周夢來，魏民祥，黃護林

(南京航空航天大學 能源與動力學院, 江蘇 南京 210016)

同心漸開線型柔性彈簧的優(yōu)化設計

周夢來，魏民祥，黃護林

(南京航空航天大學 能源與動力學院, 江蘇 南京 210016)

柔性板簧對于太陽能斯特林發(fā)電機的間隙密封和活塞的軸向定位起到了決定性的作用。在總結了國內外柔性彈簧研究的基礎上，針對同心渦旋型柔性彈簧，利用WB(workbench)對板簧參數化模型進行了有限元分析，比較了板簧截面各參數對板簧最大應力和固有頻率的影響。以板簧的行程為限制和板簧的最大應力為設計目標，對柔性彈簧進行尺寸優(yōu)化。

自由活塞式斯特林發(fā)動機; 柔性彈簧; 軸向剛度；固有頻率；參數化建模; 優(yōu)化設計

0 引言

自由活塞式斯特林發(fā)動機利用系統(tǒng)的共振，在低輸入的情況下達到較高的輸出，柔性彈簧的性能會影響到整機的性能和可靠性。柔性彈簧用于支撐太陽能斯特林發(fā)動機壓縮活塞和配氣活塞，作為發(fā)動機的關鍵部件，在活塞往復運動中，保持活塞與氣缸的徑向位置和密封間隙，需要足夠的剛度和一定的行程[1-3]。因此，柔性彈簧在保證自由活塞式斯特林發(fā)動機間隙密封，減少磨損，提高整體可靠性，以及工作壽命方面有著至關重要的作用。

1 國內外柔性彈簧的研究現狀

在國內外文獻中，柔性彈簧的性能主要體現在疲勞強度、軸向剛度、徑向剛度與共振頻率等四個方面，其中疲勞強度對太陽能斯特林發(fā)動機穩(wěn)定性和壽命影響最大[4-5]。柔性彈簧的往復運動超過20億次，需要工作彈簧各處應力趨于一致，避免應力集中，板簧的最大應力小于材料的疲勞極限，一般采用鈹青銅和硬化彈簧鋼[5-6]，硬化彈簧鋼的疲勞極限達到了400MPa。

同心渦旋臂彈簧相對于其他線型的柔性彈簧，具有整個彈簧臂的應力分布比較均勻的特點，早期在斯特林制冷機中具有廣泛的運用。T.E. Wong等[7-8]對柔性彈簧進行了優(yōu)化設計，使其能滿足線性壓縮系統(tǒng)的工作需要，并對施加動載荷條件下的柔性彈簧進行了有限元分析，提出了渦旋型線的無量綱設計曲線。Marquardt E等[3,9]對這種柔性彈簧提出了無量綱設計方法和渦旋臂近似設計方法之后，又利用有限元方法對柔性彈簧進行了詳細分析，把分析結論表示成設計曲線。高威力等[4]在設計了11款不同基圓半徑、厚度及渦旋槽偏心距的圓漸開線型板彈簧的基礎上，利用ANSYS有限元分析軟件，對上述板彈簧的剛度及應力特性進行了分析與比較，總結出了主要幾何參數對板彈簧性能的影響。祁影霞等[10]利用有限元分析軟件SAP，對柔性膜片彈簧在施加不同載荷時的變形進行了可視化研究，分析了應力集中和最大應力，在此基礎上，對彈簧線型進行了改進設計，并成功地應用于航天斯特林制冷機中。

從國內外文獻中可以看到，為了降低板簧的最大應力又要滿足板簧的剛度要求，往往采用多片板簧疊加的形式來組成彈性系統(tǒng)。文中基于軟件Pro/e和WB對太陽能斯特林發(fā)動機中的柔性彈簧進行有限元可視化分析，以優(yōu)化板簧的最大應力為目標，結合柔性彈簧的固有頻率對一款柔性彈簧進行優(yōu)化設計。

2 柔性彈簧的參數化建模

同心漸開線柔性彈簧的基本特征為一組漸開線，改變漸開線的參數及其空間位置的排布，可得到不同力學特征的柔性彈簧。

2.1 柔性彈簧漸開線的參數化建模

打開Pro/e定義參數如表1所示，DS_A為漸開線的起始角，DS_A為漸開線的終止角，DS_R為基圓半徑，DS_D為相互平行的兩條漸開線的相位差，DS_R1為漸開線的首尾修正半徑，DS_H柔性彈簧厚度。定義參數是因為能夠使得模型導入ANSYS中識別變量，利于后期的優(yōu)化設計。

表1 參數變量

在Pro/e中定義兩條曲線方程:

s=(1-t).DS_A+t.DS_B

(1)

(2)

(3)

在Pro/e中完成板簧其他部分的建模，柔性彈簧的軸向視圖如圖1所示。

圖1 柔性彈簧軸向視圖

3 柔性彈簧剛度分析

根據胡克定律：在材料的彈性極限范圍內，材料的形變與引起形變的外力成正比：

F=kΔl

(4)

式中：F表示柔性彈簧受到的軸向或者徑向力；k表示彈簧的軸向或者徑向剛度；Δl表示在這個軸向力或者徑向力加載的條件下，板彈簧產生的軸向或者徑向位移。

通過WB軟件仿真分析，通過改變板彈簧的軸向力、板彈簧的徑向力、板彈簧的厚度等參數來進行對比分析。

柔性彈簧徑向和軸向變形如圖2所示。在圖2(a)所示柔性彈簧徑向變形圖中可以看出，在徑向力的作用下，柔性彈簧一邊的間隙收緊，一邊的間隙擴大，在圖2(b)所示軸向變形圖中可以看出，靠近中心處柔性彈簧的軸向變形越明顯，所以渦旋壁的寬度與漸開線的形狀對柔性彈簧的徑向剛度影響很大。軸向變形圖中可以看出外圈定位孔處在軸向力作用下，位移很小，軸向位移和變形主要發(fā)生在渦旋壁內孔處。

圖2 柔性彈簧變形圖

在一定的范圍內改變柔性彈簧各尺寸的大小，對柔性彈簧施加不同的邊界條件，仿真分析分別可以得到軸向力與軸向位移的關系，厚度、漸開線終止角、基圓半徑等與軸向剛度的關系，徑向力與徑向位移的關系以及厚度、漸開線終止角、基圓半徑等與徑向軸向剛度的關系。

經分析可以得到柔性彈簧受到的軸向力和軸向位移成正比，滿足胡克定律。圖3顯示了柔性彈簧的軸向剛度與柔性彈簧厚度成近似二次曲線關系，漸開線的終止角越大柔性彈簧的軸向剛度越小，即漸開線的圈數增多柔性彈簧越軟，基圓半徑增大柔性彈簧軸向剛度越大，漸開線的相位差越大軸向剛度越小，即彈簧臂越窄軸向剛度越小。

圖3 柔性彈簧各尺寸與軸向剛度的關系

柔性彈簧的徑向剛度與徑向力成正比關系，厚度越大，徑向剛度越大。圖4可以看出當徑向厚度大于0.2mm時，柔性彈簧的徑向剛度跟厚度成正比，漸開線終止角越大柔性彈簧的徑向剛度越小，基圓半徑增大柔性彈簧的徑向剛度變大，漸開線的距離增大即彈簧臂變窄，柔性彈簧的徑向剛度變小。

圖4 柔性彈簧各尺寸和徑向剛度的關系

4 模態(tài)分析

利用ANSYS的模態(tài)分析功能對厚度為0.15 mm，外徑為24.96 mm的柔性彈簧，做模態(tài)分析可以得到出各階固有頻率和固有振型。前三階固有頻率分別為8.5 Hz、21 Hz、21 Hz。

圖5可以看出一階固有振型與活塞的軸向拉伸運動相符，二階振型柔性彈簧有一條渦旋壁不動，紅顏色渦旋臂和藍顏色的渦旋臂振動相位相反，因此應該在設計過程中使得柔性彈簧的固有頻率遠離系統(tǒng)的工作頻率，不然可能破壞系統(tǒng)的運動規(guī)律，嚴重的可以破壞機體，盡管斯特林發(fā)動機利用共振，但對于柔性彈簧自身任何一階固有頻率都不宜與系統(tǒng)的工作頻率接近，不然會引起柔性彈簧的自振。

圖5 柔性彈簧固有振型示意圖

工程中一般采用多片柔性彈簧組成柔性彈簧組，使得活塞與氣缸能夠在運動過程中無接觸，柔性彈簧組可以提高活塞的徑向穩(wěn)定性。從而活塞與柔性彈簧組成部件的一階固有頻率與系統(tǒng)的激勵頻率接近，就可以利用系統(tǒng)的共振在低輸入狀態(tài)下獲得較高的功率。

5 柔性彈簧的最大應力優(yōu)化

5.1 優(yōu)化模型的建立

a) 目標函數

把柔性彈簧的最大應力最小作為目標函數，即minf(x1,x2,,,xn),x表示柔性彈簧在參數化建模過程中定義的參數變量，約束條件包括尺寸約束、行程約束和固有頻率約束等。

b) 設計變量

為了提高優(yōu)化效率，利用靈敏度分析來確定對優(yōu)化目標和狀態(tài)變量影響較大的變量參數[11]。經過對設計變量的靈敏度分析后，比較各個變量靈敏度絕對值的大小，選擇敏感度絕對值較大的變量作為優(yōu)化模型的參數變量。

c) 性能約束

對柔性彈簧的最大應力進行約束，柔性彈簧的疲勞極限為400MPa，取疲勞極限的60%為限制條件，應力約束為：σ1≤[σ1]，其中[σ1]=3.2MPa。

d) 尺寸約束

把設計變量的邊界約束范圍定為10%。

5.2 敏感性分析

在WB中, 主要應用Design Explorer作為優(yōu)化工具, 其作用是幫助設計人員在產品設計和使用前確定不確定因素(定義的輸入輸出參數)對產品零部件的影響。在得到輸入參數對輸出參數的影響后，可以先找到最敏感的參數，選取其作為優(yōu)化對象，然后再優(yōu)化其他輸入參數對象，這樣可以在每次優(yōu)化過程中減少同時優(yōu)化的參數數目，減少運算量和運算時間。

在做優(yōu)化分析時，首先確定輸出參數對應的模塊，然后對不同的模塊做針對性的仿真設置。優(yōu)化的目的是柔性彈簧在極限位移下，最大用力小于疲勞極限，而柔性彈簧尺寸的改變必然改變軸向剛度、徑向剛度、固有頻率等參數。因此在對最大應力優(yōu)化的同時需要對柔性彈簧的其它輸出參數做出相應的控制。柔性彈簧的輸入參數主要有DS_A、DS_B、DS_D、DS_H、DS_R、DS_R1，把這些參數設定為設計變量。

進行相關參數的敏感性計算時, 只需得知各尺寸的重要程度, 因為輸出參數(最大應力、軸向剛度、徑向剛度、一階模態(tài))較多，因此設定樣本數量為46。為控制計算量可對下述選項及數值進行調整:自動停止類型為執(zhí)行所有仿真；平均值精度為0.01mm；標準偏差精度為0.02mm；各個參數的優(yōu)化范圍為在原值基礎上變化±10%。相關參數的敏感性如圖6所示。

圖6 柔性彈簧各參數變量的敏感度

敏感度為正值，說明輸入參數增大輸出參數也隨之增大，敏感度為負值，說明輸出參數增大輸出參數減小。各輸入輸出參數的敏感度具體值詳見表2。

表2 各參數變量的敏感度

敏感度>0.1或<-0.1的參數重要程度比較高，從表中可以看出DS_A對4個輸出參數的敏感度都介于-0.1～0.1之間，所以在優(yōu)化過程中可以不予考慮。DS_D只對徑向剛度影響較大，DS_B和DS_H對4個輸出參數的敏感度都很明顯，DS_R對徑向剛度影響較小。綜合考慮選擇DS_B、DS_H、DS_R3個參數對柔性彈簧進行最大應力優(yōu)化。

5.3 柔性彈簧的最大應力優(yōu)化

目標驅動優(yōu)化是一種多目標優(yōu)化技術, 是從給出的一組樣本(即一定量的設計點)中得出最佳的設計點，可以制定不同的的優(yōu)化目標用于優(yōu)化設計，可以依據輸入參數與輸出參數間的關系來設定各參數的優(yōu)化目標及重要性。因此，依照5.2節(jié)中分析的結果，將輸入參數DS_B、DS_H、DS_R和輸出參數P9、P10、P12、P15設定為優(yōu)化目標，其余參數作為常量。本節(jié)擬定的優(yōu)化目的是柔性彈簧的最大應力最小，徑向剛度和固有頻率最大，軸向剛度較小從而有利于減輕配氣活塞的質量，提高側向穩(wěn)定性。據此，結合輸入參數的響應設定參數。其詳細信息如表3所示。

表3 優(yōu)化目標設計

按照優(yōu)化設定目標,Design Explorer產生A、B、C 共3組候選的優(yōu)化設計點, 如表4所示。

表4 優(yōu)化設計點

候選的優(yōu)化設計點中，每一個優(yōu)化參數的滿意度是不同的。其與目標參數的重要性有關， 重要性高的參數滿意度較高，反之較低。3種方案各有優(yōu)缺點，方案A最大應力最小，軸向剛度比較理想，然而固有頻率和徑向剛度比較低，方案B最大應力、固有頻率、徑向剛度比較高，方案C各數值相對折中，考慮到實際情況選擇方案C。C不僅降低了最大應力，同時降低了軸向剛度又保證了固有頻率和徑向剛度。

圖7可以看出優(yōu)化前和優(yōu)化后的應力分布情況，柔性彈簧的最大應力由3.2MPa降到了2.45MPa，降低了大約25%，優(yōu)化效果明顯。

圖7 柔性彈簧優(yōu)化前后應力分布示意圖

經過圓整后柔性彈簧的尺寸如表5所示，從表中可以看出漸開線的長度和基圓半徑變化較大，這2個參數對柔性彈簧的性能影響極大。經ANSYS分析最終可以得到軸向剛度為2.42N/mm,徑向剛度為939.4N/mm，固有頻率為82.3Hz。

表5 柔性彈簧尺寸參數

6 結語

基于軟件Pro/e和WB，詳細分析了板簧尺寸對板簧軸向剛度、徑向剛度、固有頻率與最大應力的影響。分析了各尺寸參數對柔性彈簧物理特性的敏感度。根據參數

的敏感度選擇敏感度較大的參數對板簧的截面尺寸進行給定行程最大應力參數優(yōu)化設計。結論如下：

a) 分析后得到柔性彈簧尺寸變量與軸向剛度徑向剛度的關系，可以得到選擇柔性彈簧厚度的兩個思路：1) 柔性彈簧厚度與軸向剛度的關系曲線來確定所需柔性彈簧的厚度；2) 根據厚度與徑向剛度的正比關系來選擇合適的柔性彈簧，從而最大程度地滿足活塞的側向穩(wěn)定。

b) 板簧截面參數對板簧的軸向物理特性具有很大的影響，漸開線的長度，渦旋槽的寬度，漸開線的修正半徑是影響這些特性的主要參數。因此優(yōu)化板簧尺寸可以放在給定行程下的最大應力優(yōu)化。

c) 板簧優(yōu)化選擇敏感度較大的參數進行優(yōu)化，優(yōu)化目標，最大應力最小，應力分布更加均勻。

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Optimization Design of Concentric and Involute Flexure Spring

ZHOU Menglai, WEI Minxiang, HUANG Huling

(College of Energy and Power Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Flexure spring plays an important role for the clearance sealing and axial location in the solar energy Stirling engine. Based on the flexure spring research, the concentric and involute flexure spring is chosen . The finite element analysis of its parameterized model is done by Workbench software, including the influence of flexure spring section parameters on maximum stress and natural frequency. The travel restrictions and the maximum stress are taken as design goal to optimize the sizes of the flexure spring.

free piston stirling engine; flexure spring; axial stiffness; inherent frequency; parametric modeling; optimization design

周夢來(1984-)，男，江蘇鹽城人，碩士研究生，主要研究方向：新能源發(fā)動機。

TH135

B

1671-5276(2015)05-0080-05

2014-03-06