高端陽,李厚樸,邊少鋒

(海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系,武漢 430033)

三近點角間變換的級數(shù)展開式

高端陽,李厚樸,邊少鋒

(海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系,武漢 430033)

針對偏近點角、真近點角和平近點角之間數(shù)值變換十分困難的問題,為實現(xiàn)近點角間的直接變換,借助計算機代數(shù)系統(tǒng)Mathematica,提出了一種冪級數(shù)法,推導(dǎo)出它們之間變換的級數(shù)展開式,并將式中系數(shù)統(tǒng)一表示為軌道偏心率的冪級數(shù)形式,且擴展至偏心率的8次方。本文首先闡述方法的原理,最后通過算例分析驗證,結(jié)果表明對于偏心率小于0.05的衛(wèi)星軌道,該方法導(dǎo)出的公式計算精度優(yōu)于10-5″,可供實際使用。

衛(wèi)星軌道;偏近點角;平近點角;真近點角;計算機代數(shù)系統(tǒng)

0 引言

偏近點角、真近點角和平近點角是描述衛(wèi)星運動時常用的三種近點角,在衛(wèi)星星歷計算[1-2]、航天器軌道確定[3-4]時經(jīng)常遇到它們之間的變換問題。偏近點角和平近點角之間的變換即經(jīng)典的Kepler方程解算是解決這一問題的關(guān)鍵,國內(nèi)外學(xué)者對此經(jīng)行了深入研究,取得了豐富研究成果[5-12]。總的看來,Kepler方程的解法主要有迭代法和直接法兩種[5]。迭代法方面,常用的方法是Newton迭代法[6],對于收斂的迭代過程,只要迭代足夠多次,就可以使結(jié)果達到任意精度,但對初值的選取要求比較高,且每次都要計算導(dǎo)數(shù)值。為克服Newton迭代法存在的不足,有學(xué)者提出采用Steffensen迭代法來求解橢圓軌道下的Kepler方程,以提高計算效率和收斂速度[7-9]。雖然迭代法在數(shù)值計算的精度上有一定優(yōu)勢,但這種方法在進行理論分析時不甚方便,不能直接表達各近點角之間的關(guān)系。為此,文獻[10]給出了基于Bessel函數(shù)的Kepler方程級數(shù)解法,文獻[11-12]給出了Kepler方程直接解的四元素表示,導(dǎo)出了小偏心率橢圓軌道下的真近點角近似方程。值得注意的是,以往研究主要集中在偏近點角和平近點角之間的變換,對于這兩種近點角和真近點角之間的變換研究較少,而且部分推導(dǎo)過程由人工完成,展開的項數(shù)不高。鑒于此,本文在深入分析三種近點角間數(shù)學(xué)關(guān)系基礎(chǔ)上,借助具有強大符號運算功能的計算機代數(shù)系統(tǒng)Mathematica[13-14]進行了新的推演,導(dǎo)出了偏近點角、真近點角和平近點角間變換的級數(shù)展開式,并設(shè)計算例分析了展開式的計算精度。

1 偏近點角、真近點角和平近點角的定義

圖1 真近點角和偏近點角幾何關(guān)系

如圖1所示,O為橢圓的一個焦點(地球質(zhì)心),S為衛(wèi)星在軌道上的位置,r為衛(wèi)星向徑,N為升交點,f為真近點角,P為近地點。以橢圓中心為圓心,橢圓長半徑a為半徑的輔助圓,且過S 作x軸的垂線交于H,延長SH交輔助圓于S,連接S′,E為x軸與O′S′夾角,即偏近點角。

由圖1可知向徑r的坐標(biāo)為

2 偏近點角、真近點角和平近點角間變換的級數(shù)展開式

2.1 偏近點角和平近點角間變換的級數(shù)展開式

式(9)的右端只含有E,是M的隱函數(shù),可以利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,將其展開成cos M的冪級數(shù)。當(dāng)然,這一過程由人工來做,可能令人難以忍受,甚至不可能完成。但由計算機代數(shù)系統(tǒng)來做,由于求導(dǎo)數(shù)的過程比較機械,卻是可以勝任和完成的。為使展開過程簡明些,不妨再引入一新變量:

略去推導(dǎo)過程,在Mathematica計算機代數(shù)系統(tǒng)下依次求得f(t)關(guān)于t的1至8階導(dǎo)數(shù),a1, a2,…,a8依次為各階導(dǎo)數(shù)在t=sin e處的值。因

2.2 偏近點角和真近點角間變換的級數(shù)展開式

由式(7)可得

2.3 平近點角和真近點角間變換的級數(shù)展開式

使用式(26)需要經(jīng)過兩步計算方可完成變換,計算過程較為繁瑣。為簡化計算,可將上式中的變量E消去,得到由平近點角M計算真近點角f的直接展開式。該過程人工推導(dǎo)非常繁瑣,借助Mathematica強大的符號運算功能,在e=0處將f展開為e的冪級數(shù)形式,取至e8項可得

3 誤差分析

為說明本文導(dǎo)出的級數(shù)展開式在小偏心率e= 0.01、e=0.1、e=0.2(一般認為e>0.2為大偏心率)下的精度,進行了誤差分析?；舅悸肥?取定偏近點角E0,分別代入式(8)、式(20)可得平近點角和真近點角的理論值M0、f0,將M0分別代入式(18)、式(27)可得偏近點角和真近點角的變換值E1、f1,將f0分別代入式(24)、式(30)可得平近點角和偏近點角的變換值E2、M1,將E0代入式(21)可得真近點角的變換值f2。將上述變換值分別與理論值E0、M0、f0相減可得相應(yīng)展開式的計算誤差,分別記為ΔE1、Δf1、ΔM1、ΔE2、Δf2。計算誤差的大小可以反映展開式的精確與否。計算結(jié)果見表1～表4。

表1 e=0.01時的計算誤差

表2 e=0.05時的計算誤差

表3 e=0.1時的計算誤差

表4 e=0.2時的計算誤差

由表1～表4可以看出,本文導(dǎo)出的級數(shù)展開式計算精度在e=0.01時優(yōu)于10-10(″),在e=0.05時優(yōu)于10-5(″),在e=0.1時優(yōu)于10-3(″),在e= 0.2時優(yōu)于0.1(″)。因此,本文導(dǎo)出的級數(shù)展開式完全可以滿足偏心率e小于0.05的衛(wèi)星軌道計算精度要求。

4 結(jié)束語

本文通過構(gòu)思獨特的數(shù)學(xué)分析,建立了適合計算機代數(shù)系統(tǒng)Mathematica分析和推導(dǎo)的三種近點角間變換的數(shù)學(xué)模型,推導(dǎo)出了它們之間變換的級數(shù)展開式。本文研究表明:

(1)由于軌道偏心率影響,近點角間變換的級數(shù)展開式涉及較多復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo),計算機代數(shù)系統(tǒng)強大的數(shù)學(xué)分析功能為解決這類問題提供了有力的幫助。本文推導(dǎo)過程預(yù)示Mathematica在解決衛(wèi)星軌道其他數(shù)學(xué)分析問題中也有著良好的應(yīng)用前景。

(2)本文導(dǎo)出的級數(shù)展開式是三種近點角間的直接關(guān)系式,式中系數(shù)統(tǒng)一表示為軌道偏心率的冪級數(shù)形式。利用該式可實現(xiàn)三種近點角的直接變換,避免了繁瑣的迭代運算,為進行衛(wèi)星軌道相關(guān)理論分析提供了依據(jù)。

(3)算例分析表明,對于軌道偏心率e小于0.05的衛(wèi)星,本文導(dǎo)出公式的計算誤差優(yōu)于10-5″,可以滿足衛(wèi)星軌道確定所要求的計算精度。由于希望衛(wèi)星對全球有均勻的信號輻射強度、均勻的覆蓋面積和均勻的衛(wèi)星通過時間,大部分全球?qū)Ш叫l(wèi)星軌道形狀是近圓形的。因此,本文導(dǎo)出的技術(shù)展開式可直接應(yīng)用于全球?qū)Ш叫l(wèi)星軌道分析和確定。

[1] 李慶海,崔春芳.衛(wèi)星大地測量原理[M].北京:測繪出版社,1989.

[2] 李濟生.人造衛(wèi)星精密軌道確定[M].北京:解放軍出版社,1995.

[3] 郗曉寧,王威.近地航天器軌道基礎(chǔ)[M].長沙:國防科技大學(xué)出版社,2003.

[4] 劉林.航天器軌道理論[M].北京:國防工業(yè)出版社,2000.

[5] 岳錦海,黃天衣.Kepler方程解法的評估[J].紫金山天文臺臺刊,1997,16(3):164-174.

[6] 顧曉勤.橢圓軌道上航天器位置的一種計算方法[J].電子科技大學(xué)學(xué)報,2003,32(6):635-637.

[7] 束雄英,李紅.Kepler方程的一種迭代加速算法[J].航空計算技術(shù),2005,35(1):41-44.

[8] SHARMA J R.A composite third order Newton-Steffensen method for solving nonlinear equations[J].Applied Mathematics and Computation,2005,169:242-246.

[9] 劉蘭冬,蘇新衛(wèi).一種求解橢圓軌道Kepler運動超越方程的高效迭代法[J].長江大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,7(4): 1-3.

[10]COLWELL P.Bessel functions and Kepler’s equation[J].The American Mathematical Monthly,1992,99(1):45-48.

[11]VRBIK J.Solving Kepler’s problems[EB/OL].[2014-08-18].http://www.mathematica-journal.com/2011/07/solvingkeplers-problem/.

[12]顧曉勤,譚朝陽.橢圓軌道真近點角的級數(shù)計算方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2005,26(11):1301-1306.

[13]邊少鋒,許江寧.計算機代數(shù)系統(tǒng)與大地測量數(shù)學(xué)分析[M].北京:國防工業(yè)出版社,2004.

[14]李厚樸,邊少鋒,鐘斌.地理坐標(biāo)系計算機代數(shù)精密分析理論[M].北京:國防工業(yè)出版社,2015.

The Series Expansions of Transformations between Eccentric,Mean and True Anomalies

GAO Duanyang,LI Houpu,BIAN Shaofeng
(Department of Navigation,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China)

Aiming at computational difficulties between eccentric,mean and true anomalies,in order to realize the direct transformations between them,the series expansions of their transformations are derived using the power series method with the help of computer algebra system Mathematica.Their coefficients are expressed in a power series of the orbital eccentricity and extended up to eighth-order terms of the orbital eccentricity.The principle of the method is described firstly,and verified by the numerical examples.The results show that the precision of these expansions is higher than 10-5″when the orbital eccentricity is smaller than 0.05,which could satisfy practical application.

satellite orbit;eccentric anomaly;mean anomaly;true anomaly;computer algebra system

P228

A

2095-4999(2015)-04-0057-05

2014-10-18

國家自然科學(xué)基金項目(41274013;41471387)。

高端陽(1995—),男,湖南邵陽人,本科,主要從事衛(wèi)星導(dǎo)航研究。

高端陽,李厚樸,邊少鋒.三近點角間變換的級數(shù)展開式[J].導(dǎo)航定位學(xué)報,2015,3(4):57-61.GAO Duanyang,LI Houpu,BIAN Shaofeng.The Series Expansions of Transformations between Eccentric,Mean and True Anomalies[J].Journal of Navigation and Positioning, 2015,3(4):57-61.

10.16547/j.cnki.10-1096.20150411