☉江蘇省啟東市匯龍中學(xué) 張健

不等式高考試題分析與教學(xué)策略分析

☉江蘇省啟東市匯龍中學(xué) 張健

高中數(shù)學(xué)由眾多內(nèi)容組成，其中不等式是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分.學(xué)生對不等式的學(xué)習(xí)從初中就開始了，掌握了不等式的基本性質(zhì)和解法，為學(xué)生在高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式知識打下了基礎(chǔ).此外，現(xiàn)實生活中蘊含著豐富的不等式知識，隨處可見不等式在生活中的應(yīng)用.如今，不等式在數(shù)學(xué)高考中更是占據(jù)了重要的位置，同時與函數(shù)、方程、三角等高中數(shù)學(xué)知識聯(lián)系緊密.分析研究不等式高考試題，不僅能把握不等式高考的新動向，提高學(xué)生的做題效率，提高學(xué)生的考試成績，同時也培養(yǎng)了學(xué)生分析問題的能力、解決問題的能力、空間想象能力，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維能力.

一、不等式在高中數(shù)學(xué)中的重要位置

不等式是高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識的重要組成部分，是聯(lián)系現(xiàn)實、刻畫現(xiàn)實不等式關(guān)系的重要工具和重要數(shù)學(xué)模型，也是研究數(shù)量關(guān)系的必備知識，在高考數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的位置.高中數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容與高中數(shù)學(xué)函數(shù)、方程、三角等內(nèi)容有著密切的關(guān)系.如在函數(shù)中，對數(shù)的真數(shù)大于0、分?jǐn)?shù)的分母不為0等都離不開不等式，此外，如函數(shù)的最值、函數(shù)的定義域、函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的前n項的最值，空間線面距離、面面距離、夾角范圍等，也都需要用不等式來進(jìn)行描述和表示.可以說，不等式是高中數(shù)學(xué)集合、數(shù)列、函數(shù)、方程、立體幾何內(nèi)容的重要交匯點，在高中數(shù)學(xué)其他內(nèi)容知識中有著廣泛的應(yīng)用.不等式的求解會運用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想，對培訓(xùn)高中生的數(shù)學(xué)思想和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)素養(yǎng)起到重要作用，更是培養(yǎng)高中生發(fā)散思維的關(guān)鍵.

例如在蘇教版高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，平面區(qū)域與二元一次不等式的教學(xué)能夠讓學(xué)生直觀感性地明白不等式的幾何意義和深刻理解不等式的性質(zhì)，以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想.又如通過線性規(guī)劃的教學(xué)能夠培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力、歸納總結(jié)能力和抽象思維能力.

二、不等式高考試題分析

不等式是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，是歷年高考的熱點.而每一年高考中不等式的考查點都是以函數(shù)和實際問題為背景，要求學(xué)生除了掌握高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和技能外，還需要掌握正確的數(shù)學(xué)方法和科學(xué)的數(shù)學(xué)思想，還要有清晰、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰蜏y試運算能力，對問題進(jìn)行分析和研究，并最終解決問題.如今，高考一般不會單獨對不等式進(jìn)行命題，而是將其融合到其他題型中去，與其他數(shù)學(xué)知識緊密結(jié)合在一起，一般在數(shù)學(xué)高考中占據(jù)10分左右的分值.傳統(tǒng)的不等式高考側(cè)重對不等式的性質(zhì)、推導(dǎo)以及證明進(jìn)行考查，而如今側(cè)重點放在學(xué)生對不等式的感受上和進(jìn)行運算和處理上.現(xiàn)在的不等式高考試題中更多的是一些綜合性試題，在填空題和選擇題中主要是求最值，在解答題當(dāng)中主要考查不等式與函數(shù)或數(shù)列的綜合題型.

1.不等式的性質(zhì)及其解法

解不等式是一個重要的運算解題能力，在高考試題中較為常見.

例1（2010年高考全國卷理科）設(shè)偶函數(shù)f（x）=x3-8（x≥0），則｛x|f（x-2）＞0｝=（）.

A.｛x|x＜-2或x＞4｝B.｛x|x＜0或x＞4｝

C.｛x|x＜0或x＞6｝D.｛x|x＜-2或x＞2｝

解法1：由f（x）是偶函數(shù)，得f（x-2）＞0?|x-2|3-8＞0，則|x-2|＞2，所以x＜0或x＞4，答案為B.

也可以利用分類討論求解，解答過程如下所示.

解法2：（1）當(dāng)x≥0時，f（x-2）=（x-2）3-8＞0，即x3-6x2+ 12x-16＞0，即（x-4）（x2-2x+4）＞0.

由于x2-2x+4=（x-1）2+3＞0，所以x＞4.

（2）當(dāng)x＜0時，-x＞0，則f（x）=f（-x）=-x3-8，則f（x-2）= -（x-2）3-8＞0，即x（x2-6x+12）＜0，故x＜0.

所以｛x|f（x-2）＞0｝=｛x|x＜0或x＞4｝，答案為B.

點評：本題主要通過不等式與偶函數(shù)的結(jié)合來考查，把握住不等式與偶函數(shù)的關(guān)系就可以解決好這類型的題目.實際上，因為f（x）是偶函數(shù)，只要把解析式表示為f（x）=|x|3-8就可以了，而且這樣更加簡潔.此外，運用分類討論思想，可以拓展學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

2.二元一次不等式組與線性規(guī)劃

解：題中不等式組表示的區(qū)域如圖1所示.

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=abx+y運動到A（1，4）時，目標(biāo)函數(shù)z取得最大值，即8=ab+4，所以ab=4，所以a+b≥2=4.

圖1

點評：本題型主要考查線性規(guī)劃知識及基本不等式知識，體現(xiàn)了知識的聯(lián)系.

三、高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)策略

隨著新課改的不斷推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中更加注重學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的分析能力和解決能力的培養(yǎng)，其中不等式內(nèi)容的教學(xué)更加注重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、數(shù)學(xué)運算能力以及數(shù)學(xué)思維能力.

1.與初中不等式知識相銜接

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的學(xué)科，學(xué)生對不等式的學(xué)習(xí)是從初中就開始的.通過初中不等式的學(xué)習(xí)，高中生掌握了不等式的基礎(chǔ)知識和簡單實用的解法.在高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)中，教師適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生回顧初中不等式知識，加強(qiáng)高中不等式教學(xué)與初中不等式內(nèi)容的銜接，有助于增加學(xué)生對高中不等式學(xué)習(xí)的親切感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)不等式的興趣，同時也讓學(xué)生體會到溫故知新的學(xué)習(xí)樂趣.此外，教師在高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)中，除了要加強(qiáng)與初中不等式內(nèi)容的銜接，還要講解清楚不等式的概念，并指導(dǎo)學(xué)生合理利用不等式的性質(zhì)去求解不等式問題.

2.結(jié)合實際問題，提升學(xué)生解題的積極性

不等式也是刻畫現(xiàn)實生活的重要數(shù)學(xué)模型和解決實際問題的有用工具.從實際問題出發(fā)，讓學(xué)生的思維從緊張的解題氣氛中回到熟悉的生活場景中，不僅能提升學(xué)生求解不等式的積極性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)不等式知識的興趣，也能讓學(xué)生了解到不等式這個數(shù)學(xué)工具的實際功效.

3.注重不等式多種解法的探索，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

高中不等式的求解方式已告別了初中的單一簡單的求解方式，而是可以借助其他高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的運用，使得不等式的求解更加方便和易于理解.此外，在高中數(shù)學(xué)不等式問題一般也會存在多種解法.所以在高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該注重學(xué)生對不等式的多種解法的探索，正確引導(dǎo)學(xué)生探索各種實用的解法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.不等式的求解能力是一種綜合性能力，教師在高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)中應(yīng)該將不等式放置在大環(huán)境中，常與函數(shù)、方程等其他數(shù)學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，讓學(xué)生明白它們之間的關(guān)系.

4.注重推理論證過程的傳授，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

在高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)中，教師還應(yīng)該注重不等式推理論證過程的傳授，讓學(xué)生掌握不等式知識的論證推導(dǎo)過程，加深學(xué)生對不等式的理解，讓學(xué)生從感性學(xué)習(xí)不等式轉(zhuǎn)化為理性學(xué)習(xí)不等式.在不等式教學(xué)中，教師更應(yīng)該注重科學(xué)的教學(xué)方式，讓蘊含在不等式中的數(shù)形結(jié)合思想被學(xué)生完全吸收，提升學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新思維能力.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該尊重學(xué)生的主體地位，發(fā)揮好教師的引導(dǎo)、輔助作用，讓學(xué)生學(xué)會在數(shù)學(xué)的汪洋大海中自如遨游.不等式是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合實際問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)不等式的興趣，還應(yīng)該正確引導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)的不等式解題方法，讓學(xué)生運用已掌握的不等式知識和科學(xué)的解題方法求解各種高中不等式問題，提高學(xué)生的解題能力，為學(xué)生在高考的成功打下基礎(chǔ).此外，在高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)中，教師也應(yīng)該不斷開拓學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，以及抽象的邏輯思維能力，讓學(xué)生在求解不等式問題時創(chuàng)出創(chuàng)新型解法.

1.趙莉.高中數(shù)學(xué)不等式高考試題分析與教學(xué)策略研究［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)教育），2013（1）.

2.張惠淑.高中數(shù)學(xué)不等式高考試題分析與教學(xué)策略研究［D］.天津：天津師范大學(xué)，2012.