☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 錢玉飛

新課程數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)踐的探索

☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 錢玉飛

眾所周知，新課程對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要求有了不同于傳統(tǒng)課程的變化，其在標(biāo)準(zhǔn)中提出：“要求學(xué)生努力通過動(dòng)手實(shí)踐、積極探索，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程要有充分的了解和掌握，注重對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的探索和嘗試，使學(xué)生正確建構(gòu)知識(shí)和自主探索知識(shí).”相比傳統(tǒng)教學(xué)，課程對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探索知識(shí)的要求有了充分的指導(dǎo)性建議，筆者認(rèn)為這與下列原因是分不開的.

其一，創(chuàng)造性、創(chuàng)新型人才的培養(yǎng).我們的教育從建國(guó)以來一直遵從前蘇聯(lián)的教育模式，注重基本知識(shí)和基本技能，不斷地在熟練程度上進(jìn)行訓(xùn)練、培養(yǎng)，這一點(diǎn)上放眼世界已無出其右，這鑄就了我們培養(yǎng)了大量機(jī)械化的熟練操作工，推動(dòng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的同時(shí)也帶來了國(guó)家戰(zhàn)略層面的深思.近日，蘋果公司市值首次突破7000億美元，一個(gè)僅僅靠幾款電子產(chǎn)品的科技公司，卻成為世界最大的科技公司，其創(chuàng)新的產(chǎn)品和精益求精的工藝成為推動(dòng)其發(fā)展的源泉.這是擁有大量熟練機(jī)械工的富士康永遠(yuǎn)無法做到的.

其二，數(shù)學(xué)教學(xué)要有別于傳統(tǒng)的改變.傳統(tǒng)教育一直以教師為核心，不太注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的感受和接受，這種教育方式在培養(yǎng)情感和動(dòng)手能力方面存在重大的缺失.新課程致力于不同層次的學(xué)生學(xué)習(xí)不同層次要求的數(shù)學(xué)，并注重通過實(shí)踐感知去認(rèn)識(shí)所需要的數(shù)學(xué)，這一點(diǎn)結(jié)合教師所屬的學(xué)情可以進(jìn)行良好的教學(xué)實(shí)際實(shí)施.

其三，數(shù)學(xué)實(shí)踐在于培養(yǎng)動(dòng)手、思維和探索方面的驅(qū)動(dòng)力.數(shù)學(xué)實(shí)踐包括很多，諸如解題、講題、說題、探索、研究性學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等，通過多元化的學(xué)習(xí)手段讓學(xué)生擁有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，為培養(yǎng)其自主學(xué)習(xí)、積極思維開拓一定的可能性.鑒于上述緣由，筆者認(rèn)為新課程理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)，要積極加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐探索.

一、課堂教學(xué)的實(shí)踐探索

要改變課堂教學(xué)，筆者認(rèn)為需要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)問題解決的參與度，因此課堂教學(xué)中教師要積極改變教學(xué)的方式，提高學(xué)生參與數(shù)學(xué)實(shí)踐的可行性，從課堂教學(xué)中向?qū)W生滲透自主探索的重要性、建構(gòu)知識(shí)的可行性.

案例1：“對(duì)數(shù)”概念的課堂教學(xué)實(shí)踐探索.

（1）問題情境.

①某細(xì)胞分裂時(shí)，由一個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)，……如果分裂一次需要1分鐘，那么4分鐘后，一個(gè)細(xì)胞分裂成多少個(gè)細(xì)胞？

②某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年，這種物質(zhì)的剩留量是原來的84%，寫出這種物質(zhì)的剩留量關(guān)于時(shí)間的關(guān)系式.

（2）學(xué)生探索實(shí)踐.

以上問題是已知底數(shù)和指數(shù)的值，求冪的問題，即指數(shù)式ab=N中，已知a和b的值，求N的值.現(xiàn)在，我們?cè)賮砜磫栴}情境中的兩個(gè)問題.

①請(qǐng)問經(jīng)過了多長(zhǎng)時(shí)間一個(gè)細(xì)胞分裂成了128個(gè)？2x=128?x=？

②經(jīng)過多少年這種物質(zhì)的剩留量為原來的一半？0.84x=0.5?x=？

以上問題是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)的問題，即指數(shù)式ab=N中，已知a和N的值，求b的值.那么在0.84x=0.5中的x有解嗎？解唯一嗎？怎么表示？

學(xué)生活動(dòng)：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知方程0.84x=0.5的解存在且唯一.

（3）自主建構(gòu).

師：怎么表示呢？稱x是以0.84為底0.5的對(duì)數(shù).0.84叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，0.5叫做真數(shù)，log就是一個(gè)符號(hào)，就好比方程x3=2的根我們用表示一樣.那么，在前面我們提到的27=128中的7，24=16中的4分別可以表示為？

生：7=log2128，4=log216.

師：一般地，如果a（a＞1，a≠1）的b次冪等于N，即ab= N，那么b如何用a和N來表示呢？

生：logaN=b.

師：這就是我們今天要給大家介紹的對(duì)數(shù)的定義，請(qǐng)同學(xué)們看課本第72頁藍(lán)底部分.

師：在指數(shù)式ab=N和對(duì)數(shù)式logaN=b中，a，b，N的名稱有什么變化？N的取值范圍是什么？

生：如圖1所示（.老師書寫，投影儀展示）

圖1

由對(duì)數(shù)的定義可知，我們可以將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，請(qǐng)同學(xué)們將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式（略）.

說明：從學(xué)生參與對(duì)數(shù)概念的形成過程，利用細(xì)胞分裂、物質(zhì)衰變等參與數(shù)學(xué)概念的形成和數(shù)學(xué)實(shí)踐問題的探索，將實(shí)際問題引入到數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)中去，對(duì)于學(xué)生而言是一種數(shù)學(xué)實(shí)踐在課堂教學(xué)中的具體體現(xiàn)，也是教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)踐最廣泛的地方，最值得教師在教學(xué)過程中進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，讓學(xué)生積極參與實(shí)踐.

二、說題教學(xué)的實(shí)踐探索

學(xué)生說題，是近年來對(duì)于數(shù)學(xué)解題教學(xué)中新出現(xiàn)的一種學(xué)生解題探索方式.諸多文獻(xiàn)在這一方面做出了一定的嘗試，筆者認(rèn)為學(xué)生說題要關(guān)注的是：其一，問題所運(yùn)用知識(shí)的正確性；其二，問題解決是否正確；其三，從一類問題能否聯(lián)想相關(guān)類似問題的解決等，這種說題訓(xùn)練對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐的嘗試、問題本質(zhì)的探索是大有益處的.

案例2：過拋物線y2=4x焦點(diǎn)的直線l，與拋物線相交于A、B兩點(diǎn).設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，若點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離是3，則直線l的斜率是_________.

生甲：本題是典型的拋物線焦點(diǎn)弦問題.我的處理方式是：考慮到中點(diǎn)，我想到利用點(diǎn)差法-x1-x2，則

生乙：設(shè)過焦點(diǎn)的直線AB的方程為y=k（x-1），用聯(lián)立方程組和韋達(dá)定理解決，這是我認(rèn)為比較常規(guī)的方法，比較適合求解一般解析幾何問題.

從分析結(jié)果(見圖8)來看：加強(qiáng)筋高度在一定范圍內(nèi)變動(dòng)(高度變動(dòng)范圍受限)，不同狀態(tài)下不均勻收縮影響差異很少，對(duì)整體翹曲變形影響較小。

師：同學(xué)們通過自身的實(shí)踐，對(duì)于本問題既發(fā)現(xiàn)了一般性的通法通解，也想到了利用性質(zhì)解決問題，從同學(xué)們解決問題來看，對(duì)拋物線焦點(diǎn)弦的一般處理掌握得不錯(cuò).

說明：本題設(shè)計(jì)常規(guī)，拋物線焦點(diǎn)弦是考查的重點(diǎn)，本題的說題處理方式既有點(diǎn)差法的常規(guī)處理、也有弦長(zhǎng)相關(guān)的方式處理，更有一般性質(zhì)的運(yùn)用，從這里看出學(xué)生對(duì)于本題的處理其實(shí)并不亞于教師的方式方法，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行說、做、思，讓學(xué)生在解決問題的過程中產(chǎn)生了思維的發(fā)散性和自發(fā)性，多利用說題有利于學(xué)生，尤其是優(yōu)秀學(xué)生思維的開拓，久而久之也將提升教師對(duì)新課程教學(xué)的理解和實(shí)施.

三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐探索

新課程中的數(shù)學(xué)教學(xué)，也可以依賴信息化時(shí)代的工具進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的嘗試，這種基于CAI的教學(xué)并通過學(xué)生親自進(jìn)行的數(shù)學(xué)操作實(shí)踐，對(duì)于其理解數(shù)學(xué)問題、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)有一定的探索價(jià)值.

案例3：Rt△ABC的兩直角邊都是區(qū)間（0，1）上的隨機(jī)數(shù)，試求斜邊長(zhǎng)小于的概率.

學(xué)生對(duì)問題的理解不完全基于等可能，因此學(xué)生常見的錯(cuò)解如下：

錯(cuò)解：設(shè)兩直角邊分別為x、y（0＜x，y＜1），由題意，0＜為事件A，為了使計(jì)算簡(jiǎn)便，令m=x2，n=y2，則上述條件變?yōu)?＜m＜1，0＜n＜1，事件A發(fā)生的條件，如圖3所示，則

圖3

辨析：初看學(xué)生錯(cuò)解并無特別明顯的問題.學(xué)生喜歡運(yùn)用一一對(duì)應(yīng)的方式，將復(fù)雜的問題進(jìn)行簡(jiǎn)單化，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中常見的換元思想的體現(xiàn)，值得推薦！這其中到底產(chǎn)生了何種變換錯(cuò)誤，導(dǎo)致兩種解答并不一致呢？我們細(xì)細(xì)回看題意：本題要求兩直角邊x、y是區(qū)間（0，1）內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，因此點(diǎn)（x，y）落在正方形區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)處都是等可能的；如果強(qiáng)行對(duì)兩直角邊x、y進(jìn)行換元變換，表面上看似一一對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)化了計(jì)算，但在變換過程中產(chǎn)生了一個(gè)非常隱蔽和巨大的變化，卻又無法讓師生明顯察覺：變換后的點(diǎn)（m，n）落入正方形區(qū)域內(nèi)不是等可能的！

很多學(xué)生產(chǎn)生了質(zhì)疑，教師為讓學(xué)生對(duì)本題等可能變化有一個(gè)更直觀的認(rèn)識(shí)，筆者建議使用CAI中的Excel VBA設(shè)計(jì)一個(gè)程序，來闡述一一對(duì)應(yīng)與等可能并非有必然聯(lián)系！步驟如下：

（1）第一列記為橫坐標(biāo)x，選中A1格，利用Excel自帶函數(shù)Rand，填寫為Rand（0，1），自動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，按住右下角拖動(dòng)至A3000，產(chǎn)生3000個(gè)隨機(jī)數(shù)；

（2）同理：第二列記為縱坐標(biāo)y，選中B1格，產(chǎn)生3000個(gè)隨機(jī)數(shù)；

（3）第三列記為橫坐標(biāo)x2，選中C1格，計(jì)算“= A1*A1”，按住右下角拖動(dòng)至A3000，產(chǎn)生3000個(gè)隨機(jī)數(shù)；

（4）同理：第四列記為縱坐標(biāo)y2，選中D1格，計(jì)算3000個(gè)隨機(jī)數(shù)；

（5）選中A、B兩列，插入—圖表—散點(diǎn)圖，得到（x，y）均勻分布于圖4；

（6）選中C、D兩列，插入—圖表—散點(diǎn)圖，得到（x2，y2）非均勻分布于圖5.

圖4

圖5

說明：通過以上CAI的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，師生一起感受到了變量的一一對(duì)應(yīng)，并進(jìn)行換元并非完全是等可能實(shí)現(xiàn)的，因此在概率中必須以研究等可能為第一準(zhǔn)則，在等可能下的概率才是符合中學(xué)概率要求的.

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)實(shí)踐的探索有很多的方式，可以從課堂教學(xué)、解題教學(xué)、說題嘗試、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、研究性學(xué)習(xí)等方面入手.新課程力主學(xué)生自主對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程進(jìn)行充分的實(shí)踐，而不完全依賴于數(shù)學(xué)形式化結(jié)果的掌握.從國(guó)家十二五對(duì)教育規(guī)劃的指導(dǎo)意見來看，中學(xué)教育致力于向動(dòng)手、實(shí)踐、操作和研究做轉(zhuǎn)型，不再將傳統(tǒng)的熟練、記憶、模仿作為首要發(fā)展目標(biāo)，這也是體現(xiàn)國(guó)家層面的戰(zhàn)略要求：即將精英教育和大眾教育共同發(fā)展，這是時(shí)代的需要.

筆者認(rèn)為，面對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，教師可以從上述闡述的三個(gè)方面做一些開拓性的嘗試，在新一輪課改即將到來之際，教師努力將自身的思維意識(shí)提高到操作層面，為適應(yīng)課程改革和教學(xué)新型模式做出自己的一些探索.本文從課堂教學(xué)的實(shí)踐探索、說題教學(xué)的實(shí)踐探索與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐探索進(jìn)行了案例說明和分析，限于篇幅未在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)、動(dòng)手操作實(shí)踐等方面進(jìn)行涉及和展開，請(qǐng)讀者以本文之磚給出更有見解之玉.

1.劉薇.綠燈式教學(xué)的實(shí)踐［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2012（5）.

2.金秀青.說題——讓數(shù)學(xué)課堂更精彩［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2009（11）.

3.沈恒.兩道幾何概型趣題［J］.數(shù)學(xué)通訊，2011（6）.

4.何宗羅.整體凸顯結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題引領(lǐng)［J］.教學(xué)月刊，2012（4）.FH