閆允一，郭寶龍，朱娟娟，孟繁杰

(西安電子科技大學(xué)空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院智能探測系，陜西西安710071)

0 引言

“信號與系統(tǒng)”是電子信息類專業(yè)的主干基礎(chǔ)理論課程，是后續(xù)眾多專業(yè)課程的前導(dǎo)[1，2]。我們在本課程體系內(nèi)引入與其他后續(xù)專業(yè)課程的相關(guān)概念，可以給學(xué)生和讀者打開一扇通向?qū)I(yè)領(lǐng)域的窗戶。其中的專業(yè)內(nèi)容和涉及理論，可以依據(jù)各校自身的辦學(xué)特色進(jìn)行變更或調(diào)整。

現(xiàn)行的“信號與系統(tǒng)”內(nèi)容體系中大多以傅里葉變換、拉氏變換和Z變換為核心展開，內(nèi)容涉及連續(xù)以及離散系統(tǒng)的分析。但三大變換均不具備對信號進(jìn)行時域局部分析的能力，而具體的應(yīng)用場景中則往往需要對信號進(jìn)行時域局部分析，因此有必要在“信號與系統(tǒng)”課程中增加時域局部分析工具的介紹。其中，短時傅里葉變換STFT(Short Time Fourier Transform)是比較經(jīng)典的具備時域局部分析的工具。它和傅里葉變換又是小波分析中繞不過去的鋪墊，其發(fā)展歷史也決定了其必然性。短時傅里葉變換中的時頻聯(lián)合分析概念在小波變換WT(Wavelet Transform)得到了進(jìn)一步的發(fā)展和改進(jìn)[3]。因此，通過對傅里葉以及短時傅里葉變換及其局限的分析，能夠比較順暢地引入小波變換。

傅立葉變換得到的傅立葉系數(shù)是不隨時間變化的常數(shù)[4]。事實(shí)上，求傅立葉系數(shù)是全時間域上的平均(因?yàn)橄禂?shù)計(jì)算是整個時域上進(jìn)行積分)，局部突變的作用很難反映出來。為此，人們首先想到的解決方案就是對傅里葉變換的時域作用區(qū)間進(jìn)行限制，也稱加窗傅里葉變換的STFT應(yīng)運(yùn)而生。

1 平穩(wěn)信號與非平穩(wěn)信號

實(shí)際上一種數(shù)學(xué)變換是否適合于某個領(lǐng)域，除了與變換本身的特性有關(guān)之外，還跟待分析的信號的特性有非常大的關(guān)系，而信號是否平穩(wěn)是一個非常關(guān)鍵的要素。對于確定信號，如果信號的頻率成分隨著時間而發(fā)生變化，那么這樣的信號稱為非平穩(wěn)信號;若信號的頻率成分與時間無關(guān)，則稱為平穩(wěn)信號。

很多實(shí)際信號都是非平穩(wěn)信號。比如腦電圖波形因激動、放松、淺睡、熟睡和深睡等不同狀態(tài)而大為不同，即便是在每個狀態(tài)之內(nèi)信號的非平穩(wěn)性也非常明顯。傅里葉變換給出了信號中包含的頻率信息，但是并沒有告訴我們某個頻率信號是在何時出現(xiàn)的，分析非平穩(wěn)信號具有明顯局限。[例1]試對如下信號做傅里葉幅頻特性分析

解:f1(t)是一個平穩(wěn)信號，頻率為10Hz，25Hz、50Hz和100Hz的分量出現(xiàn)在整個時域內(nèi)，其時域波形如圖1(a)所示。從圖1(b)的幅頻特性圖中，可以明顯地看到四個頻譜分量分別對應(yīng)著相應(yīng)的頻率。

圖1 f1(t)時域波形和幅頻特性

f2(t)包含四個頻率分量的信號，它們分別在不同時刻出現(xiàn)，因此這是一個非平穩(wěn)信號，其時域波形如圖2(a)所示。由圖2(b)的幅頻特性可以看到依然有四個尖峰，且50Hz和100Hz分量的幅度比25Hz和 10Hz分量大，這是因?yàn)楦哳l信號時長(300ms)比低頻信號時長(150ms)大。若忽略掉因頻率突變引起的毛刺(有時候他們與噪聲很難區(qū)分)和兩幅圖中各頻率分量的幅值(這些幅值可以做歸一化處理)，圖1和圖2的頻譜圖幾乎是一致的，雖然相應(yīng)的時域信號之間差別很大。這說明:平穩(wěn)信號與非平穩(wěn)信號在時域內(nèi)可能具有完全不同的波形，但在頻域內(nèi)卻可能具有非常相似的傅里葉頻譜特性。

圖2 f2(t)的時域波形和幅頻特性

2 傅里葉變換的局限

傅里葉變換無法有效地處理這樣的非平穩(wěn)信號。傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)過程可以寫成如下的形式:

傅里葉變換隱藏了原信號的時間位置信息，不能區(qū)分頻率成分出現(xiàn)時間不同的信號，不具備時域的分辨率。因此傅里葉分析不適合于分析頻率隨時間而變化的非平穩(wěn)信號。分析非平穩(wěn)信號時，我們往往要兼顧時間和頻率兩方面的信息。短時傅里葉變換STFT是一個比較常用的解決方案。

3 短時傅里葉變換STFT

很多實(shí)際的系統(tǒng)分析中，需要同時知道局部范圍內(nèi)的頻率信息和時間信息，而不是全局或者整體的平均數(shù)值，此時傅里葉變換就不合適了。實(shí)際系統(tǒng)中的非平穩(wěn)信號往往在一定的時間區(qū)間內(nèi)的是保持平穩(wěn)的，通過時域內(nèi)的窗函數(shù)提取出非平穩(wěn)信號的平穩(wěn)部分，然后進(jìn)行傅里葉變換就可以知道其頻率信息，而窗函數(shù)的位置就提供了時間信息。

[定義]對時域內(nèi)平方可積信號x(t)?L2(R)和窗函數(shù) W(t)，定義

為x(t)的短時傅里葉變換，其中，x(t)是信號本身，W(t－τ)是中心位于τ位置的時域窗函數(shù)。需要注意的是，一般而言，τ落后于t，且其分辨率要低于t。τ往往是離散的幾個點(diǎn)，而不是像t一樣是連續(xù)的。當(dāng)窗函數(shù)為高斯函數(shù)時，該變換被稱為Gabor變換。

STFT只不過是對乘了一個窗函數(shù)的信號做傅里葉變換。STFT將信號在時間域內(nèi)分為若干足夠小的片段，每個片段都可以看成是平穩(wěn)信號。STFT需要窗函數(shù)的寬度應(yīng)與信號片段的寬度相匹配，以確保窗內(nèi)信號平穩(wěn)性有效。因此，短時傅里葉變換又被稱為加窗傅里葉變換WFT(Windowed Fourier Transform)。[例2]已知0.25，0.25i)，并且窗函數(shù) W(t)=e-1000t2/2，試對該信號用短時傅里葉變換進(jìn)行分析。

解:f3(t)實(shí)際上是一個分段平穩(wěn)的非平穩(wěn)信號，其時域波形如圖3(a)所示。信號共有四個頻率分量分別為 400Hz，200Hz，100Hz和 50Hz，振幅分別為1，2，3和4，按照時間順序它的各分量分別作用0.25秒。該信號的STFT結(jié)果如圖3(b)所示。

圖3 一個非平穩(wěn)信號及其STFT結(jié)果

從STFT結(jié)果可以看到，STFT以頻率中線為軸對稱的。因?yàn)镾TFT只不過是加過窗的函數(shù)的傅里葉變換。四個波峰對應(yīng)著四個分量，在時間軸上對應(yīng)著不同的位置，這意味著原始信號的四個頻率分量也都出現(xiàn)在不同的時間段內(nèi)。因此，我們得到的是原始信號的一個時—頻聯(lián)合表示，即不僅表明了信號中都有什么頻率分量，還給出了各分量的作用時間。

4 短時傅里葉變換的局限

STFT給出了信號的時頻表示，看起來已經(jīng)解決了時間和頻率共存的問題。但測不準(zhǔn)原理表明，在實(shí)際的物理系統(tǒng)中不能獲取信號絕對精確的時頻表示。在短時傅里葉變換中，時間窗口寬度不變，在較長的時間窗內(nèi)，高頻信號的變換系數(shù)可能是很多周期的平均值，無法對局部特征進(jìn)行刻畫;若減小時間窗，高頻信號能夠被捕捉到，但無法刻畫低頻信號，因?yàn)樵谝粋€很短的窗口內(nèi)觀察到的低頻信號變化可能小到無法檢測。

綜合考慮傅里葉變換和短時傅里葉變換，我們會發(fā)現(xiàn)存在這樣一個矛盾:如果給定一個無限長的窗函數(shù)，會得到完美的頻率分辨率，但是變換結(jié)果中完全不包含時間信息;要使用傅里葉變換進(jìn)行分析，其前提是信號應(yīng)該是平穩(wěn)的，那么為了獲得平穩(wěn)性，我們必須要用一個寬度足夠短的窗函數(shù)，時間分辨率較高，信號平穩(wěn)性也越好，但頻率分辨率卻越低。

在使用STFT之前首先面臨的問題就是窗函數(shù)的選擇問題。如果原始信號中的頻率分量能被分離出來，或者能通過其他手段來估算頻段構(gòu)成，那么可以犧牲一定的頻率分辨率，用一個較窄的窗來追求更高的時間分辨率;否則，若無法獲得原始信號的頻率信息，那么完全沒有辦法保證窗函數(shù)能夠適于進(jìn)行信號的時頻分析。

短時傅里葉變換試圖通過窗函數(shù)來兼顧時間和頻率分辨率，但在整個變換過程中保持恒定，本質(zhì)上是一種分辨率單一且固定的分析方法。要想對依據(jù)非平穩(wěn)信號的頻率特性進(jìn)行自適應(yīng)分析，需要分析工具具備多分辨分析能力。小波變換中時移—尺度聯(lián)合分析在一定程度上解決了信號分析中能兼顧時域分辨率和頻域分辨率的問題。

5 結(jié)語

傳統(tǒng)的“信號與系統(tǒng)”課程體系以傅里葉變換為代表的三大變換為核心展開。但傅里葉變換不具備局部時域分析的能力，這在實(shí)際工程應(yīng)用有一定的局限性。短時傅里葉變換STFT通過引入時間窗，可以實(shí)現(xiàn)對特定時域范圍內(nèi)信號的分析，一般無法依據(jù)信號自適應(yīng)地進(jìn)行調(diào)整窗口寬度，是一種單一分辨率的分析方法。STFT所蘊(yùn)含的時頻聯(lián)合分析概念，在實(shí)際應(yīng)用中具有極大價值，并且對進(jìn)一步引入多分辨分析概念具有前導(dǎo)和鋪墊作用。

[1]鄭君里谷源濤，信號與系統(tǒng)課程歷史變革與進(jìn)展[J]，南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報，2012(02).

[2]鄭君里，試談電工程與信息科學(xué)領(lǐng)域基礎(chǔ)課程教學(xué)改革[J]，南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報，2006(01).

[3]鄧東皋，彭立中，小波分析[J]，北京:數(shù)學(xué)進(jìn)展，1992(03)

[4]李亞峻，史興榮，李毅 傅里葉變換在信號處理中的優(yōu)越性[J]，長春:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012(07)