譚雄輝 肖琴琴 劉宇健 譚意瀧 胡 涌

（湖南城市學(xué)院,湖南 益陽 413000）

EM算法在不完全高程測量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

譚雄輝 肖琴琴 劉宇健 譚意瀧 胡 涌

（湖南城市學(xué)院,湖南 益陽 413000）

本文分析了EM算法在不完全高程測量數(shù)據(jù)中的實現(xiàn)方法，推導(dǎo)了EM算法進行測量數(shù)據(jù)處理的方法步驟，通過具體實例實現(xiàn)了EM算法在不完全測量高程數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用。最終結(jié)論表明，不完全測量高程數(shù)據(jù)通過采用EM算法并結(jié)合精密平差方法進行處理，提高了測量成果的精度，與完全數(shù)據(jù)下的平差處理結(jié)果非常接近，而與直接平差法處理的結(jié)果相比有明顯的優(yōu)勢。

EM算法 最小二乘原理 不完全測量數(shù)據(jù) 平差

1 引言

在測量工作的開展過程中，由于各種不利因素的影響，導(dǎo)致采集到的有用數(shù)據(jù)不夠多。為了提高測量成果的精度，往往需要進行一些多余觀測或補測，但是現(xiàn)在社會發(fā)展迅速，由于生活生產(chǎn)所需，各種建筑物拔地而起，或者受到天氣自然災(zāi)害的影響，一些重要的控制點會遭到破壞或者被掩蓋掉，導(dǎo)致無法進行多余的觀測或者補測?；蛘呒词褂杏脭?shù)據(jù)夠多，但隨著時間的變遷，一些觀測數(shù)據(jù)丟失或遭到破壞。這此情況都會造成數(shù)據(jù)不完全，對這些數(shù)據(jù)進行處理，會嚴(yán)重影響成果的精度，甚至導(dǎo)致所有的觀測數(shù)據(jù)都不可用，這是一種極大的浪費。為了減少損失，通常要對不完全數(shù)據(jù)進行一些處理，比較常用的有刪除法、預(yù)測法、擬合法或填補法等[1]，以此來提高精度。但這些數(shù)據(jù)的可靠性有限，采用它們來進行參數(shù)估計就會出現(xiàn)更多的問題。EM（Expectation Maxinization）算法[2,3]作為一種處理缺失數(shù)據(jù)的經(jīng)典方法，它在許多領(lǐng)域有著很好的應(yīng)用。因此本文將EM算法與常規(guī)測量數(shù)據(jù)處理方法相結(jié)合，推廣到不完全高程測量數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)處理中，來提高高程測量成果的精度[1]。

2 EM算法在不完全高程測量數(shù)據(jù)中的應(yīng)用

EM算法是一種處理不完全觀測數(shù)據(jù)較有效的方法，它主要應(yīng)用于非完全測量數(shù)據(jù)的參數(shù)估計，通過計算缺失測量數(shù)據(jù)的條件期望，并將其極大化，通過充分地利用有益于數(shù)據(jù)處理的潛在數(shù)據(jù)，有效提高了數(shù)據(jù)處理的質(zhì)量并簡化計算，提高數(shù)據(jù)成果的精度[2]。

EM算法采用G-M (Gauss-Markov)模型處理測量數(shù)據(jù)[4,5]，在測量數(shù)據(jù)的處理過程中，它與間接平差法結(jié)合，經(jīng)過E步和M步循環(huán)直至待估參數(shù)小于某個滿足精度要求的值即可，迭代計算結(jié)束后，即可求得基于不完全測量數(shù)據(jù)下未知參數(shù)的最大似然估值，從而提高高程測量成果的精度。

3 實例分析

以湖南城市學(xué)院電信樓周邊的四等水準(zhǔn)測量為例，如圖1所示，A為已知高程點，其高程為HA=50.000m，可視為無誤差的高程點，為了得到C點及D點的高程，共進行了六次測站觀測獲得6個高差觀測值， h1=-2.456m，h2=-0.334m，h3=-0.454m,h4=+1.360m，h5=+1.240m,h6=+0.650m。

在正常情況，即所有的觀測數(shù)據(jù)h1、h2、h3、h4、h5、h6都能使用的情況下，我們可以采用最小二乘原理及間接平差法，得到HC、HD的高程分別為：HC=47.208m，HD=46.752m。

圖1 水準(zhǔn)測量簡易路線

現(xiàn)假設(shè)由于某種因素如管理人員保存數(shù)據(jù)不當(dāng)，導(dǎo)致h3觀測數(shù)據(jù)丟失，從而造成測量數(shù)據(jù)不完全，而由于電信樓周邊建筑的修建導(dǎo)致測量工作開展困難，此時要得到兩個未知點的高程值，就不能采用常規(guī)的最小二乘平差方法和間接平差法來計算，只能采用直接計算法得到HC、HD的高程為：HC=47.210m，HD=46.750m。然而在測量過程中，由于各方面的因素導(dǎo)致觀測數(shù)據(jù)存在一定的誤差，由這樣的觀測值得出的高程值精度難以滿足要求。

現(xiàn)引入不完全數(shù)據(jù)的經(jīng)典處理方法EM算法進行測量數(shù)據(jù)的處理，通過不完全測量數(shù)據(jù)簡單計算得到HC、HD的初始值為HC=47.210，HD=46.750。積分取值空間選擇為0.440—0.470，即由初始值計算的高差上下浮動15mm。使用matlab進行編程迭代計算，可得到HC、HD的高程分別為：HC= 47.2083m，HD= 46.7517m，各種數(shù)據(jù)處理方法的結(jié)果見下表1，而各種方法結(jié)果的比較見下表2。

表1 計算結(jié)果（m）

表2 計算結(jié)果的比較（mm）

從表1和表2中我們可以看出，當(dāng)數(shù)據(jù)不完全時，對測量數(shù)據(jù)進行處理的方法中，EM算法與完全數(shù)據(jù)時的間接平差法得出的C、D點高程值較為接近，均相差0.3毫米，而直接計算法得出的C、D點高程相差得較遠，均為2毫米。這主要是因為在外業(yè)觀測的過程中，由于受到儀器，觀測者和外界環(huán)境的影響，觀測數(shù)據(jù)中存在一定的誤差。采用直接法進行計算必然使得未知點的高程攜帶這些誤差，而EM算法挖掘出了一些隱藏的數(shù)據(jù)信息，結(jié)合間接平差法來對這些誤差進行處理，進一步提高了未知點高程的精度。由此可知，當(dāng)測量數(shù)據(jù)出現(xiàn)缺失時，結(jié)合EM算法與完全數(shù)據(jù)時精密平差方法來處理測量數(shù)據(jù)可有效地提高高程測量成果的精度。

4 結(jié)論

在處理測量數(shù)據(jù)時，采用合適的精密平差方法會盡可能地減少誤差，提高測量成果的精度。而精密平差法往往需要一定數(shù)量的多余觀測量才能達到較好的效果。而在實際測量中，觀測量不足或缺失的問題卻會經(jīng)常遇到，如各種因素的影響導(dǎo)致高程觀測數(shù)據(jù)量不夠多，部分采集到的高程數(shù)據(jù)因質(zhì)量太差不可用，或是觀測后的保存處理不當(dāng)?shù)葘?dǎo)致的部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失。因此就不能采用常規(guī)的數(shù)據(jù)處理方法，不然得出的結(jié)果可能不是最好的。本文通過具體實例，將EM算法引入至不完全的高程測量數(shù)據(jù)處理的方法中，在高程測量數(shù)據(jù)不完全的情況下挖掘出有用的潛在數(shù)據(jù)，結(jié)合精密平差法來處理不完全的觀測數(shù)據(jù)。結(jié)果表明，EM算法的加入能有效地提高高程測量結(jié)果的精度。這樣在各種工程項目中，有一些廢棄的觀測數(shù)據(jù)可以通過引入EM算法來重新得到使用，提升了數(shù)據(jù)的價值。當(dāng)然，EM算法還存在一些不足，如當(dāng)缺失較多數(shù)據(jù)時，它的效果并不是很明顯，值得再進一步深入研究。同時EM算法不能僅僅局限于高程測量的數(shù)據(jù)處理，它在測量其它方面的運用也值得我們進行研究。

[1]林東方. 基于EM算法的不完全測量數(shù)據(jù)的處理方法研究[D].中南大學(xué),2012.

[2] 張宏東. EM算法及其應(yīng)用[D].山東大學(xué),2014.

[3] 曾傳璜,,張鑫,,張晶晶.EM算法的研究[J]. 軟件導(dǎo)刊,2008,7(9):97-98.

[4] 肖琴琴,宋迎春,杜琨. EM算法在廣播星歷計算衛(wèi)星位置中的應(yīng)用[J]. 測繪工程,2013,06:73-76+85.

[5] 杜琨,宋迎春,肖琴琴. EM算法在衛(wèi)星軌道計算中的應(yīng)用[J]. 全球定位系統(tǒng),2013,02:41-44.

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1007-6344（2015）04-0304-01