駱 建，謝 榕

(華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，湖北武漢430074)

0 引言

“電路理論”是一門非常成熟的課程。但在教學(xué)上仍有改進的必要。特別是對一些教學(xué)難點，即使學(xué)生課上能理解接受，課下仍難以應(yīng)用自如。由于教學(xué)大綱要求和課時等原因，在教學(xué)時往往對于有些重點內(nèi)容的深入探討一帶而過，對于大綱不作要求的一些教學(xué)難點更是無暇顧及。然而有些教學(xué)難點正是重要的教學(xué)內(nèi)容，解決不好會直接影響學(xué)生對課程的掌握。因此，熟悉和掌握相關(guān)的應(yīng)對方法，對教學(xué)是有益的。本文針對該課程中時域分析法這一教學(xué)難點，提出一些好學(xué)、好用的應(yīng)對方法，與同行交流。

1 階數(shù)判別

1.1 判別原則

時域分析法適合于一、二階電路，對于一階更為有效。如何辨別電路是一、二階還是高階，是決定是否采用時域分析法的第一步。一階電路直觀的辨別原則就是僅包含一個(等效)電容或一個(等效)電感的電路。否則，就是二階以上的電路。

實際上電路的階數(shù)決定于電路的齊次微分方程的階數(shù)，所謂齊次就是與外施激勵為零。因此，只要將外施激勵置零，即電壓源視為短路，電流源視為開路，簡化電路的結(jié)構(gòu)關(guān)系，電路的階數(shù)就一目了然了。例如:在圖1(a)中，當電源置零后即可知電路為一階RC電路，而且二個電容結(jié)構(gòu)關(guān)系是并聯(lián)，時間常數(shù)也隨之可定;在圖1(b)中當電源置零后，就可以判斷電路大于二階，則該電路不適合用時域分析法來分析。

圖1 有關(guān)階數(shù)舉例用圖

1.2 應(yīng)對方法

電源置零簡化電路結(jié)構(gòu)可以直觀方便地判別屬于時域分析法范疇的電路階數(shù)(一階或二階)，無需繁瑣的列方程等數(shù)學(xué)推導(dǎo)。如是一階電路，用此法同時也可以確定時間常數(shù)。使用時要注意獨立電源的類型和換路開關(guān)的動作方向。當然上述方法也適合二階電路的特征根的求解。

2 初始值的確定

初始值就是所求響應(yīng)在換路后的瞬時值(設(shè)換路時間t=0)，即t=0+時刻的值。它可由電容電壓和電感電流的初始值及0時的等效電路求得。而電容電壓和電感電流的初始值與其換路前一瞬間(t=0－)的值，即原始值有關(guān)，如換路時電容上電壓和電感電流不跳變，則電容電壓和電感電流的初始值等于其原始值，它們具有連續(xù)性;否則就須用電荷守恒或磁鏈守恒原理來求出[1－3]。

2.1 連續(xù)性的問題

初始值求解首先碰到的問題就是動態(tài)元件連續(xù)性的辨別問題。

在一般情況下，如電容有電阻串聯(lián)(或廣義串聯(lián))，或電感有電阻并聯(lián)(或廣義并聯(lián))，換路后一瞬間不會出現(xiàn)跳變問題。這是因為電阻起了緩沖作用(即電阻分壓或電阻分流)，使電容電壓連續(xù)或電感電流連續(xù)。在外施激勵有限的情況下，由于和電容串聯(lián)的電阻上電壓和電流有限，流過該電容的電流就不是沖激函數(shù)，即有電阻串聯(lián)的電容上的電壓就不會跳變;同理，有電阻并聯(lián)的電感的電流也不會跳變。

例如，在圖2(a)中，C1有電阻串聯(lián)，其電壓連續(xù)。C2和C3無電阻串聯(lián)，如果C2和C3的電壓原始值相加之和不等于電壓源US，換路時強行使C2和C3的電壓初始值之和等于US，則C2和C3電壓不連續(xù)。假如并于電壓源US的C2、C3路徑上有一個電阻串聯(lián)，或形成一個廣義的串聯(lián)，C2和C3電壓就連續(xù)了。C4電壓為US，不受換路影響。在圖2(b)中，L1有電阻并聯(lián)，其電流連續(xù)。L2和L3無電阻并聯(lián)，如果L2和L3的電流原始值之和不等于IS，換路時強行使L2和L3的電流初始值相加之和等于電流源IS，則流經(jīng)L2和L3的電流不連續(xù)。假如L2和L3支路節(jié)點上有一電阻支路并聯(lián)，或形成廣義的并聯(lián)，其電流就連續(xù)。L4電流為IS，不受換路影響。

圖2 有關(guān)連續(xù)性舉例用圖

2.2 應(yīng)對方法

動態(tài)元件是否連續(xù)性的判別方法就是動態(tài)元件是否有電阻“作伴”，即:電容有電阻串聯(lián)(或廣義串聯(lián))，或電感有電阻并聯(lián)(或廣義并聯(lián))，則具有連續(xù)性。它直觀方便地判別電容電壓或電感電流是否有跳變問題。如果電容電壓、電感電流連續(xù)，其初始值求解不難，為教學(xué)重點。如果不連續(xù)，則需用節(jié)點(割集)電荷守恒或回路磁鏈守恒原理來求，屬教學(xué)難點。

3 三要素法

3.1 三要素法通式的理解

三要素法由線性時不變一階微分方程的通解和特解演變而來，對于典型的外施激勵(直流、正弦、非正弦周期)，無需列寫微分方程，直接可以通過三要素法的通式模型就可以求出符合初始條件的全解y(t)，這可視為“無條件”[1－3]。

三要素法的通式模型為

式中的 y∞(t)為 y(t)的穩(wěn)態(tài)解，y∞(0+)為 y∞(t)在t=0+時的值，y(0+)為y(t)的初始值，τ為時間常數(shù)。

當外施激勵為直流時，y∞(t)=y∞不隨時間變化，式(1)通式模型則為

我們需要注意的是零狀態(tài)響應(yīng)通式模型y(t)=y(∞)(1－e-t/τ)，而且，零輸入響應(yīng)通式模型y(t)=y(0+)e-t/τ是有條件使用的。首先盡管零狀態(tài)響應(yīng)來自于三要素法的通式模型，但零狀態(tài)響應(yīng)通式模型只能求解直流作用下的電容電壓或電感電流，電路其他電壓電流量的零狀態(tài)響應(yīng)則要酌情求解。其次，如所求響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值不為零，則不能使用零輸入響應(yīng)通式模型。例如，在圖3(a)中若電容電壓初始值不都為零或不相等，或在圖3(b)中若電感電流初始值不都為零或不相等，二個電路都是零輸入響應(yīng)，但各電容電壓或電感電流不能單純的套用零輸入通式模型，但若用三要素法的通式模型就不受這些條件限制。所以一階電路不管什么響應(yīng)，可直接用三要素法的通式模型求響應(yīng)。

圖3 有關(guān)通式舉例用圖

3.2 時域的表示

任何求得的響應(yīng)表達式，都應(yīng)賦予時域條件。

對于換路發(fā)生在t=0時的響應(yīng)，有

我們要注意t≥0或t＞0的區(qū)別，如果y(0+)=y(0－)，則用t≥0，一般用于不跳變的電容電壓或電感電流等的響應(yīng);如果y(0+)≠y(0－)，就用t＞0。

時域表達式還可以用單位階躍函數(shù)ε(t)來表示，對于階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng)都有ε(t)伴隨。對于式(4)其等價表示為

這種時域表示方式不僅只用一個數(shù)學(xué)表達式就能反映出各時段的狀態(tài)，還可以在其運算中捕捉到換路時刻的瞬間狀態(tài)。例如電感電流的全時間域響應(yīng)為

則電感電壓為

式中，δ(t)為單位沖激函數(shù)。

由此例可以看出這種方法不僅能得出t＞0響應(yīng)描述，還可以捕捉到t=0瞬間狀態(tài)，如iL(0+)=iL(0－)，就沒有沖激分量。它與時域分段分析吻合，分析既嚴謹又方便。不過要注意的是解答一定要是全時域上的表達式，如式(5)中的iL(0－)ε(-t)項不能漏掉，否則結(jié)果就不正確[4]。

3.3 應(yīng)對方法

對于一階電路的分析，要注意理解三要素法通式模型的“有條件”和“無條件”，包括伴隨的狀態(tài)和時域等細節(jié)。細節(jié)決定成敗，歸根到底還是概念的問題，不注意細節(jié)，三要素法這個重點的掌握就只在表面上。

4 階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)求解的局限

4.1 階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)的問題

階躍響應(yīng)是在單一階躍函數(shù)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)，實際就是在單一直流作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。單位階躍響應(yīng)設(shè)為S(t)。

沖激響應(yīng)是在單一沖激函數(shù)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)，實際上是由沖激函數(shù)改變零狀態(tài)的零輸入響應(yīng)。單位沖激響應(yīng)設(shè)為h(t)。

求解階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)常用的方法有二種[5]:①直接法，其中求沖激響應(yīng)的直接法多采用二步法，即先求電壓或電流跳變量，再轉(zhuǎn)化求零輸入響應(yīng);②通過兩者之間的關(guān)系來求，它們之間的關(guān)系可表達為

這二種方法對大部分電路都可以通用，但對于有些電路是有局限性的。例如:在圖4(a)和圖4(b)電路中，若用階躍響應(yīng)來求沖激響應(yīng)就難行得通。又如，在圖4(c)電路中，直接求沖激響應(yīng)也比較困難。

圖4 有關(guān)求響應(yīng)局限舉例用圖

按前面的電路階數(shù)判定方法，圖4(a)和圖4(b)電路是一階電路;求階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解時，由于在直流電路中電容開路，電感短路，圖4(a)電路中電流源出現(xiàn)開路，圖4(b)電路中電壓源出現(xiàn)短路情況，因此電路理論上是不能工作的，所以其沖激響應(yīng)不能借助于階躍響應(yīng)來求。

這二個電路直接求沖激響應(yīng)用二步法不難，也無需列寫微分方程，例如在求圖4(a)電路的沖激響應(yīng)時(設(shè)各電容電壓方向上正下負)，第一步求沖激電源所建立的電路的初始條件，在t=0(0+～0－)等效電路中電容零狀態(tài)可視為短路，C1的電流為沖激電流δ(t)，則其電壓跳變量為uC1(0+)=1/C1，C2無沖激電流，其電壓uC2(0+)=uC2(0－)=0;第二步求初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)，t＞0后沖激電源為零視為開路，其分析與圖3(a)電路相同。

圖4(c)電路也是一階電路，若用二步法直接求沖激響應(yīng)，第一步求沖激電源所建立的電路的初始條件。因電容零狀態(tài)視為短路，電壓源就面臨短路問題，此時電路實際是不能工作的，所以其階躍響應(yīng)不能借助于沖激響應(yīng)來求。這個電路用三要素法求階躍響應(yīng)時，涉及到電荷守恒原理求跳變值和穩(wěn)態(tài)值，其三個要素求解為(設(shè)各電容電壓上正下負)。

(1)求初始值:在換路時刻，C1有電阻串聯(lián)，這時其電壓不會跳變，C2和C3會發(fā)生跳變，于是根據(jù)-C2uC2(0+)+C3uC3(0+)=0及uC2(0+)+uC3(0+)=1兩個式子求解便可得C2和C3的電壓初始值;

(2)求穩(wěn)態(tài)值:穩(wěn)態(tài)時電容視為開路，則根據(jù)-C1uC1(∞)－C2uC2(∞)+C3uC3(∞)=0和 uC2(∞)+uC3(∞)=1及uC1(∞)=uC2(∞)三個式子求解便可得C1、C2和C3的電壓穩(wěn)態(tài)值;

(3)求時間常數(shù):根據(jù)前述的電源置零方法，電壓源視為短路后，電容的等效關(guān)系顯而易見為C1串聯(lián)于C2和C3并聯(lián)，則時間常數(shù)τ=RC即可求之。

4.2 應(yīng)對方法

處理階躍響應(yīng)或沖激響應(yīng)就是依據(jù)電壓源是否短路、電流源是否開路來選擇可行的方法。當然階躍響應(yīng)或沖激響應(yīng)電路的數(shù)學(xué)描述可以借助于對應(yīng)的求導(dǎo)或積分得出。

5 結(jié)語

本文所討論的內(nèi)容為教學(xué)中常見的知識點，并非偏僻內(nèi)容。合理用好這些知識點，有助于巧妙地解決教學(xué)難點。探索對應(yīng)的教學(xué)方法對提高教學(xué)質(zhì)量無疑是很有意義的。

[1]汪建.電路原理[M].北京:清華大學(xué)出版社，2008

[2]顏秋容，譚丹.電路理論[M].北京:電子工業(yè)出版社，2009

[3]邱關(guān)源，羅先覺.電路(第五版)[M].北京:高等教育出版社，2006

[4]田社平，陳洪亮.動態(tài)電路全時域響應(yīng)的求解[J].南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報，2009(1):19－21

[5]汪建.用時域分析法求解沖激響應(yīng)的方法[J].南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報，2011(6):103－105