15.

[4] 胡典傳,顧寄南,師二產(chǎn).新型裝夾機械手的運動學(xué)分析與軌跡規(guī)劃[J].制造業(yè)自動化,2011,33(5):100-102.

[5] 錢東海,王新峰,趙偉,崔澤.基于旋量理論和Paden-Kahan子問題的6自由度機器人逆解算法[J].機械工程學(xué)報,2009,45(9):72-76,81.

[6] 張小俊,孫凌宇,張明路,張玉娟.基于旋量法的連續(xù)體搜救機器人運動學(xué)分析[J].華中科技大學(xué)學(xué)報,2013,41(12):90-94.

[7] 許晨,陸宇平,劉燕斌,徐志暉.多運動體航天器旋量理論動力學(xué)建模與滑?？刂芠J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2012,34(12):2535-2540.

[8] 蘭陟,李振亮,李亞.基于旋量理論的5-DOF上肢康復(fù)機器人雅克比矩陣求解[J].機械設(shè)計,2011,28(5):51-53,74.