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        范德蒙矩陣的病態(tài)性與擾動(dòng)性算法研究

        2015-06-27 08:40:32陳美玲等
        科技創(chuàng)新與應(yīng)用 2015年18期
        關(guān)鍵詞:收斂性

        陳美玲等

        摘 要:文章介紹和研究范德蒙矩陣的病態(tài)性并進(jìn)行擾動(dòng)性分析。將數(shù)值分析知識(shí)與Matlab軟件相結(jié)合,研究了3-20階的范德蒙矩陣的條件數(shù)隨階數(shù)增長(zhǎng),且增長(zhǎng)越快導(dǎo)致矩陣病態(tài)性越嚴(yán)重,并進(jìn)行了曲線擬合。以條件數(shù)為基礎(chǔ),進(jìn)一步對(duì)AX=b進(jìn)行擾動(dòng)分析,證實(shí)A和b的微小變動(dòng),對(duì)解的影響較大。最后對(duì)以范德蒙矩陣為系數(shù)矩陣的線性方程用雅克比迭代法進(jìn)行收斂性分析,證實(shí)迭代矩陣的譜半徑都大于1,即迭代矩陣是發(fā)散的。研究矩陣擾動(dòng)和病態(tài)算法在實(shí)際科學(xué)計(jì)算中有重要作用。

        關(guān)鍵詞:范德蒙矩陣;條件數(shù);擾動(dòng)性分析;雅克比迭代;收斂性

        1 范德蒙矩陣與相關(guān)概念介紹

        范德蒙矩陣是法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙提出的一種各列為幾何級(jí)數(shù)的矩陣[1]:

        即得解向量的相對(duì)誤差與右端項(xiàng)的相對(duì)誤差、矩陣的條件數(shù)之間的關(guān)系。

        2 范德蒙矩陣的病態(tài)性分析

        (n為大于1的3-20階正整數(shù)),用Matlab求解其條件數(shù)[5],探索范德蒙矩陣條件數(shù),得到圖1:矩陣階數(shù)越大,條件數(shù)也越大,病態(tài)性越嚴(yán)重。進(jìn)一步探索條件數(shù)與矩陣階數(shù)的關(guān)系,我們對(duì)條件數(shù)作了對(duì)數(shù)擬合[6],擬合效果如圖2所示。

        由此,對(duì)條件數(shù)增長(zhǎng)率進(jìn)一步分析,由Matlab作圖3可知,隨階數(shù)增加,增長(zhǎng)率越大,當(dāng)然最后19、20階增長(zhǎng)率速度下降。

        3 范德蒙矩陣擾動(dòng)分析

        對(duì)于線性方程組Ax=b,在實(shí)際科學(xué)測(cè)量時(shí),對(duì)于系數(shù)矩陣A和常數(shù)向量b都有可能存在誤差,這些誤差稱為擾動(dòng)。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和工科測(cè)量時(shí),系數(shù)矩陣或則常數(shù)矩陣的一些微小變化可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)值解的很大差距,因此我們要分析這些測(cè)量值得變化對(duì)結(jié)果的影響以及如何影響結(jié)果的?,F(xiàn)把這些擾動(dòng)分為兩種情況分析,第一種情況:系數(shù)矩陣存在擾動(dòng),常數(shù)向量不存在擾動(dòng)。第二種情況:系數(shù)矩陣不存在擾動(dòng),常數(shù)向量存在擾動(dòng)。

        4 雅克比迭代法收斂性分析

        雅克比迭代法x(k+1)=Bx(k)+g適用于解大型的且系數(shù)陣為稀疏的方程組[4],能減少運(yùn)算次數(shù),節(jié)約存儲(chǔ)。采用這種方法研究范德蒙矩陣A隨階數(shù)增大,矩陣的收斂性。求得迭代矩陣的譜半徑結(jié)果如圖4所示。

        從上面程序可以看出Matlab的強(qiáng)大功能。僅僅只需要幾行簡(jiǎn)單的代碼就能將枯燥乏味、冗雜抽象的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題輕易解決。不僅節(jié)約了時(shí)間,而且提高了效率,可見(jiàn)數(shù)值分析與Matlab相結(jié)合能促進(jìn)科學(xué)計(jì)算問(wèn)題得到更好地解決。

        參考文獻(xiàn)

        [1]杜先能,葉郁,殷曉斌,等.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2013.

        [2]劉長(zhǎng)河,劉世祥.范德蒙矩陣的三角分解[J].北京建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào),2005,21(1):2-5.

        [3]陸全,任學(xué)明.一類廣義范德蒙矩陣求逆的快速算法[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào),2004,36(3):2-4.

        [4]袁東錦.計(jì)算方法-數(shù)值分析[M].南京:南京師范大學(xué)出版社,2004.

        [5]周國(guó)標(biāo),宋寶瑞,謝建利.數(shù)值計(jì)算[M].北京:高等教育出版社,2008.

        [6]任玉杰.數(shù)值分析及其MATLAB實(shí)現(xiàn)[M].北京:高等教育出版社,2007.

        [7]吝維軍.符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].長(zhǎng)春:吉林科學(xué)技術(shù)出版社,2005.

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